河北省衡水市故城縣某中學(xué)2023屆數(shù)學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，

請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)

x

r-COS—

a,a,V3?

1.定義運(yùn)算：=。避4一。2%，將函數(shù)/(幻=的圖象向左平移皿〃2>0)的單位后，所得圖象關(guān)于.V軸

a.a,1.x

對(duì)稱，則比的最小值是。

2.直線區(qū)一〉一攵=0(丘R)與圓.d+y2=2交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

A.2個(gè)B.1個(gè)

C.0個(gè)D.不確定

3.若偶函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)滿足/(x+2)=/(x),且當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=x2；則g(x)=/*)-lg|x|的零點(diǎn)的

個(gè)數(shù)為O

A.lB.2

C.9D.18

4.函數(shù)/(x)=x?2%一2d+i的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

5.已知向量1=(2,3),B=(X，2),且則|2。+3冽=()

A.273B.V13

C.12D.13

6.將函數(shù)/(x)=2sin(2x+e)的圖象沿x軸向右平移弓個(gè)單位后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，則。的值可以是

()

兀n

A.—B.-

36

c5n2n

63

7.已知m,n表示兩條不同直線，。表示平面，下列說(shuō)法正確的是

A.若加//。,"http://。，則相〃〃B.若機(jī)_L。，〃ua,則機(jī)

C.若根_1_。，貝D.若m//a,根_L〃，則〃_La

8.“角A小于上”是“角A是第一象限角”的()

2

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

9.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間。+8)單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足于(咋2")+/(l°g[①<2/⑴，則

2

a的取值范圍是

A.[1,2]B.(0,；

C.1,2D.(0,2]

10.若函數(shù)七;：=2X+3K+C<在區(qū)間(01內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)&的取值范圍是()

A-(-OO,-5)

C*(0.5)D.(L+S)

11.已知扇形周長(zhǎng)為40,當(dāng)扇形的面積最大時(shí)，扇形的圓心角為。

35

A.-B.-

22

C.3D.2

12.地震以里氏震級(jí)來(lái)度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)/為地震時(shí)所散發(fā)出來(lái)的相對(duì)能量，則里氏震級(jí)/可定義為/=0.61g/.

在2021年3月下旬，A地區(qū)發(fā)生里氏3.1級(jí)地震，B地區(qū)發(fā)生里氏7.3級(jí)地震，則8地區(qū)地震所散發(fā)出來(lái)的相對(duì)能量

是A地區(qū)地震所散發(fā)出來(lái)的相對(duì)能量的()倍.

A.7B.106

C.107D.108

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.)

13.已知黑函數(shù)y=/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(3,1,貝ij〃2)=.

41,廠L

14.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)K,滿足耳+蘇=1,且不等式6+42后-6m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

15.某校高中三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生2000人，其中高一年級(jí)有學(xué)生750人，高二年級(jí)有學(xué)生650人.為了了解學(xué)生參加整

本書閱讀活動(dòng)的情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查，那么在高三年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取

的人數(shù)為.

16.已知函數(shù)〃司=64112%+卜0524現(xiàn)有如下幾個(gè)命題：

①該函數(shù)為偶函數(shù)；

7171

②是該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間;

③該函數(shù)的最小正周期為萬(wàn)；

(7冗、

④該函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)-仃,0對(duì)稱

I12/

⑤該函數(shù)的值域?yàn)閇-1,2].

其中正確命題的編號(hào)為

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)

17.已知函數(shù)/(x)=Asin(cox+。)A>0,/>0,|。在一個(gè)周期內(nèi)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)聯(lián)71《和點(diǎn)IMT,且

12

TT

fM的圖像有一條對(duì)稱軸為%=—.

12

(1)求.f(x)的解析式及最小正周期；

(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

18.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=J=是奇函數(shù).

