山東省濟南市章丘區(qū)第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考4月試題含解析

PAGE23-山東省濟南市章丘區(qū)第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考（4月）試題（含解析）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B.0 C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算法則干脆求解．【詳解】解：是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，虛部為．故選：．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，考查復(fù)數(shù)的運算法則等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知兩個異面直線的方向向量分別為，，且||＝||＝1，?，則兩直線的夾角為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出向量的夾角，再利用異面直線角的定義干脆求解即可【詳解】設(shè)兩直線的夾角為θ，則由題意可得1×1×cos，，∴cos，，∴，，∴θ，故選：．【點睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，留意兩直線的夾角與，的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3.在的綻開式中，記項的系數(shù)為，則＋＋＋＝()A.45 B.60 C.120 D.210【答案】C【解析】【分析】由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項的系數(shù)，求和即可．【詳解】（1+x）6（1+y）4的綻開式中，含x3y0的系數(shù)是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系數(shù)是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系數(shù)是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系數(shù)是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故選C．【點睛】本題考查二項式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項式定理的應(yīng)用，考查計算實力．4.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】構(gòu)造新函數(shù),，當(dāng)時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.故選A.點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，須要構(gòu)造函數(shù)，例如，想到構(gòu)造.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).5.若5個人按原來站的位置重新站成一排，恰有兩人站在自己原來的位置上的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，分2步分析：①先從5個人里選2人，其位置不變，其余3人都不在自己原來的位置，②分析剩余的3人都不在自己原來位置的站法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】依據(jù)題意，分2步分析：①先從5個人里選2人，其位置不變，有種選法，②對于剩余的三人，因為每個人都不能站在原來的位置上，因此第一個人有兩種站法，被站了自己位置的那個人只能站在第三個人的位置上，因此三個人調(diào)換有2種調(diào)換方法，故不同的調(diào)換方法有種.而基本領(lǐng)件總數(shù)為,所以所求概率為，故選C.【點睛】該題考查的是有關(guān)古典概型求概率的問題，涉及到的學(xué)問點有分步計數(shù)原理，排列組合的綜合應(yīng)用，古典概型概率求解公式，屬于簡潔題目.6.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，則()A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)，令，求出，進而求出即可求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，當(dāng)時，，解得，所以，所以.故選：C【點睛】本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；考查運算求解實力；嫻熟駕馭基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，對a分類探討，分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點處的函數(shù)值進行推斷求解.【詳解】∵，.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，也不合題意.當(dāng)時，則時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，又，所以在上有兩個零點，只需即可，解得.綜上，的取值范圍是.故選C.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題．8.如圖在正方體中，點為線段的中點.設(shè)點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】設(shè)正方體的棱長為，則，所以，.又直線與平面所成的角小于等于，而為鈍角，所以的范圍為，選B.【考點定位】空間直線與平面所成的角.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9.關(guān)于的說法，正確的是()A.綻開式中的二項式系數(shù)之和為2048B.綻開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大C.綻開式中第6項和第7項的二項式系數(shù)最大D.綻開式中第6項的系數(shù)最小【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)即可推斷選項A；由為奇數(shù)可知，綻開式中二項式系數(shù)最大項為中間兩項，據(jù)此即可推斷選項BC；由綻開式中第6項的系數(shù)為負數(shù)，且其肯定值最大即可推斷選項D.【詳解】對于選項A：由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，的二項式系數(shù)之和為，故選項A正確；因為的綻開式共有項，中間兩項的二項式系數(shù)最大，即第6項和第7項的二項式系數(shù)最大，故選項C正確，選項B錯誤；因為綻開式中第6項的系數(shù)是負數(shù)，且肯定值最大，所以綻開式中第6項的系數(shù)最小，故選項D正確；故選：ACD【點睛】本題考查利用二項式定理求二項綻開式的系數(shù)之和、系數(shù)最大項、系數(shù)最小項及二項式系數(shù)最大項；考查運算求解實力；區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.10.