2025高考數(shù)學一輪復習-第34講-直線、平面平行的判定與性質【課件】

第34講

直線、平面平行的判定與性質第七章

立體幾何1．若直線a不平行于平面α，則下列結論成立的是 (

)A．α內的所有直線都與直線a異面

B．α內不存在與a平行的直線C．α內的直線都與a相交

D．直線a與平面α有公共點激活思維【解析】D直線a不平行于平面α，包括兩種情況：a?α或a∩α＝P.當a?α時，α內的所有直線都與直線a共面，A錯誤；當a?α時，α內必然有直線與直線a平行，B錯誤；由B知C也錯誤；當a?α時，直線a和平面α有無數(shù)個公共點，當a∩α＝P時，直線a與平面α有唯一公共點P，D正確．2．如果AB，BC，CD是不在同一平面內的三條線段，則經過它們中點的平面和直線AC的位置關系是

(

)A．平行 B．相交C．AC在此平面內 D．平行或相交A【解析】如圖，把這三條線段放在正方體內，顯然AC∥EF.因為AC?平面EFG，EF?平面EFG，所以AC∥平面EFG.3．平面α與平面β平行的充分條件可以是 (

)A．α內有無窮多條直線與β平行B．直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內，也不在β內C．直線a?α，直線b?β，且a∥β，b∥αD．α內的任何一條直線都與β平行【解析】對于A，α內有無窮多條直線與β平行，并不能保證平面α內有兩條相交直線與平面β平行，這無窮多條直線可以是一組平行線，故A錯誤；對于B，直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內，也不在β內，當直線a平行于平面α與平面β的相交直線時滿足上述條件，但平面α與平面β不平行，故B錯誤；對于C，直線a?α，直線b?β，且a∥β，b∥α，當直線a∥b時，不能保證平面α與平面β平行，故C錯誤；對于D，α內的任何一條直線都與β平行，則α內至少有兩條相交直線與平面β平行，所以平面α與平面β平行，故D正確．【答案】D4．(多選)如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′的六個面所在的平面中，與AB平行的平面是

(

)A．平面A′B′C′D′

B．平面DCC′D′C．平面BCC′B′

D．平面A′D′DAAB【解析】由于AB∥A′B′，AB?平面A′B′C′D′，A′B′?平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′，故A符合．同理證得AB∥平面DCC′D′，故B符合．而AB∩平面BCC′B′＝B，AB∩平面A′D′DA＝A，故C，D不符合．1．直線和平面平行(1)定義：直線和平面沒有公共點，稱這條直線與這個平面平行．(2)判定方法：聚焦知識(3)性質定理：2．兩個平面平行(1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行．(2)判定方法：(3)性質定理：3．常用結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.已知a，b，c為三條不同的直線，α，β，γ為三個不同的平面，則下列說法正確的是 (

