上海市嘉定區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（中考一模） 含詳解

嘉定區(qū)2020學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)期未質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學(xué)試卷

（滿分150分，考試時(shí)間100分鐘）

同學(xué)們注意：

L本試卷含三個(gè)大題，共25題；沒(méi)有特殊說(shuō)明，幾何題均視為在同一個(gè)平面內(nèi)

研究問(wèn)題.

2.答題時(shí)，務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上

答題一律無(wú)效；

3.除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上

寫出證明或計(jì)算的主要步驟.

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

a_c

1.如果實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足。d,下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確是（）

a+bc+dac-a+cc

A.------=------B.-----=------C.------=—D.

bda+bc+dh+dd

a2_c2

~b~~d

2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸（1,3）,點(diǎn)P與原點(diǎn)0的連線與x軸的正半軸的夾

角為a（0°<e<90°）,那么tana的值是（)

r3M

A.叵8.1P.3

10310

3.拋物線y=2d一3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（2,-3）B.（2,3）C.(0,-3)D.（。，3）

4.已知2是一個(gè)單位向量，￡、B是非零向量，那么下列等式正確的是（)

C薩工

人即=￡氏序4D.

1-_1r

iO

5.在心中，NACB=90。，NA=30。，CD±AB,垂足為D.下列四個(gè)選項(xiàng)

中，不正確的是（）

.AC^BCg八BD66

AB2CD2CD3

BCy/3

AC-T

6.二次函數(shù)y=a（x+〃?『+左的圖像如圖所示，下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是（）

圖1

A.m<0,女<0B.m<0,k>0C.m>0,k<0D.

m>0,k>0

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.正方形邊長(zhǎng)與其對(duì)角線長(zhǎng)的比為.

8.已知點(diǎn)P是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AP>BP,那么AP：AB的比值為,

AQ

q.如圖，點(diǎn)D在△ABC的A8邊上，當(dāng)一二_____時(shí)，AACD與△ABC相似.

AC

已知向量關(guān)系式2公+6伍一x）=6,那么向量1=.（用向量￡與向量區(qū)表示）

li.如圖，飛機(jī)P在目標(biāo)A的正上方，飛行員測(cè)得目標(biāo)B的俯角為30°,那么NAP8的

度數(shù)為°.

水平線

--------------D

/

/

/

視線

//垂直線

/

/

/

/

BA

12.已知一個(gè)斜坡的坡度i=1:6,那么該斜坡的坡角的度數(shù)是.

13.如果拋物線y=(2a—l)f開(kāi)口向下，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

14.二次函數(shù)y=(x+I『-3的圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

1S.如果拋物線y=(x+w)2+&-2的頂點(diǎn)在x軸上，那么常數(shù)k為.

16.如果拋物線丫=加+笈+。(”0)的對(duì)稱軸是直線x=l,那么2。+h0.(從<,

=,>中選擇)

17.如圖，正方形/1BEF和正方形3C0E的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)A、B、C在同一條直線上.連

接A。、BD，那么cotNADB的值為.

28.己知在A/LBC中，NACB=90°,AB=10,sinA=—(如圖)，把AABC繞著點(diǎn)

5

C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a°(0<a<360).將點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)A、B'，如果

△AAC為直角三角形，那么點(diǎn)A與點(diǎn)&的距離為.

B

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

1Q.計(jì)算：2sin450+2sin600-tan60°-tan45°

2.0.我們已經(jīng)知道二次函數(shù)y=o^+bx+c（"*0）的圖像是一條拋物線.研究二次函數(shù)的圖

像與性質(zhì)，我們主要關(guān)注拋物線的對(duì)稱軸、拋物線的開(kāi)口方向、拋物線的最高點(diǎn)（或最低

點(diǎn)）的坐標(biāo)、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線的上升或下降情況（沿x軸的正方向

看）.

己知一個(gè)二次函數(shù)，=辦2+加+《。X0）大致圖像如圖所示.

