2015年高考理科數(shù)學(xué)廣東卷-答案

11/112015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)(理科)答案解析一、選擇題1.【答案】D【解析】由題意可得.【提示】求出兩個集合，然后求解交集即可.【考點】交集及其運算2.【答案】B【解析】由題意可得，因此.【提示】直接利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則化簡求解即可.【考點】復(fù)數(shù)的基本計算以及共軛復(fù)數(shù)的基本概念3.【答案】D【解析】A選項，，偶函數(shù)；B選項，，奇函數(shù)；C選項，，偶函數(shù)；D選項，，因此選D．【提示】直接利用函數(shù)的奇偶性判斷選項即可.【考點】函數(shù)的奇偶性的判定4.【答案】B【解析】任取兩球一共有種情況，其中一個紅球一個白球一共有，因此概率為.【提示】首先判斷這是一個古典概型，從而求基本事件總數(shù)和“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”事件包含的基本事件個數(shù)，容易知道基本事件總數(shù)便是從15個球任取2球的取法，而在求“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”事件的基本事件個數(shù)時，可利用分步計數(shù)原理求解，最后帶入古典概型的概率公式即可.【考點】古典概型及其概率計算公式5.【答案】A【解析】與直線平行的直線可以設(shè)為，因為直線與圓相切，根據(jù)圓心到直線距離等于半徑可得：，∴，解得，因此我們可以得到直線方程為：或.【提示】設(shè)出所求直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線方程中的變量，即可求出直線方程.【考點】解析幾何中的平行，圓的切線方程6.【答案】B【解析】依據(jù)題意，可行域如右圖所示，初始函數(shù)為，當(dāng)逐漸向右上方平移的過程中，不斷增大，因此我們可以得到當(dāng)過點的時候，.【提示】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到最小值.【考點】線性規(guī)劃問題7.【答案】C【解析】已知雙曲線，，又由焦點為，因此，因此雙曲線方程為.【提示】利用已知條件，列出方程，求出雙曲線的幾何量，即可得到雙曲線方程.【考點】圓錐曲線的離心率求解問題8.【答案】B【解析】解：考慮平面上，3個點兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；4個點兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；大于4，也不成立；在空間中，4個點兩兩距離相等，構(gòu)成一個正四面體，成立；若，由于任三點不共線，當(dāng)時，考慮四個點構(gòu)成的正四面體，第五個點，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理，不成立.故選：B．【提示】先考慮平面上的情況：只有三個點的情況成立；再考慮空間里，只有四個點的情況成立，注意運用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷.【考點】棱錐的結(jié)構(gòu)特征二、填空題9.【答案】6【解析】展開通式為，令可得，因此系數(shù)為6.【提示】根據(jù)題意二項式的展開的通式為，分析可得，時，有的項，將代入可得答案.【考點】二項式定理的運用10.【答案】10【解析】根據(jù)等差中項可得：，，因此.【提示】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡已知的等式即可求出的值，然后把所求的式子也利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后，將的值代入即可求出值.【考點】等差中項的計算11.【答案】1【解析】由，得或者，又因為，因此，，根據(jù)正弦定理可得.【提示】由，可得或者，結(jié)合，及正弦定理可求.【考點】正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)12.【答案】1560【解析】某高三畢業(yè)班有40人，每人給彼此寫一條留言，因此每人的條數(shù)為39，故而一共有條留言.【提示】通過題意，列出排列關(guān)系式，求解即可.【考點】排列與組合的實際應(yīng)用13.【答案】【解析】根據(jù)隨機(jī)變量服從二項分布，根據(jù)，可得，化簡后可得.【提示】直接利用二項分布的期望與方差列出方程求解即可.【考點】離散型隨機(jī)變量的期望與方差14.【答案】【解析】考察基本的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的化簡以及點到直線距離問題.由可得直線的直角坐標(biāo)系方程為，由可得它的直角坐標(biāo)為，因此，點A到直線的距離為.【提示】把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求出極坐標(biāo)表示的直角坐標(biāo)，利用點到直線的距離求解即可.【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程15.【答案】8【解析】連接，根據(jù)為等腰三角形可得，又因為為直徑，因此可得，，∵∴，因此可得，因此，故而可得，∴.【提示】連接，根據(jù)為等腰三角形可得，為直徑以及得出即可求出的值.【考點】相似三角形的判定三、解答題16.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】∵，，∴，因此：（Ⅰ）若，可得，∴，又∵，，因此可得.（Ⅱ）若和的夾角為，可得，∴或，又∵，∴，∴，解得.