)A．若a∥b，b?α，則a∥αB．若a?α，b?β，a∥b，則α∥βC．若a∥β，a∥α，則α∥βD．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，則b∥c與線、面平行相關命題的判定舉題說法1D如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點．將△AEF沿EF翻折至△A1EF，得到四棱錐A1-EFCB，P為A1C的中點．求證：FP∥平面A1BE.線面平行的判定定理的應用2【解答】如圖，取A1B的中點Q，連接PQ，EQ.變式如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點F在底面圓O上，G是線段BF的中點，求證：EG∥平面DAF.【解析】如圖，連接OE，OG.在圓柱OE中，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，所以OE∥DA.又OE?平面DAF，DA?平面DAF，所以OE∥平面DAF.在△ABF中，O，G分別是AB和BF的中點，所以OG∥AF.又OG?平面DAF，AF?平面DAF，所以OG∥平面DAF.又OE∩OG＝O，OE，OG?平面OEG，所以平面OEG∥平面DAF.又EG?平面OEG，所以EG∥平面DAF.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，F(xiàn)為PA的中點，E為PB的中點．(1)求證：PC∥平面BFD；線面平行的性質定理的應用3如圖，連接FM，交AD的延長線于點G，連接BG，交CD于點N，連接EF，F(xiàn)N，PG.【解答】因為在△PAC中，F(xiàn)為PA中點，O為AC中點，所以PC∥FO.又因為PC?平面BFD，F(xiàn)O?平面BFD，所以PC∥平面BFD.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，F(xiàn)為PA的中點，E為PB的中點．3如圖，連接AC，交BD于點O，連接OF.【解答】如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)求證：平面A1BD∥平面CD1B1；面面平行的判定定理與性質定理的應用4在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥AD，且A1D1＝AD，AD∥BC，AD＝BC，所以A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又因為A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.同理，A1D∥平面CD1B1.又因為A1B∩A1D＝A1，且A1B，A1D?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.【解答】如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，求證：B1D1∥l.4在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，平面A1B1C1D1∩平面B1D1C＝B1D1，所以B1D1∥l.【解答】變式如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點．(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF;因為E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點，所以EF∥A1C1.因為A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，所以EF∥平面A1C1G.又F，G分別為A1B1，AB的中點，所以A1F＝BG.又A1F∥BG，所以四邊形A1GBF為平行四邊形，則BF∥A1G.因為A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，所以BF∥平面A1C1G.又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，所以平面A1C1G∥平面BEF.【解答】變式如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點．(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點．因為平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點G，且平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH，所以A1C1∥GH，所以GH∥AC.因為G為AB的中點，所以H為BC的中點．【解答】隨堂內化1．設α，β是兩個平面，m，l是兩條直線，則下列命題為真命題的是

(

)A．若α⊥β，m∥α，l∥β，則m⊥lB．若m?α，l?β，m∥l，則α∥βC．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，則m∥lD．若m⊥α，l⊥β，m∥l，則α⊥βC【解析】對于A，m，l可能平行、相交或異面，故A錯誤；對于B，α，β可能相交或平行，故B錯誤；對于D，α∥β，故D錯誤；由線面平行的性質得C正確．2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別為線段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中點，下列說法錯誤的是

(

)A．E，F(xiàn)，G，H四點共面

B．平面EGH∥平面ABC1C．直線A1A與FH異面

D．直線BC∥平面AFH【解析】因為GH∥BC1，GH?平面ABC1，BC1?平面ABC1，所以GH∥平面ABC1.易得EH∥平面ABC1，又EH∩GH＝H，EH，GH?平面EGH，所以平面EGH∥平面ABC1，故B正確．易得AA1∥平面BB1F，又FH?平面BB1F，且FH與AA1不平行，所以直線A1A與FH異面，故C正確．如圖，取CC1的中點M，連接HM.因為HM∥BC，HM與平面AFH相交于點H，所以直線BC與平面AFH相交，故D錯誤．【答案】D【解析】如圖，連接AC，與BE相交于點O，連接FO.【答案】D4．(多選)在下列四棱錐中，底面為平行四邊形，A，B，C，M，N是四棱錐的頂點或棱的中點，則MN

∥平面ABC的有 (

)ABCD【解析】圖(1)圖(2)圖(3)又MN?平面PNMB，MN?平面ABC，平面PNMB∩平面ABC＝BH，假設MN∥平面ABC，則MN∥BH，即在平面PNMB內過點B有兩條直線和MN平行，這是不可能的，假設不成立，故C錯誤．圖(4)對于D，如圖(4)，連接AE，與FN交于點H，F(xiàn)N交AC于點G，則H為FN的中點，連接BH，BG.由于B為MF的中點，故BH∥MN.又MN?平面NMF，MN?平面ABC，平面NMF∩平面ABC＝BG，假設MN∥平面ABC，則MN∥BG，即在平面NMF內過點B有兩條直線和MN平行，這是不可能的，假設不成立，故D錯誤．【答案】AB配套精練A組夯基精練一、

單項選擇題1．設m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是

(

)A．若m∥n，n?α，則m∥αB．若m?α，n?β，α∥β，則m∥nC．若α∥β，m⊥α，則m⊥βD．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥βC2．已知m，n，l1，l2表示不同的直線，α，β表示不重合的平面．若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分條件是 (

)A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2D3．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設BC的中點為M，GH的中點為N，下列結論正確的是 (