3+3”“

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)若/1og4X-log2[)+/(4-24)>0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.已知q和"均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合M={0,1,2,...?q-l},

集合A={x|x=Xi+&g+.??+*nq"T,X/G/W,/=1,2,n]

(1)當(dāng)q=2,"=3時(shí)，用列舉法表示集合A

nl

(2)設(shè)s,5=01+029+…+。檔。一1,t=bi+b2q+-+bnq~9其中S,biGM,/=1,2，m證明:若加<瓦,

則$<t.

3

20.已知二次函數(shù)/(x)滿足/(())=〃1)=1,且〃x)的最小值是:

(1)求/(x)的解析式；

(2)若關(guān)于x的方程“X)=x+〃?在區(qū)間(-1,2)上有唯一實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑶函數(shù)g(x)=/(x)—(25l)x,對(duì)任意苞，9?4,5］都有|g(xj-g(x2)|<4恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍

21.在①函數(shù)/(力=卜而3：+A0$閑2-2(0>0)；②函數(shù)〃x)=4cosssin"+V)-l?>0)；③函數(shù)

〃x)=2sin(2的+夕)(。>0,|同<的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到g⑺的圖象，g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱；這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題

已知(只需填序號(hào))，函數(shù)/(力的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

(I)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間及其在xw0,|上的最值

注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

22.已知函數(shù)/(x)=2sin(s+>0,網(wǎng)<g)圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=-］，且其圖象上相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距

29

離為。

3

(1)求.f(x)的解析式；

(2)若對(duì)VXG0,1,不等式何(x)>2,〃+l恒成立，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的,

請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)

1、C

【解析】由題意可得/。)=6411；一以為；=2411(；-9)，再根據(jù)平移得到的函數(shù)為偶函數(shù)，利用對(duì)稱軸即可解出.

2226

I-xXXTC

【詳解】因?yàn)?4。4-42a3，所以/(-^)=v3sin——cos—=2sin(----),其圖象向左平移〃?(m＞0)個(gè)單位,

2226

得到函數(shù)F(x+〃?)=2sin(生”一鄉(xiāng))的圖象，而圖象關(guān)于＞軸對(duì)稱，所以其為偶函數(shù)，于是

26

04-47r4乃

匕n"i—2=72C+左肛攵eZ,即加=絲+2人肛ZeZ,又加＞0,所以，〃的最小值是把

26233

故選：C.

2、A

【解析】日一y-%=0化為點(diǎn)斜式：y=k(x-l),

顯然直線過(guò)定點(diǎn)(1,0),且定點(diǎn)在圓f+y2=2內(nèi)

.?.直線與圓相交，

故選A

3、D

【解析】由題，8*)=/(%)-恒1》1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即丁=/0),丁=館1》1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)/(幻的對(duì)稱性和周期

性畫出圖象，數(shù)形結(jié)合分析即可

【詳解】由/(x+2)=/(x)可知偶函數(shù)/(x)周期為2,故先畫出xe[0,l]時(shí)，/(無(wú))=/的函數(shù)圖象，再分別利用偶

函數(shù)關(guān)于了軸對(duì)稱、周期為2畫出f(x)的函數(shù)圖象，則g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為/(x)=lg|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即

y=/(x),y=lg|x|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，易得在(0,+。)上有9個(gè)交點(diǎn)，故在定義域內(nèi)有18個(gè)交點(diǎn).

4、B

【解析】函數(shù)"X)的定義域?yàn)镽,

2

且/(-%)=(-%).2+M—2(—4+1=f.2第-+1=,

即函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)X20時(shí)，/(x)=x2.(2^-2)+1,

設(shè)04王</，貝!I：

/⑺-/（切=［片.（2-1-2）+1卜兇（2F-2）+1］

=尋（2-再-2）-W.（2日-2）,

?,-0W司12，：.?！镀溆?）2F_2,2』_2,

據(jù)此可得:片.（2/—2）>4（2F一2）,據(jù)此有:/（%）-/（%）>0,

即函數(shù)“X）是區(qū)間［0,+8）上的減函數(shù)，

由函數(shù)的解析式可知：/（0）=1>0,/（1）=-1<0,

則函數(shù)在區(qū)間［0,+8）上有一個(gè)零點(diǎn)，

結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)在K上有2個(gè)零點(diǎn).