（1）你可以獲得該二次函數(shù)的哪些信息？（寫出四條信息即可）

（2）依據(jù)目前的信息，你可以求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式嗎？如果可以，請(qǐng)求出這個(gè)二次

函數(shù)的解析式；如果不可以，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，并求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

2.1.如圖，已知AO與相交于點(diǎn)O,連接A6.

(1)如果ADI/BC,=4?Swoc=9,求：S”。。?

(2)分別將△AO。、AAOB、ABOC記為5、邑、S3,如果S?是，與邑的比例中

項(xiàng)，求證：AD//BC.

4

22.如圖，在AABC中，AB=AC=10,sin5=-.

(1)求邊的長(zhǎng)度；

(2)求cosA的值.

23.如圖，已知矩形DEFG的邊￡>￡在AABC的邊上，頂點(diǎn)G,F分別在邊AB,

AC上.AABC的高交GF于點(diǎn)L

(1)求證：BDEH=DHCE；

n!）

（2）設(shè)DE=nEF（n為正實(shí)數(shù)），求證：一+——=—.

BCAHEF

24.在平面直角坐標(biāo)系中（如圖）.已知點(diǎn)4（一1,2）,點(diǎn)8（1,6）,點(diǎn)C（l,4）.如果

拋物線y=or?+法+3（。。0）恰好經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)之中的兩個(gè)點(diǎn).

L

4-

3-

2-

1-

___???__________????.

-3-2-101234x

-1-

-2-

-3-

（1）試推斷拋物線,=0?+笈+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)八、B、C之中的哪兩個(gè)點(diǎn)？簡(jiǎn)述理由；

（2）求常數(shù)a與b值：

（3）將拋物線y=or2+bx+3先沿與y軸平行的方向向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再與沿x

軸平行的方向向右平移（＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，如果所得到的新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（l,4）.設(shè)這

個(gè)新拋物線的頂點(diǎn)是D.試探究△ABO的形狀.

2$.如圖，在矩形ABCQ中，A3=6,AD=8,點(diǎn)E在8邊上，

tanZEAD=-.點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，連接陟，CF.

2

3

（1）如果tanNQ3E=一，求線段■的長(zhǎng);

4

(2)如果。尸=,8。.

2

①求證：NCFE=NDAE；

②求線段所的長(zhǎng).

嘉定區(qū)2020學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)期未質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學(xué)試卷

（滿分150分，考試時(shí)間100分鐘）

同學(xué)們注意：

L本試卷含三個(gè)大題，共25題；沒(méi)有特殊說(shuō)明，幾何題均視為在同一個(gè)平面內(nèi)

研究問(wèn)題.

2.答題時(shí)，務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上

答題一律無(wú)效；

3.除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上

寫出證明或計(jì)算的主要步驟.

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

a_c

1.如果實(shí)數(shù)。，h,c,d滿足各Z,下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是（）

a+bc+dac?a+cc

A.------=-------13.--=——-C.--------=-P.

bda+bc+dh+dd

礦2_c2

~b~~d

【答案】A

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)選出正確選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)正確，：@+1=*+1,~?="d；

bdbd

B選項(xiàng)，當(dāng)。+。=0或c+d=0時(shí)，不成立；

C選項(xiàng)，當(dāng)匕+d=0時(shí)，不成立；

12I222

D選項(xiàng)不成立，例如：當(dāng)一=一時(shí)，

2424

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì).

2.在平面直角坐標(biāo)系宜萬(wàn)中，已知點(diǎn)p（l,3）,點(diǎn)p與原點(diǎn)。的連線與X軸的正半軸的夾

角為磯0°＜。＜90°）,那么tana的值是（）

人巫8.1C.亞P,3

10310

【答案】P

【分析】如圖，過(guò)P作PAJ_x軸于A,根據(jù)P(l,3),得到OA=1,PA=3,由NPOA=a,

利用角的正切值等于對(duì)邊比鄰邊求出答案.

