2025屆高考數(shù)學(xué)第二次模擬試卷四理含解析

2025屆高考其次次模擬考試卷理科數(shù)學(xué)（四）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．2．集合，，則集合與的關(guān)系是（）A． B．C． D．且3．下列關(guān)于命題的說(shuō)法中正確的是（）①對(duì)于命題，使得，則，均有②“”是“”的充分不必要條件③命題“若，則”的逆否命題是“若，則”④若為假命題，則?均為假命題A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A．2048 B．1024 C．2046 D．40945．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱6．已知數(shù)列滿意，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A． B．C． D．7．已知是不等式組的表示的平面區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值（）A．2 B．3 C．5 D．68．甲?乙?丙三人手持黑白兩色棋子，在3行8列的網(wǎng)格中，三人同時(shí)從左到右，從1號(hào)位置擺到8號(hào)位置，若甲的1號(hào)位置與乙的1號(hào)位置顏色相同，稱甲乙對(duì)應(yīng)位置相同，反之稱甲乙對(duì)應(yīng)位置不同，則下列狀況可能的是（）A．甲乙丙相互有3個(gè)對(duì)應(yīng)位置不同B．甲乙丙相互不行能有4個(gè)對(duì)應(yīng)位置不同C．甲乙1個(gè)位置不同，甲丙3個(gè)位置不同，乙丙5個(gè)位置不同D．甲乙3個(gè)位置不同，甲丙4個(gè)位置不同，乙丙5個(gè)位置不同9．已知實(shí)數(shù)、滿意，的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知是定義在上的增函數(shù)，若對(duì)于隨意，均有，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，，若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，（），則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，，．過(guò)、的中點(diǎn)、作平面與平面垂直，則所得截面周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．若，則的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________．14．小張安排從個(gè)沿海城市和個(gè)內(nèi)陸城市中隨機(jī)選擇個(gè)去旅游，則他至少選擇個(gè)沿海城市的概率是__________．15．已知橢圓的右頂點(diǎn)為P，右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)重合，的頂點(diǎn)與的中心O重合．若與相交于點(diǎn)A，B，且四邊形為菱形，則的離心率為_(kāi)___．16．在中，記角所對(duì)的邊分別是，面積為，則的最大值為_(kāi)________．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（12分）已知等差數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，(為偶數(shù))，求的值．18．（12分）如圖，在圓柱中，四邊形是其軸截面，為的直徑，且，，．（1）求證：；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角平面角的余弦值．19．（12分）2024年某地在全國(guó)志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8萬(wàn)多人．2024年7月份以來(lái)，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開(kāi)展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過(guò)150萬(wàn)小時(shí)．為了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參加度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長(zhǎng)聽(tīng)從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且．（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；（ⅱ）從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)10小時(shí)的人數(shù)，求（結(jié)果精確到）以及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，．若，則．20．（12分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若矩形的四條邊均與橢圓相切，求該矩形面積的取值范圍．21．（12分）設(shè)，，其中，且．（1）試探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線過(guò)點(diǎn)且傾斜角為．（1）求曲線的一般方程和直線的參數(shù)方程；（2）設(shè)與的兩個(gè)交點(diǎn)為，求．23．（10分）【選修4-5：不等式選講】（1）已知函數(shù)，求的取值范圍，使為常函數(shù)；（2）若，，求的最大值．理科數(shù)學(xué)答案第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以，故選C．2．【答案】D【解析】因?yàn)?，且，，所以且，故選D．3．【答案】A【解析】①對(duì)于命題，使得，則均有，故①正確；②由“”可推得“”，反之由“”可能推出，則“”是“”的充分不必要條件，故②正確；③命題“若，則”的逆否命題是“若，則”，故③正確；④若為假命題，則，至少有一個(gè)為假命題，故④錯(cuò)誤，則正確的命題的有①②③，故選A．4．【答案】C【解析】，，運(yùn)行第1次，，，運(yùn)行第2次，，，，運(yùn)行第9次，，，運(yùn)行第10次，，，結(jié)束循環(huán)，故輸出的值2046，故選C．5．【答案】C【解析】因?yàn)椋鋱D象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，所以的最小正周期為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；當(dāng)時(shí)，，所以在間上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確，故選C．6．【答案】A【解析】由題意可得，兩式相減得，，兩式相加得，故，故選A．7．【答案】D【解析】由題意可知，，令目標(biāo)函數(shù)，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，最大值為，故選D．8．