本題選擇8選項(xiàng).

點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

⑴直接求零點(diǎn)：令/（x）=（）,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)

⑵零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間團(tuán)，M上是連續(xù)不斷的曲線，且/m）ys）vo,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象

與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)

⑶利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有

幾個(gè)不同的零點(diǎn)

5、D

【解析】由可得x=—3,由向量加法可得2"+3刃=（-5,12）,再結(jié)合向量模的運(yùn)算即可得解.

【詳解】解:由向量￡=（2,3）,b=（x，2）,且oH，

則2x+2x3=0,即x=—3,即B=（—3,2）,

所以2l+3B=（—5,12）,

所以12G+3閘=7（-5）2+122=13,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量加法及模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】首先求平移后的解析式y(tǒng)=2sin2\x-^\+（p,再根據(jù)函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x=0時(shí)，

TTTT

――+e=—+A?,ZeZ,求9的值.

32

【詳解】函數(shù)/(x)=2sin(2x+0的圖象沿x軸向右平移弓個(gè)單位后的解析式是y=2sin2^x-^+(p,

若函數(shù)圖象關(guān)于>軸對(duì)稱，當(dāng)x=0時(shí)，

冗7U,j_

------+0=——Fk兀、%￡Z,

32

5冗

解得：(P-.......Hkjv,keZ

6

5萬(wàn)

當(dāng)左=0時(shí)，(P=—.

6

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象變換，以及根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)的取值，意在考查基本知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型.

7、B

【解析】線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.

考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系

8,D

【解析】利用特殊值法結(jié)合充分、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

TT7T

【詳解】若角A小于生，取4=,此時(shí)，角A不是第一象限角，

24

7T

即“角A小于一”/“角A是第一象限角”；

2

JTTT

若角A是第一象限角，取4==+2乃，此時(shí)，A>-,

42

7T

即“角A小于一”?！敖茿是第一象限角”.

2

TT

因此，“角A小于一”是“角A是第一象限角”的既不充分也不必要條件.

2

故選：D.

9、C

【解析】函數(shù)/(x)是定義在或上的偶函數(shù)，.?.f(log2a)+fgg23w2/Q),等價(jià)為

a

/(log2a)+/(-k>g2^=2/(log2a)<2/(])).即“l(fā)ogzGWf(I).,??函數(shù)/Q0是定義在火上的偶函數(shù)，且在區(qū)

間[0,+00)單調(diào)遞增，...fQog2GWfQ))等價(jià)為f(卜坦2司)W/Q).即24區(qū)L，一1Wbg2aW1，解得」W442,

2

故選項(xiàng)為C

考點(diǎn)：(1)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性；(2)對(duì)數(shù)不等式.

【思路點(diǎn)晴】本題主要考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)

用根據(jù)函數(shù)的奇偶數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng).由偶函數(shù)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得：/(k>g2a)</(I),即

/0og2a|)<f(T),結(jié)合單調(diào)性得：隨21區(qū)1將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化TSbgzaWl即可得到結(jié)論.

10、B

【解析】利用零點(diǎn)存在性定理知晨0),/(1)<0,代入解不等式即可得解.

【詳解】函數(shù)f、.：=2'+3*+艮在區(qū)間［0」內(nèi)存在零點(diǎn)，且函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

由零點(diǎn)存在性定理知即(i+a)(5+a)<0，解得一5<a<—1

所以實(shí)數(shù)1的取值范圍是-5,-1)

故選：B

11、D

【解析】設(shè)出扇形半徑并表示出弧長(zhǎng)后，由扇形面積公式求出取到面積最大時(shí)半徑的長(zhǎng)度，代入圓心角弧度公式即可

得解.

【詳解】設(shè)扇形半徑一,易得0<r<20,則由已知該扇形弧長(zhǎng)為40-2r.