已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A.，B.函數(shù)的圖象肯定關(guān)于原點成中心對稱C.若是的微小值點，則在區(qū)間單調(diào)遞減D.若是的極值點，則【答案】AD【解析】【分析】對于選項A：利用零點存在性定理推斷即可；對于選項B：利用函數(shù)圖象成中心對稱的定義進行推斷即可；對于選項C：實行特別函數(shù)方法，若取，則，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性和極值即可；對于選項D：依據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義和極值點的定義即可推斷.【詳解】對于選項A：因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，由題意知函數(shù)為定義在上的連續(xù)函數(shù)，所以，，故選項A正確；對于選項B：因為，，所以，即點為函數(shù)的對稱中心，當(dāng)時，函數(shù)的圖象不關(guān)于原點對稱，故選項B錯誤；對于選項C：若取，則，所以，由可得，或，由可得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以為函數(shù)的微小值點，但在區(qū)間并不是單調(diào)遞減，故選項C錯誤；對于選項D：若是的極值點，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義知，故選項D正確；故選：AD【點睛】本題考查三次函數(shù)性質(zhì)的推斷；考查零點存在性定理、函數(shù)圖象對稱中心的推斷、利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性和極值；考查運算求解實力和邏輯推理實力；嫻熟駕馭基本初等函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求解本題的關(guān)鍵；屬于綜合型、難度大型試題.11.已知四棱柱為正方體．則下列結(jié)論正確的是（）．A.B.C.向量與向量的夾角是D.正方體的體積為【答案】ABC【解析】【分析】建立空間直角坐標系求出各點坐標，對A、B選項只需再求出對應(yīng)的向量坐標代入驗證等式是否成立，即可推斷A、B正誤；對C選項利用空間向量的夾角公式求出夾角，即可推斷正誤；對于D選項只需將推斷是否等于體積即可．【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為1，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為，，，，，，因為，所以；．故A正確．因為，，所以．故B正確．因為，，所以，，，所以，所以向量與向量的夾角是，故C正確．因為，所以，所以故D錯誤．故選：ABC．【點睛】本題主要考查空間向量及其運算，屬于基礎(chǔ)題．12.已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確是()A.在上單調(diào)遞增 B.C.方程有實數(shù)解 D.存在實數(shù)，使得方程有個實數(shù)解【答案】BCD【解析】【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性得到錯誤；推斷得到正確；依據(jù)得到正確；構(gòu)造函數(shù)，畫出函數(shù)圖象知正確，得到答案.【詳解】，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，錯誤；，依據(jù)單調(diào)性知，正確；，，故方程有實數(shù)解，正確；，易知當(dāng)時成立，當(dāng)時，，設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.畫出函數(shù)圖象，如圖所示：當(dāng)時有3個交點.綜上所述：存在實數(shù)，使得方程有個實數(shù)解，正確；故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，比較函數(shù)值大小，方程解的個數(shù)，意在考查學(xué)生對于函數(shù)學(xué)問的綜合應(yīng)用.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.一個袋子中有3個白球，2個紅球，每次從中任取2個球，取出后再放回，則第1次取出的2個球1個是白球，1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率為______________.【答案】【解析】【分析】分別求解第1次和第2次的概率，結(jié)合事務(wù)的獨立性可得.【詳解】記“第1次取出的2個球中1個是白球，1個是紅球”為事務(wù)，“第2取出的2個球都是白球”為事務(wù)，則，，則.故答案為：.【點睛】本題主要考查相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率，利用獨立事務(wù)的乘法公式可求，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).14.從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，一般隊員2人，組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有__________種不同的選法．（用數(shù)字作答）【答案】660【解析】【詳解】第一類，先選女男，有種，這人選人作為隊長和副隊有種，故有種；其次類，先選女男，有種，這人選人作為隊長和副隊有種，故有種，依據(jù)分類計數(shù)原理共有種，故答案為.15.已知函數(shù)圖象過點，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】把點代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間使為所求增區(qū)間的子集，列出關(guān)于的不等式即可求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象過點，所以，解得，所以函數(shù)，，由可得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)解析式的求解、利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；考查運算求解實力；嫻熟駕馭利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.16.正方體的棱長為2,是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上隨意兩點之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動點,當(dāng)弦的長度最大時,的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由弦的長度最大可知為球的直徑.