【詳解】如圖，過(guò)P作PALx軸于A,

???尸(1,3),

.,.OA=1,PA=3,

在RtZJDPA中，NPOA=a,

tanCt=tanZPOA=---=3,

OA

【點(diǎn)睛】此題考查直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，正確掌握正

切值計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

3.拋物線y=2f—3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,-3)8.(2,3)C.(0,-3)P.(0,3)

【答案】C

【分析】直接由拋物線解析式即可求得答案.

【詳解】解：：拋物線為丁=2/一3,

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在

y=a(x-h)2+k中，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對(duì)稱軸為x=h.

4.已知"是一個(gè)單位向量，￡、B是非零向量，那么下列等式正確的是（）

A.施=￡B.\e\b=bC.=P.

【答案】8

【分析】長(zhǎng)度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長(zhǎng)度及方向，而長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度

的向量叫做單位向量，注意單位向量只規(guī)定大小沒(méi)規(guī)定方向，則可分析求解.

【詳解】A.由于單位向量只限制長(zhǎng)度，不確定方向，故錯(cuò)誤；

B.符合向量的長(zhǎng)度及方向，正確；

C.得出是a的方向不是單位向量，故錯(cuò)誤：

D.左邊得出的是a的方向，右邊得出的是b的方向，兩者方向不一定相同，故錯(cuò)誤.

故答案選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平面向量.

S.在向AABC中，ZACS=90°,NA=30°,CDAB,垂足為D.下列四個(gè)選項(xiàng)

中，不正確的是（）

.AC_5/3口BC+「BD叢n

AB2CD2CD3

BCG

-----=-----

AC3

【答案】B

【分析】由NACB=90。，ZA=30°ffiLHAB=2BC,根據(jù)CO_LAB推出/BCD=

NA=30°,得至ljBC=2BD,設(shè)BD=x,則BC=2x,AB=4x,利用勾股定理求出AC、CD,

再列式計(jì)算進(jìn)行判斷.

【詳解】???NAC3=90。，NA=30。，

，AB=2BC,

：CD上AB,

.,.ZBCD+ZB=90°,

VZA+ZB=90°,

，NBCD=ZA=30°,

BC=2BD,

設(shè)BD=x,則BC=2x,AB=4x,

-■?AC=>JAB2-BC2=2瓜，CD=yjBC2-BD2=&

.AC_也CD也BCBD_垂>

??---------------,-----,------='f

AB2BC2AC3CD3

故選：B.

A

【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，解直角三角形，解題

中設(shè)BD=x,則BC=2x,AB=4x,用含x的式子表示各線段使計(jì)算簡(jiǎn)便，更易得出答案.

6.二次函數(shù)y=a(x+〃2『+女的圖像如圖所示，下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是()

圖1

A.掰<0,k<0B.m<09k>0C.m>Qfk<0D.

m>0,k>0

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的位置及頂點(diǎn)坐標(biāo)所在的象限確定答案.

【詳解】由函數(shù)圖象知：二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)在第四象限，

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m,k),

/.-m>0,k<0,

m<0,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.正方形的邊長(zhǎng)與其對(duì)角線長(zhǎng)的比為.

【答案】16.

【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則由勾股定理易求得正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為0,計(jì)算即得結(jié)

果.

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則該正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為近，所以正方形的邊長(zhǎng)與其

對(duì)角線長(zhǎng)的比為1:夜.

【點(diǎn)睛】此題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)和線段比的定義的理解及運(yùn)用.難度不大，屬于基礎(chǔ)

題型.

8.已知點(diǎn)P是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AP>BP,那么AP：AB的比值為.

【答案】避二1

2

【分析】根據(jù)黃金分割的定義列即可得答案.

【詳解】：點(diǎn)P是線段A3的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且%>研，

/.AP：AB=^一］.

2

【點(diǎn)睛】題考查了黃金分割點(diǎn)的應(yīng)用，把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比

值等于較小部分與較大的比值，則這個(gè)比值即為黃金分割；其比值是由二1；理解黃金分

2

割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵.