記扇形面積為S,則s=gr(40—2r)=r(20—r)W“+2：二)=100,

40-2r20

當(dāng)且僅當(dāng)廠=20—r,即r=10時(shí)取到最大值，此時(shí)記扇形圓心角為。，則。=-------=—=2

r10

故選：D

12、C

【解析】把兩個(gè)震級(jí)代入/=o.6/g/后，兩式作差即可解決此題

【詳解】設(shè)里氏3.1級(jí)地震所散發(fā)出來(lái)的能量為乙，里氏7.3級(jí)地震所散發(fā)出來(lái)的能量為八，貝!|3.1=0.6依乙…①，

7.3=0.6她…②

②一①得：4.2=0.6/g，，解得：7=10?

故選：C

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.)

I

13、-##0.25

4

【解析】設(shè)f(x)=xa,代入點(diǎn)求解即可.

【詳解】設(shè)幕函數(shù)y=/(x)=x*

因?yàn)閥=/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(3,5，

所以3。=，，

解得々=一2

所以/(x)=%-2,得

/⑵=2-2=；

4

故答案為：一

4

14.[-2,8]

【解析】根據(jù)題意，只要//一6m<(6+4j，“n即可，再根據(jù)基本不等式中的“1”的妙用，求得

(6+4后).=16,解不等式//一6〃2—16?0即可得解.

【詳解】根據(jù)題意先求?+4八得最小值，

由x>0,y>0,

得\[x+4y[y=(Vx+4y/y)(—f=+—j=)

=4+4+￥+e8+2怦半=8+8=16,

yJxyjy\yjy

所以若要不等式五十心27,一6加恒成立，

只要162/??—6加，即〃/-6機(jī)一16V0,

解得一2WmW8,所以me[-2,8].

故答案為：[-2,8]

15、60

【解析】求出高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的方法計(jì)算即可.

【詳解】高三年級(jí)有學(xué)生2000-750-650=60CA，

用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本,

應(yīng)抽取高三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為

200X—=60

2000

故答案為：60

16、(2X3)

【解析】由于/(—x)=-^^sin2x+|cos2X為非奇非偶函數(shù)，①錯(cuò)誤.xe,2xe-玲，此時(shí)

/(x)=Gsin2x+cos2x=2sin(2x+^),其在一;弓上為增函數(shù)，②正確.由于

/(x+7i)=V3sin2x+|cos2x|=/(x),所以函數(shù)最小正周期為兀，③正確.由于

/f—1=V3sin—+cos—=-75+且H0,故④正確.當(dāng)2x=包

U2J6622

時(shí)，/=—6+等*—L732+0.707<—1,故⑤錯(cuò)誤.綜上所述,正確的編號(hào)為②③.

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)

17、(1)/(x)=4sml3x+—I,—?(2)一丁"1——(攵^Z)?

【解析】(1)由函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(=，4］且f(x)的圖象有一條對(duì)稱軸為直線x=2，

U2J12

可得最大值4且能得周期并求得"，由五點(diǎn)法作圖求出9的值，可得函數(shù)的解析式

(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得/?<>)的單調(diào)遞增區(qū)間

【詳解】⑴函數(shù)f(x)=4sin(3廣。)(Q0,3>0,冏<微)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

n

且F(x)的圖象有一條對(duì)稱軸為直線x=一,

故最大值Q4,且「冷？f，

T=—,

3

〃，

...3=2=3

T

所以/(x)=4sin(3x+。).

因?yàn)?(X)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以4=4sin(3x*+c

TT

所以夕=—+2攵兀，keZ.

4

ITTT

因?yàn)閘el<7,所以。=:，

24

所以f(x)=4sin[3x+?).

I71\7TTT7T

(2)因?yàn)?(%)=4sin3xH,所以----F<3xH—<—F2k兀,女￡Z,

k4)242

~,、t712k7l,,712k7l,r

所以----1---Wx<--1---9kGZ,

43123

即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一?+等，展+等(ZeZ).

