2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)單元測(cè)試卷一課一練含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)第四章單元測(cè)試卷第Ⅰ部分選擇題(共40分)一、選擇題(5分×8=40分)1.☉%@0￥8￥34#%☉(2024·廣州二中高一期中)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在定義域上是增函數(shù)的是()。A.y=exB.y=lnxC.y=ex-1exD.y=ex答案：C解析：y=ex,y=lnx,y=ex+1ex不是定義域上的奇函數(shù),而y=ex-1ex是定義域上的奇函數(shù),且在(-∞,+∞)上,y1=ex,y2=-1ex是增函數(shù),所以y=ex-1ex是2.☉%5@5@@2@3%☉(2024·北京檢測(cè))假如log12x<log12y<0,那么A.y<x<1B.x<y<1C.1<x<yD.1<y<x答案：D解析：對(duì)數(shù)函數(shù)y=log12x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則由log12x<log12y<0=log121,3.☉%￥*#8046#%☉(2024·南充一中高一月考)已知函數(shù)f(x)=2log12x的值域?yàn)閇-1,1],則函數(shù)f(x)的定義域是(A.22,C.12,2D.-∞,2答案：A解析：由已知得-12≤log12x≤12,1212≤x≤12-14.☉%@*574#@6%☉(2024·黃岡中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)=12x,則函數(shù)f(x+1)的反函數(shù)的圖像可能是(圖4-8答案：D解析：函數(shù)f(x)=12x的圖像恒過(guò)點(diǎn)(0,1),則函數(shù)f(x+1)的圖像恒過(guò)點(diǎn)(-1,1),則其反函數(shù)的圖像恒過(guò)點(diǎn)(1,-1)。而選項(xiàng)A,B,C中的圖像明顯不過(guò)點(diǎn)(1,-1),故解除。所以正確選項(xiàng)為D。故選5.☉%3￥￥*8#31%☉(2024·合肥一中月考)已知f(x)=(a-2)x,x≥2,1A.(-∞,2)B.-C.(0,2)D.13答案：B解析：由題意得,函數(shù)f(x)=(a-2)x,x≥2,12x-6.☉%055#1#*@%☉(2024·九江一中月考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)。記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為()。A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a答案：B解析：由f(x)=2|x-m|-1是偶函數(shù),得m=0,則f(x)=2|x|-1。當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=2x-1單調(diào)遞增,又a=f(log0.53)=f(|log0.53|)=f(log23),c=f(0),且0<log23<log25,則f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b。故選B。7.☉%07@@63￥@%☉(2024·黃石二中月考)當(dāng)0<x≤12時(shí),4x<logax,則a的取值范圍是()A.0,22C.(1,2)D.(2,2)答案：B解析：當(dāng)0<x≤12時(shí),1<4x≤2。要使4x<logax,則由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得0<a<1。數(shù)形結(jié)合可知只需2<logax,所以0<a<1,logaa2<logax,即0<a<8.☉%#6￥￥239@%☉(2024·蕪湖中學(xué)檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=|lgx|。若0<a<b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是()。A.(22,+∞)B.[22,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案：C解析：因?yàn)閒(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|。又b>a>0,則lga<0,即a<1,lgb>0,即b>1,所以0<a<1<b,|lga|=-lga,|lgb|=lgb,即lga+lgb=lg(ab)=0,所以b=1a,則a+2b=a+2a。令g(x)=x+2x,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)g(x)在(0,1)上為減函數(shù),所以g(a)>g(1)=1+21=3,即a+2b的取值范圍是(3,+∞第Ⅱ部分非選擇題(共60分)二、填空題(5分×3=15分)9.☉%￥@69#3#0%☉(2024·樂(lè)山一中檢測(cè))已知125x=12.5y=1000,則y-xxy=答案：13解析：因?yàn)?25x=12.5y=1000,所以x=log1251000,y=log12.51000,y-xxy=1x-1y=log1000125-log100012.5=log100012510.☉%@￥4￥*038%☉(2024·衡水中學(xué)高一月考)已知奇函數(shù)y=f(x)(x∈R且x≠0),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x+2,則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為。