)A．MN∥平面ABE

B．MN∥平面ADEC．MN∥平面BDH

D．MN∥平面CDE【解析】【答案】C根據(jù)題意得到正方體的直觀圖如圖所示，取FH的中點O，連接ON，BO，易知ON與BM平行且相等，所以四邊形ONMB為平行四邊形，所以MN∥BO，因為BO與平面ABE(即平面ABFE)相交，故MN與平面ABE相交，故A錯誤.因為平面ADE∥平面BCF，MN∩平面BCF＝M，所以MN與平面ADE相交，故B錯誤．因為BO?平面BDH，MN∥BO，MN?平面BDH，所以MN∥平面BDH，故C正確．顯然M，N在平面CDEF的兩側，所以MN與平面CDEF相交，故D錯誤．4．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正三角形，側棱垂直于底面，E，F(xiàn)，G分別是AB，A1C1，A1B1的中點，O是BC1的中點．下列結論錯誤的是 (

)【解析】【答案】D若P是AC1的中點時，OP∥AB，而AB∥A1B1，有OP∥A1B1，所以A正確．如圖，過A作與BC平行的直線l，由l∥FG，可得平面AFG與底面ABC的交線為l，且l與直線EC相交，則平面AGF與平面EB1C相交，所以D錯誤．二、

多項選擇題5．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則下列結論正確的是 (

)A．直線A1C1與AD1為異面直線B．A1C1∥平面ACD1C．平面A1C1B∥平面ACD1【解析】【答案】ABC根據(jù)異面直線的定義易知直線A1C1與AD1為異面直線，故A正確．因為AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以A1C1∥AC.又A1C1?平面ACD1，AC?平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正確．同理可證BC1∥平面ACD1，又A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1?平面A1C1B，所以平面A1C1B∥平面ACD1，故C正確．【解析】對于A，如圖(1)，連接BD，則BD∥PQ，又平面ABC∩BD＝B，則BD?平面ABC，所以PQ不平行于平面ABC，故A錯誤；對于B，因為PQ∥AC，PQ?平面ABC，AC?平面ABC，所以PQ∥平面ABC，故B正確；圖(1)6．如圖，A，B，C，P，Q是正方體的頂點或所在棱的中點，則滿足PQ∥平面ABC的有

(

)A

B

C

D對于C，如圖(2)，取FN中點D，連接EF，MN，CD，BD，DQ，由正方體得AB∥EF，PQ∥MN，EF∥MN∥CD，所以AB∥PQ，同理AC∥DQ，CP∥BD，所以A，B，C，D，P，Q六點共面，故C錯誤；【答案】BD對于D，如圖(3)，連接PD交AB于O，連接OC，在正方體中，由于四邊形APBD為正方形，所以O為PD中點，又C為DQ中點，所以OC∥PQ，又PQ?平面ABC，OC?平面ABC，所以PQ∥平面ABC，故D正確.圖(2)圖(3)【解析】8．如圖，P是△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，平面α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝3∶4，則S△A′B′C′∶S△ABC＝_________．9∶49【解析】因為平面α∥平面ABC，所以A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，所以△PA′B′∽△PAB，△PB′C′∽△PBC，△PA′C′∽△PAC，所以PA′∶PA＝PB′∶PB＝A′B′∶AB，PB′∶PB＝PC′∶PC＝B′C′∶BC，PC′∶PC＝PA′∶PA＝A′C′∶AC，所以A′B′∶AB＝B′C′∶BC＝A′C′∶AC，故△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝A′B′2∶AB2.又因為PA′∶A′A＝3∶4，所以PA′∶PA＝A′B′∶AB＝3∶7，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝9∶49.四、

解答題9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點．(1)求證：QN∥平面PAD；【解答】(1)因為N，Q分別為PB，PC的中點，所以QN∥BC.因為底面ABCD是菱形，所以BC∥AD，所以QN∥AD.因為QN?平面PAD，AD?平面PAD，所以QN∥平面PAD.9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點．(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l，試判斷直線l與平面PBD的位置關系，并給出證明．【解答】直線l與平面PBD平行，證明如下：因為N，M分別為PB