【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)尸/sin(3升。)的性質(zhì)求解析式，通常由函數(shù)的最大值求出4由周期求出3,由

五點(diǎn)法作圖求出夕的值，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題

1-3V41

18、(1)/(x)=-----；(2)a>—.

J3+3'+,r16

【解析】

(1)由/(幻是奇函數(shù)可得/(—)=一/(幻=(〃-1乂3'+1)=0,從而可求得〃值，即可求得了(x)的解析式；

(2)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷/(x)在R上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的奇偶性將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

llog2x.(3-log2x)<2?-4>令「=1唯》，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得g⑶-產(chǎn))的最大值，即可求得。的取值范圍

【詳解】(D因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=±W為奇函數(shù)，

3+3*”

x

所以/(—x)=—/(x),即3n-^T=一n-3*

3+3-x+i3+3*M

如“〃3—1_n-V

13向+3--3+3川

所以〃—1=—〃+3'—1乂3*+1)=0,

1_3'

可得〃=1,函數(shù)/"(幻=工^

3+3.|

c,、i-3Aiy-ii2

(2)由(D知八幻=短二=一]對(duì)=一§+逆可

所以/(X)在(YO,E)上單調(diào)遞減.

由,/^log4x-log21^+/(4-2a)>0,得/「og4X-log2'|)>-/(4-2a),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是奇函數(shù)，

所以/[logilogzg)〉/(2。-4),

所以log4x(3-log2x)<2。-4,整理得(log?x(3-log2x)<2a—4,

設(shè)，=log2X,twR,

則g(3r—產(chǎn))<2a—4,

q1o

當(dāng)時(shí)，y=](3f-產(chǎn))有最大值，最大值為耳.

941

所以2。-4>—,即—.

816

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個(gè)，一是利用：(1)奇函數(shù)由/(X)十/x)=o恒成立

求解，(2)偶函數(shù)由/(%)-/(-%)=0恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由/(0)=0求解，偶函數(shù)一

般由/(1)一/(一1)=0求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗(yàn)證奇偶性.

19、(1)A={0,1,2,3,4,5,6,7)；(2)見(jiàn)解析.

【解析】(I)當(dāng)q=2,n=3時(shí)，M={0,1},A={x|x=xi+x2*2+x3*22,xgM,i=L2,3}?即可得到集合A；

(II)由于a”bi^M,i=L2,n.an<bn,可得an?bn￡l.由題意可得

n2nln2nl

s-t=(ai-bi)+(ai-b2)q+...+(an-i-bn-i)q'+(an-bn)q<-[l+q+...+q'+q],再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出

試題解析：

2

⑴當(dāng)q=2,n=3時(shí),M={0,1},A={x|x=xi+xr2+x3-2,x.GM,i=L2,3},可得

A={0,1,2,3,4,5,6,7}

n-1

(2)證明：由s,t￡A,s=ai+azq+…+即qnT,t=bi+b2q+...+bnq,a”bi@M,i=L2,n及an<bn,可得

n2111

s-t=(ai-bi)+(a2-b2)q+...+(an_i-bn-i)q-+(an-bnjq-

<(q—l)+(q-l)q+...+(q—l)qn—2—qn-1

_(q-1)(1—『1)_cn-l

1一q

=—1<0,

所以S<t.

513

20、(1)/(X)=X2-X+1(2){0}U［l,4)(3)

【解析】(1)因/(0)=/。)，故對(duì)稱軸為x=；,故可設(shè)=+-,再由/⑴=1得a=l.(2)

2\2)4

〃x)=x+〃2有唯一實(shí)數(shù)根可以轉(zhuǎn)化為y=m與y=/(x)7有唯一的交點(diǎn)去考慮.⑶g(x)=%2-2rx+l,任意

不馬目4句都有不等式原5卜且色卜孤立等價(jià)于/㈤儂二八比0〃，分區(qū)4、4</4|、■|<fW5和

/>5四種情形討論即可.

解析：(1)因/(o)=/⑴，對(duì)稱軸為元=不設(shè)〃x)=aX--+士，由/(o)=l得a=l,所以.f(x)=x2—X+1.

