2017屆高考理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)檢測(cè)題60

課時(shí)作業(yè)(四十七)兩條直線的位置關(guān)系與距離公式一、選擇題1．(2016·濟(jì)南模擬)已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，則a＝()A．－1B．2C．0或－2D．－1或2解析：若a＝0，兩直線方程分別為－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此時(shí)兩直線相交，不平行，所以a≠0；當(dāng)a≠0時(shí)，兩直線若平行，則有eq\f(a－1,1)＝eq\f(2,a)≠eq\f(1,3)，解得a＝－1或2。答案：D2．(2016·金華調(diào)研)當(dāng)0＜k＜eq\f(1,2)時(shí)，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1,ky－x＝2k))得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1)，\f(2k－1,k－1)))，因?yàn)?＜k＜eq\f(1,2)，所以eq\f(k,k－1)＜0，eq\f(2k－1,k－1)＞0，故交點(diǎn)在第二象限。答案：B3．(2016·安慶調(diào)研)已知兩點(diǎn)A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m的值為()A．0或－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)或－6C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)D．0或eq\f(1,2)解析：依題意得eq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋1))＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋1))，所以|3m＋5|＝|m所以3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－所以m＝－6或m＝eq\f(1,2)。故應(yīng)選B。答案：B4．(2016·武漢調(diào)研)已知A，B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2x－y＝0與x＋ay＝0上，且AB線段的中點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(10,a)))，則線段AB的長(zhǎng)為()A．11B．10C．9D．8解析：由兩直線垂直，得－eq\f(1,a)·2＝－1，解得a＝2.所以中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,5)。則OP＝5，在直角三角形中斜邊的長(zhǎng)度AB＝2OP＝2×5＝10，所以線段AB的長(zhǎng)為10。答案：B5．(2016·北京模擬)已知點(diǎn)A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝eq\r(3)，則直線AB的方程為()A．y＝eq\r(3)x＋eq\r(3)或y＝－eq\r(3)x－eq\r(3)B．y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)或y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)C．y＝x＋1或y＝－x－1D．y＝eq\r(2)x＋eq\r(2)或y＝－eq\r(2)x－eq\r(2)解析：因?yàn)锳(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝eq\r(3)，所以eq\r(cosα＋12＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα)＝eq\r(3)，所以，cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝±eq\f(\r(3),2)，所以kAB＝±eq\f(\r(3),3)，即直線AB的方程為y＝±eq\f(\r(3),3)(x＋1)，所以AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)或y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)。答案：B6．(2016·臺(tái)州質(zhì)檢)直線(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，當(dāng)此直線在x，y軸的截距和最小時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是()A．1B.eq\r(2)C．2D．3解析：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a＋3，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝eq\f(a＋3,a－1)，令t＝a＋3＋eq\f(a＋3,a－1)＝5＋(a－1)＋eq\f(4,a－1)?！遖＞1，∴a－1＞0.∴t≥5＋2eq\r(a－1·\f(4,a－1))＝9。當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝eq\f(4,a－1)，即a＝3時(shí)，等號(hào)成立。答案：D二、填空題7．若直線l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則實(shí)數(shù)m的值為__________。解析：l1、l2與坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)。因?yàn)閮勺鴺?biāo)軸垂直，故l1⊥l2，即2m＋10＝0，∴m答案：－58．點(diǎn)P(0,1)在直線ax＋y－b＝0上的射影是點(diǎn)Q(1,0)，則直線ax－y＋b＝0關(guān)于直線x＋y－1＝0對(duì)稱的直線方程為__________。解析：由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a×1＋0－b＝0,－a×\f(0－1,1－0)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－1。))即ax＋y－b＝0為x－y－1＝0，設(shè)x－y－1＝0關(guān)于x＋y－1＝0對(duì)稱的直線上任一點(diǎn)(x，y)，點(diǎn)(x，y)關(guān)于x＋y－1＝0的對(duì)稱點(diǎn)(x0，y0)必在x－y－1＝0上，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0)＝1,\f(x＋x0,2)＋\f(y＋y0,2)－1＝0，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1－y,y0＝1－x，))代入x－y－1＝0，得x－y－1＝0。答案：x－y－1＝09．(2016·張家界模擬)已知點(diǎn)A(－5,4)和B(3,2)，則過點(diǎn)C(－1,2)且與點(diǎn)A，B的距離相等的直線方程為__________。解析：由題可知，當(dāng)過點(diǎn)C的直線斜率不存在時(shí)，即直線為x＝－1時(shí)，點(diǎn)A，B到直線的距離均為4；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可知要使點(diǎn)A，B到直線的距離相等，則過點(diǎn)C的直線的斜率k＝kAB＝eq\f(2－4,3－－5)＝－eq\f(1,4)，故此時(shí)直線方程為y－2＝－eq\f(1,4)(x＋1)，即x＋4y－7＝0。綜上所述，所求直線方程為x＝－1或x＋4y－7＝0。答案：x＝－1或x＋4y－7＝0三、解答題10．已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程。(1)l′與l平行且過點(diǎn)(－1,3)；(2)l′與l垂直且l′與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4；(3)l′是l繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°而得到的直線。解析：(1)直線l：3x＋4y－12＝0，kl＝－eq\f(3,4)，又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－eq\f(3,4)。∴直線l′：y＝－eq\f(3,4)(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0。(2)∵l′⊥l，∴kl′＝eq\f(4,3)。設(shè)l′與x軸截距為b，則l′與y軸截距為eq\f(4,3)b，由題意可知，S＝eq\f(1,2)|b|·|eq\f(4,3)b|＝4，∴b＝±eq\r(6)?！嘀本€l′：y＝eq\f(4,3)x＋eq\r(6)或y＝eq\f(4,3)x－eq\r(6)。(3)∵l′是l繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°而得到的直線，∴l(xiāng)′與l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。任取點(diǎn)在l上(x0，y0)，則在l′上對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)。x＝－x0，y＝－y0，則－3x－4y－12＝0?！鄉(xiāng)′為3x＋4y＋12＝0。11．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)，(1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值。解析：(1)經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴eq\f(|10＋5λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3。即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或eq\f(1,2)。∴l(xiāng)方程為x＝2或4x－3y－5＝0。(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0,x－2y＝0，))解得交點(diǎn)P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離，則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)。∴dmax＝|PA|＝eq\r(10)。12．一條光線經(jīng)過P(2,3)點(diǎn)，射在直線l：x＋y＋1＝0上，反射后穿過點(diǎn)Q(1,1)。(1)求入射光線的方程；(2)求這條光線從P到Q的長(zhǎng)度。解析：如圖所示。(1)設(shè)點(diǎn)Q′(x′，y′)為Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)且QQ′交l于M點(diǎn)。∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，∴QQ′所在直線方程為y－1＝1·(x－1)，即x－y＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0,x－y＝0，))解得l與QQ′的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))。又∵M(jìn)為QQ′的中點(diǎn)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x′,2)＝－\f(1,2),\f(1＋y′,2)＝－\f(1,2)。))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝－2,y′＝－2。))∴Q′(－2，－2)。設(shè)入射光線與l交于點(diǎn)N，且P、N、Q′共線。由P(2,3)、Q′(－2，－2)，得入射光線的方程為eq\f(y＋2,3＋2)＝eq\f(x＋2,2＋2)，即5x－4y＋2＝0。(2)∵l是QQ′的垂直平分線，因而|NQ|＝|NQ′|，∴|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|＝eq\r(3＋22＋2＋22)＝eq\r(41)。即這條光線從P到Q的長(zhǎng)度是eq\r(41)。沁園春·雪<毛澤東>