Q.如圖，點(diǎn)D在AABC的A8邊上，當(dāng)一=時(shí)，AAC0與AABC相似.

AC

B

【答案】1三

ADAC

【分析】要使△AC。s△A3。，由NBAC=/CAD共用，只要滿足下=——即可.

ACAB

【詳解】由NBAC=NCAD共用,

,ADAC…

當(dāng)一=—時(shí),

ACAB

AT

故答案為：.

AB

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形判定問(wèn)題，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理.

工。已知向量關(guān)系式2￡+6僅一q=6,那么向量1=.（用向量￡與向量B表示）

【答案】—a+b

3

【分析】利用類似一元一次方程求解方法，去括號(hào)、移項(xiàng)、系數(shù)化1,即可求得答案.

【詳解】解：；2￡+6（坂一】）=。

?*-2〃+6B-6x=6

6x=2a+6b

x=-ci~^~b

3

1__

故答案為：一。十人

3

【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí).此題難度不大，此向量方程的解法與一元一次方程

的解法類似.

11.如圖，飛機(jī)P在目標(biāo)A的正上方，飛行員測(cè)得目標(biāo)B的俯角為30°,那么NAP8的

度數(shù)為°.

水平線

視線,'

/,垂直線

/

/

/

一/「

BA

【答案】60

【分析】先由題意得到/A=90°,ZB=3O°,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得結(jié)果.

【詳解】：飛機(jī)P在目標(biāo)A的正上方，飛行員測(cè)得目標(biāo)B的俯角為30。，

一水平線?

視線,，

//垂直線

/

/

/

/

J「

BA

???NA=90°,ZCPB=30°,

?.,CP〃AB,

AZB=ZCPB=30°,

AZAPB=90°-ZB=60°,

故答案為：60.

【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，理解飛行員測(cè)得目標(biāo)B的俯角為30。得

到NB=300是解題的關(guān)鍵.

12.已知一個(gè)斜坡的坡度i=1：JJ,那么該斜坡的坡角的度數(shù)是.

【答案】30°

【分析】坡度=坡角的正切值，據(jù)此直接解答.

【詳解】解：；=1:G，

3

???坡角=30。.

【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)坡度及坡角的理解及掌握.

13.如果拋物線y=（2a—l）f的開(kāi)口向下，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】a<-

2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)小于0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下解答.

【詳解】???拋物線y=（2a-l）f的開(kāi)口向下，

.\2a-K0,

解得a<—.

2

【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)小于0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下；當(dāng)二次

項(xiàng)的系數(shù)大于0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上.

14.二次函數(shù)y=（x+l）2-3的圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】（0,-2）

【分析】求出自變量x為。時(shí)的函數(shù)值即可得到二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

［詳解】把x=0代入y=（x+l）2—3得：y=l-3=-2,

...該二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）,

故答案為:（0,-2）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，在y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.

15如果拋物線丁=（》+m）2+左—2的頂點(diǎn)在x軸上，那么常數(shù)k為.

【答案】2

【分析】拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，所以&-2=0,解出k即可.

【詳解】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的頂點(diǎn)式可知h2=0,所以@2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的頂點(diǎn)式的特點(diǎn).正確理解題意正確解答本題的關(guān)鍵.

16.如果拋物線>=以2+加+4"片0）的對(duì)稱軸是直線x=l,那么2a+/>0.（從<,

=,>中選擇）

【答案】=

b

【分析】根據(jù)對(duì)稱軸公式得x=--=1,即可求出結(jié)果.

2a

【詳解】解：??,拋物線對(duì)稱軸是直線工=-2=1,

2cl

b=-2a,即2a+匕=0.

故答案是：=.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線的對(duì)稱軸公式.

17.如圖，正方形A5EF和正方形BCDE的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)A、B、C在同一條直線上.連

接A。、BD，那么cotNADB的值為.

【答案】3

【分析】先構(gòu)造以/ADB為內(nèi)角的直角三角形，根據(jù)余切的定義求解即可.