2k2；4

(2)由方程/(x)=x+/〃得加=f—2x+l，即直線>=加與函數(shù).丫=%2-21+1.?-1,2)的圖象有且只有一個(gè)交

點(diǎn)，作出函數(shù)》=%2一2工+1在%?-1,2)的圖象易得當(dāng)〃2=0或〃?目1,4)時(shí)函數(shù)圖象與直線丁=加只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以加的取值范圍是{0}U［l,4).

(3)由題意知g(x)=f-2及+1.

假設(shè)存在實(shí)數(shù)/滿足條件，對(duì)任意埠馬日4,5］都有|g(xj-g(x2)|<4成立，即［|g(xj-g(xJL<4,故有

［g(x)L—［g(x)L<4,由g(x)=(x—f)2T2+i,xe［4,5］.

當(dāng)Y4時(shí),8(%)在［4,5］上為增函數(shù)加(力］舊一幅(切沛11=8(5)-8(4)<4,r>|,所以|<f/4；

當(dāng)4<f4|時(shí)，［g(x)］皿一［g(x)L,=g(5)-g")<4,25-10/+1-/+2/一1<4.即/_10/+21<0,解得

9

3<r<7,所以4<，4一.

2

當(dāng)TQ5時(shí)，［g(x)］_一［g(切*=g(4)-g⑴<4

9

即產(chǎn)一8/+12<0解得2<，<6.所以一</45.

2

當(dāng)/>5時(shí)，[g(x)L—[g(x)Ln=g⑸—g(4)<4,即「<￡,所以5<k當(dāng)，綜上所述，|<z<y>

所以當(dāng)〈當(dāng)時(shí)，使得對(duì)任意方,七44,5]都有|g(%)-g(/)|<4成立.

點(diǎn)睛：(1)求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，有時(shí)也需要根據(jù)題設(shè)的特點(diǎn)合理假設(shè)二次函數(shù)的形式(如雙根

式、頂點(diǎn)式、一般式)；

(2)不等式|/(內(nèi))一〃％2)歸”對(duì)任意的》引。，國(guó)恒成立可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為了(初皿一/(工焉<加恒成立.

21、(1)條件選擇見(jiàn)解析，/(x)=2sin(2x+￡)

兀24]

(2)單調(diào)遞減區(qū)間為k7r+—,k7r+—(AGZ),最小值為-1,最大值為2

_63

【解析】(D選條件①：利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式以及兩角和的正弦公式和倍角公式，將/(x)化為只含一個(gè)三角

函數(shù)形式，根據(jù)最小正周期求得。=1,即可得答案；

選條件②：利用兩角和的正弦公式以及倍角公式，將/(x)化為只含一個(gè)三角函數(shù)形式，根據(jù)最小正周期求得。=1,

即可得答案；

7T

選條件③，先求得。=1,利用三角函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律，可得到g(X)的表達(dá)式，根據(jù)其性質(zhì)求得。=W，即得答

6

案；

冗冗477T

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案，再由0,-,確定2x+二w,根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)即可求得

_2JoL66

答案.

【小問(wèn)1詳解】

選條件①：

法一：/(x)=(sinCDX+43COSCOX)2-2

=sin2cox+3cos2cox+2>/3sincoxcoscox-2

=2cos2GX-1+6sin2cox

=>/3sin2cox+cos2cox

=2sinf269X+

又由函數(shù)/(X)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為探,

可知函數(shù)最小正周期T=2巴=)，，。=1,

2co

/(x)=2sin(2x+?)

選條件②：

f(x)=4cosd?xsinGX+--1

k6J

4(?71.i

=4COSGXsin<yxcos—+coscoxsm--1

I66)

-2百sincoxcoscox+2cos2cox-1

=>/3sin2cox+cos2cox

又最小正周期T=-----71,69=1,

2co

/./(x)=2sin|2x+—I

選條件③:

由題意可知，最小正周期T=----=7T/.<y=l,

2G9

/.f(x)=2sin(2x+。),