答案：[-1,0),(0,1]解析：若x<0,則-x>0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x+2,所以當(dāng)-x>0時(shí),f(-x)=-(-x)2+2(-x)+2=-x2-2x+2。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x)=-x2-2x+2,所以f(x)=x2+2x-2,x<0。當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x+2,此時(shí)函數(shù)的遞增區(qū)間為(0,1],當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x-2,此時(shí)函數(shù)的遞增區(qū)間為[-1,0),綜上,函數(shù)的遞增區(qū)間為[-1,0),(0,1]。11.☉%*@￥307*1%☉(2024·石嘴山第三中學(xué)高一上期末)給出下列四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)y=12-x②已知函數(shù)y=loga(2-ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是減函數(shù),則a的取值范圍是(1,2];③在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=log2x與y=log12x的圖像關(guān)于y④在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=2x與y=log2x的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。其中正確結(jié)論的序號(hào)是。答案：②④解析：①應(yīng)是最小值為12,③應(yīng)關(guān)于x三、解答題(共45分)12.(10分)☉%7###￥532%☉(2024·黃石二中月考)計(jì)算:(1)12-1-350答案：解:原式=2+1-1+23+e-2=23(2)lg500+lg85-12lg64+50×(lg2+lg5)答案：原式=lg5+lg102+lg23-lg5-12lg26+50×(lg10)2=lg5+2+3lg2-lg5-3lg2+50=5213.(10分)☉%2@12#4@*%☉(2024·大冶一中檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=log12(x2-2ax(1)若函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,1)∪(3,+∞),求實(shí)數(shù)a的值;答案：解:由題意,知x2-2ax+3>0的解集為(-∞,1)∪(3,+∞),故a=2。(2)若函數(shù)的值域?yàn)?-∞,-1],求實(shí)數(shù)a的值。答案：若函數(shù)的值域?yàn)?-∞,-1],即f(x)=log12(x2-2ax+3)≤-1,且-1能取到,故x2-2ax+3≥故a2-1=0,即a=1或a=-1。14.(12分)☉%4327￥*@￥%☉(2024·啟東高級(jí)中學(xué)月考)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=b-(1)求a,b的值;答案：解:因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,b=1。又f(-1)=-f(1),得a=1。經(jīng)檢驗(yàn)a=1,b=1符合題意。(2)證明f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù);答案：證明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=1-2x12x1因?yàn)閤1<x2,所以2x2-2又(2x1+1)(2x2+1)>0,所以f(x1)>f(所以f(x)為R上的減函數(shù)。(3)若對(duì)于隨意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍。答案：解:因?yàn)閠∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,所以f(t2-2t)<-f(2t2-k)。因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(t2-2t)<f(k-2t2)。因?yàn)閒(x)為減函數(shù),所以t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立。而3t2-2t=3t-132-13≥-13故k的取值范圍為-∞15.(13分)☉%1@8#1￥3*%☉(2024·山西高校附屬中學(xué)高一下學(xué)期2月模塊診斷)已知函數(shù)f(x)=log2(2x+k)(k∈R)的圖像過(guò)點(diǎn)P(0,1)。(1)求k的值并求函數(shù)f(x)的值域;答案：解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)P(0,1),所以log2(20+k)=1,解得k=1。則f(x)=log2(2x+1),因?yàn)?x+1>1,所以f(x)=log2(2x+1)>0,所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0,+∞)。(2)若關(guān)于x的方程f(x)=x+m,x∈[0,1]有實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。答案：方程有實(shí)根,即m=f(x)-x有實(shí)根,構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-x=log2(2x+1)-x,則h(x)=log2(2x+1)-log22x=log22x+12x