【提示】（Ⅰ）若，則，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系式即可求的值.（Ⅱ）若和的夾角為，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可求的值.【考點】平面向量數(shù)量積的運算，數(shù)量積表示兩個向量的夾角17.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）23人.【解析】（Ⅰ）根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法，抽取9個樣本，因此分成9組，每組4人.又因為第一組中隨機(jī)抽樣可抽到44，因此按照現(xiàn)有的排序分組.故而每組中抽取的都是第二個數(shù)，因此我們可得樣本數(shù)據(jù)為第2個，第6個，第10個，第14個，第18個，第22個，第26個，第30個，第34個，分別為：（Ⅱ）由平均值公式得，由方差公式得.（Ⅲ），因此可得，因此在和之間的數(shù)據(jù)可以是，因此數(shù)據(jù)一共有23人，占比為.【提示】（Ⅰ）利用系統(tǒng)抽樣的定義進(jìn)行求解即可.（Ⅱ）根據(jù)均值和方差公式即可計算（Ⅰ）中樣本的均值和方差.（Ⅲ）求出樣本和方差即可得到結(jié)論.【考點】極差，方差與標(biāo)準(zhǔn)差，分層抽樣方法18.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）證明：由可得三角形是等腰三角形，又因為點是邊的中點，因此可得，又因為三角形所在的平面與長方形所在的平面垂直，而且相交于CD，因此平面，又因為在平面內(nèi)，因此可得，問題得證.（Ⅱ）因為四邊形是矩形，因此可得，又因為平面，故而，又，因此可得平面，因此，所以.在等腰三角形中，，.因此可得，故而可得.（Ⅲ）如圖所示，連接.∵，∴，，，因此，直線與直線所成角即為直線與直線所成角，在矩形中，點為中點，因此，而且.又面，三角形為直角三角形，故，因此在中，，因此可得.【提示】（Ⅰ）通過等腰三角形可得，利用線面垂直判定定理及性質(zhì)定理即得結(jié)論.（Ⅱ）通過（Ⅰ）及面面垂直定理可得，則為二面角的平面角，利用勾股定理即得結(jié)論.（Ⅲ）連結(jié)連接，利用勾股定理及已知條件可得，在中，利用余弦定理即得直線與直線所成角即為直線與直線所成角的余弦值.【考點】二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的性質(zhì)19.【答案】（Ⅰ）單調(diào)增區(qū)間為（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解析】，因此：（Ⅰ）求導(dǎo)后可得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恒成立，因此函數(shù)在上是增函數(shù).故而單調(diào)增區(qū)間為.（Ⅱ）證明：令可得，設(shè)，對函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒成立，因此函數(shù)單調(diào)遞增，因此可以得到函數(shù)圖像.函數(shù)有零點，即方程有解，亦即函數(shù)，圖像有交點.當(dāng)時，，因此根據(jù)函數(shù)的圖像可得：有且只有一個交點，即有且只有一個零點.（Ⅲ）證明：設(shè)點P的坐標(biāo)為，故而在點處切線的斜率為：，，因此.在點M處切線的斜率為：，因為，因此.欲證，即證，，設(shè)，求導(dǎo)后可得，，令，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此可得，所以，，問題得證.【提示】（Ⅰ）利用，求出函數(shù)單調(diào)增區(qū)間.（Ⅱ）證明只有1個零點，需要說明兩個方面：函數(shù)單調(diào)以及函數(shù)有零點.（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)的最值求解方法證明.【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程20.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），其中（Ⅲ）存在【解析】依題意得化成標(biāo)準(zhǔn)方程后的圓為：，因此：（Ⅰ）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心坐標(biāo)為.（Ⅱ）數(shù)形結(jié)合法：①當(dāng)動線的斜率不存在是，直線與圓不相交.②設(shè)動線的斜率為，因此，聯(lián)立，則根據(jù)有兩個交點可得：，故而點M的坐標(biāo)為，令，因此由此可得，其中.（Ⅲ）證明：聯(lián)立，所以，因此，當(dāng)直線與曲線相切時，可得，解得.設(shè)，的兩個端點是，設(shè)直線恒過點因此可得，，故而可得，由圖像可得當(dāng)直線與曲線有且只有一個交點的時候，.【提示】（Ⅰ）通過將圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即得結(jié)論（Ⅱ）設(shè)當(dāng)直線的方程為，通過聯(lián)立直線與圓的方程，利用根的判別式大于0、韋達(dá)定理、中點坐標(biāo)公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化，計算即得結(jié)論.（Ⅲ）通過聯(lián)立直線與圓的方程，利用根的判別式及軌跡的端點與點決定的直線斜率，即得結(jié)論.【考點】軌跡方程，直線與圓的位置關(guān)系21.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】由給出的遞推公式可得：①當(dāng)時，②當(dāng)時，，，所以，其中也成立，因此可得（Ⅰ）因此.（Ⅱ）∵，所以數(shù)列的公比，利用等比數(shù)