由向量的線性運用表示出，即可由范圍求得的取值范圍.【詳解】連接，如下圖所示：設(shè)球心為,則當(dāng)弦的長度最大時，為球的直徑，由向量線性運算可知正方體的棱長為2，則球的半徑為1，，所以，而所以，即故答案為：.【點睛】本題考查了空間向量線性運算與數(shù)量積的運算，正方體內(nèi)切球性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知為復(fù)數(shù)，和均為實數(shù)，其中是虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)和；(2)若在第四象限，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）或【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)建立方程求出，再求其模；（2）先求出，再建立不等式求解：（Ⅰ）設(shè)，則（Ⅱ）或點睛：本題旨在考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及加減乘除等基本運算等有關(guān)學(xué)問的綜合運用．求解時先，然后依據(jù)題設(shè)建立方程求出，再求其模；其次問時先求出，再建立不等式組求解得或而獲解.18.2024年國際乒聯(lián)總決賽在韓國仁川實行，競賽時間為12月13﹣12月16日，在男子單打項目，中國隊打算選派4人參與.已知國家一線隊共6名隊員，二線隊共（1）求恰好有3名國家一線隊隊員參與競賽的概率；（2）設(shè)隨機變量表示參與競賽的國家二線隊隊員的人數(shù)，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列見解析.【解析】【分析】（1）利用組合數(shù)公式求出總的基本領(lǐng)件數(shù)和恰好有3名國家一線隊隊員參與競賽包含的基本領(lǐng)件數(shù)，代入古典概型概率計算公式求解即可；（2）由題意知，的取值為0，1，2，3，4，利用組合數(shù)公式和古典概型概率概率計算公式分別求出對應(yīng)的概率即可求解.【詳解】（1）由題意知，總的基本領(lǐng)件數(shù)為，恰好有3名國家一線隊隊員參與競賽包含的基本領(lǐng)件數(shù)為，恰好有3名國家一線隊隊員參與競賽的概率.（2）的取值為0，1，2，3，4，，，，，，的分布列為：01234【點睛】本題考查利用組合數(shù)公式求古典概型概率和離散型隨機變量的分布列；考查運算求解實力；嫻熟駕馭組合數(shù)公式和古典概型概率計算公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.19.已知函數(shù).（1）若時，推斷的單調(diào)性；（2）若，求在上的最小值.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解析】【分析】（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）對函數(shù)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性求給定區(qū)間上的最值即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，則，由，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）因為，則，由，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以，由于，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為，所以函數(shù)在上的最小值為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值、最值；考查運算求解實力；利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.20.已知在的綻開式中，第6項的系數(shù)與第4項的系數(shù)之比是.（1）求綻開式中的系數(shù)；（2）求綻開式中系數(shù)肯定值最大的項；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用二項綻開式的通項公式求出綻開式的通項，求出綻開式中的第6項的系數(shù)與第4項的系數(shù)，列出方程求出的值，代入二項綻開式的通項公式即可求解；（2）利用兩邊夾定理，設(shè)第項系數(shù)的肯定值最大，列出關(guān)于的不等式即可求解；（3）利用二項式定理求解即可.【詳解】（1）由，得，通項，令，解得，綻開式中的系數(shù)為.（2）設(shè)第項系數(shù)的肯定值最大，則，所以，系數(shù)肯定值最大項為.（3）原式.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用、二項綻開式的通項公式和系數(shù)最大項的求解；考查運算求解實力和邏輯推理實力；嫻熟駕馭二項綻開式的通項公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.21.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側(cè)面底面，，.（Ⅰ）求證：平面面；（Ⅱ）過的平面交于點，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.【答案】（I）詳見解析；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）由題意得到面，從而．又由題意證得四邊形為菱形，故得，于是平面．依據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論成立．（Ⅱ）由題意得為中點，建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，依據(jù)兩向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值．【詳解】（Ⅰ）證明：因為，則，又側(cè)面底面，平面平面，平面，所以面．因為平面，則．又因為，四邊形為平行四邊形，則，又則為等邊三角形，則四邊形為菱形，所以．又，所以平面．又面，所以平面平面．（Ⅱ）由平面把四面體分成體積相等的兩部分，則為中點．由（Ⅰ）知面，且四邊形為菱形、．以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則,．設(shè)平面的法向量為，由，得，令，可得．同理，平面的法向量．所以．由圖形得二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．【點睛】（1）解答第一問時，要留意空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，合理運用轉(zhuǎn)化達到求解的目的，同時還要留意平面幾何學(xué)問的運用．（2）空間向量的引入為求空間角供應(yīng)了工具，通過求出兩平面法向量的夾角可得到二面角的大?。捎诜ㄏ蛄康膴A角和二面角是相等或互補的關(guān)系，所求在求出法向量的夾角后還要通過視察圖形得到二面角為銳角還是鈍角，最終才能得到所求結(jié)論．22.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）