【答案】D【解析】對(duì)A，若甲乙有3個(gè)對(duì)應(yīng)位置不同，不妨設(shè)前3個(gè)對(duì)應(yīng)位置不同，則后5個(gè)對(duì)應(yīng)位置相同，若丙和甲、丙和乙都要有3個(gè)對(duì)應(yīng)位置不同，則只能在后5個(gè)對(duì)應(yīng)位置中有3個(gè)和甲乙不同，若丙和甲在后5個(gè)對(duì)應(yīng)位置中有3個(gè)對(duì)應(yīng)位置不同，則必和乙有6個(gè)位置不同，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若甲和乙前4個(gè)對(duì)應(yīng)位置不同，乙和丙后4個(gè)對(duì)應(yīng)位置不同，則甲和丙后4個(gè)對(duì)應(yīng)位置也不同，故存在，所以B錯(cuò)誤；對(duì)C，若甲乙第1個(gè)位置不同，后7個(gè)位置相同，甲丙在后7個(gè)位置中有3個(gè)位置不同，此時(shí)乙丙最多有4個(gè)位置不同，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若甲乙前3個(gè)位置不同，甲丙第3個(gè)到第6個(gè)位置不同，則成立，故D正確，故選D．9．【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)為圓上的隨意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離為，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，所以，設(shè)圓與直線相切，則，解得，所以的最小值為，最大值為，所以，所以，故選B．10．【答案】A【解析】依據(jù)，，可得，由，，可得，則，又是定義在上的增函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集為，故選A．11．【答案】D【解析】作出，的大致圖象如圖所示，可知，的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，可得，．由，得，則，所以．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍是，故選D．12．【答案】C【解析】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接，取的，連接，取的中點(diǎn)，連接、，，為的中點(diǎn)，則，平面，平面，，，平面，、分別為、的中點(diǎn)，則且，平面，平面，所以，平面平面，所以，平面即為平面，設(shè)平面交于點(diǎn)，在直棱柱中，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點(diǎn)，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，設(shè)平面平面，平面，所以，，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，所以，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，所以，，，又，所以，，，為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，，，，，，為的中點(diǎn)，，，則，為的中點(diǎn)，，則，同理，因?yàn)橹崩庵睦忾L(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，，由勾股定理可得，同理可得，且，平面，平面，平面，，、分別為、的中點(diǎn)，則，，由勾股定理可得，同理．因此，截面的周長(zhǎng)為，故選C．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】240【解析】，綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，即．的綻開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是，故答案為240．14．【答案】【解析】由題不選沿海城市的方法有種，從9個(gè)城市隨意選2個(gè)城市有種，所以所求概率，故答案為．15．【答案】【解析】設(shè)拋物線的方程為，，，．由題得，代入橢圓的方程得，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，故答案為?6．【答案】【解析】，令，則，故，故，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)滿意時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，，故的最大值為，故答案為．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，即，解得，，所以．?jīng)檢驗(yàn)，符合題設(shè)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，所以，，∴，因?yàn)?，，所以，即．因?yàn)闉榕紨?shù)，所以．18．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：連接，在圓柱中中，平面，平面，，，，平面，又平面，，在中，為的中點(diǎn)，．（2）連接，則與該圓柱的底面垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線為軸，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，設(shè)平面的法向量分別是，由，得，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，由，化簡(jiǎn)得，，解得，，設(shè)平面的法向量分別是，，由，得，取，得，，由圖象可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為．19．【答案】（1），；（2）（?。áⅲ?，．【解析】（1）．．（2）（?。┯深}知，，所以，．所以．（ⅱ）由（?。┲傻?，，故的數(shù)學(xué)期望．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），∴，又橢圓過(guò)點(diǎn)，∴，，∴橢圓的方程．（2）①當(dāng)矩形的四條邊與橢圓相切于頂點(diǎn)時(shí)，易知；②當(dāng)矩形的各邊均不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，由矩形及橢圓的對(duì)稱性，設(shè)其中一邊所在的直線方程為，則其對(duì)邊所在的直線方程為，另外兩邊所在的直線方程分別為，，聯(lián)立，消去并整理可得，由題意可得，整理可得，同理可得，設(shè)兩平行直線與之間的距離為，則，設(shè)兩平行直線與之間的距離為，則，依題意可知，為矩形的兩鄰邊的長(zhǎng)度，所以矩形的面積，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，所以，綜上所述：該矩形面積的取值范圍為．21．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1），①當(dāng)時(shí)，由，得，即定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，得，即定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由，得，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減，在上