【詳解】解：如圖，作正方形ABEF關(guān)于直線AB對(duì)稱的正方形ABGH,連接AG,BH,

相交于點(diǎn)0；

???正方形ABGH,

ZAOD=90°,OA=OB=1AG,

正方形ABEF和正方形8CDE的邊長(zhǎng)相等，

正方形ABGH和正方形BCDE的邊長(zhǎng)相等,

.*.AG=BD=20A,

，OD=OB+BD=3OA,

.,.在Rt^AOD中,

,…OD3OA

cotZADB=-----=-------=3.

OAOA

故答案為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了求角的余切值，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

18.已知在AABC中，ZACB=90°,AB=1(),sinA=^(如圖)，把IBC繞著點(diǎn)

5

C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a°(0<a<360).將點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)A、B'，如果

△AA'C為直角三角形，那么點(diǎn)A與點(diǎn)9的距離為,

【答案】2書或6亞

【分析】先解Rt^ABC求出BC和AC,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出8'C=8C=26.當(dāng)

NAC4'=90°時(shí)，再分8'在AC上和5'在AC的延長(zhǎng)線上兩種情況作出圖形，即可求

解.

【詳解】解：在Rt^ABC中，由題意得，

BC=AS.sinA=10x^=275，AC=yjAB2-BC2=V100-20=475，

又因?yàn)樾D(zhuǎn)，則8C=8C=26，

當(dāng)NAC4'=90°時(shí)，有兩種情況，

(1)如圖1,B'在線段AC上時(shí)，

AB'=AC-B'C=4亞-2亞=2加;

(2)如圖2,8'在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí),

AB'=AC+B'C=475+275=675

故答案為：2后或6亞

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握利用正弦求邊長(zhǎng)，并且要有一定的

空間想像能力是解題關(guān)鍵.

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

19.計(jì)算：2sin450+2sin600—tan60°-tan45°

【答案】6

【分析】把相應(yīng)的特殊角的三角函數(shù)值代入即可.

【詳解】原式=2x42+2x1-6x1

22

=亞+6-G

=及

【點(diǎn)睛】本題主要考查了不同特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值

是解題的關(guān)鍵.

26我們已經(jīng)知道二次函數(shù)丫=㈠2+加+《”#（））的圖像是一條拋物線.研究二次函數(shù)的圖

像與性質(zhì)，我們主要關(guān)注拋物線的對(duì)稱軸、拋物線的開(kāi)口方向、拋物線的最高點(diǎn)（或最低

點(diǎn)）的坐標(biāo)、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線的上升或下降情況（沿x軸的正方向

看）.

已知一個(gè)二次函數(shù)），=加+云+c（“*0）的大致圖像如圖所示.

（1）你可以獲得該二次函數(shù)的哪些信息？（寫出四條信息即可）

（2）依據(jù)目前的信息，你可以求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式嗎？如果可以，請(qǐng)求出這個(gè)二次

函數(shù)的解析式；如果不可以，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，并求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

【答案】（1）對(duì)稱軸為直線x=2；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,7）；開(kāi)口向下；當(dāng)x<2時(shí)，y隨x增大

而增大；（2）不可以；補(bǔ)充條件C（0,2）,y--^（x-2）+7

【分析】（1）觀察函數(shù)圖像頂點(diǎn)，對(duì)稱軸，由對(duì)稱軸分開(kāi)增減區(qū)間；

（2）只有頂點(diǎn)，條件不足，不能求出解析式，可以給出除頂點(diǎn)外的一點(diǎn)坐標(biāo)即可如添加

“C（0,2）“設(shè)出頂點(diǎn)式，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可.

【詳解】（1）對(duì)稱軸：直線x=2,最高點(diǎn)/頂點(diǎn)（2,7）,

開(kāi)口方向：向下，

當(dāng)x<2時(shí)，y隨x增大而增大，

當(dāng)X〉2時(shí)，y隨x增大而減?。?/p>

（2）不可以，加上“C（0,2）”，

設(shè)y=a（x-2）2+7（。#0）,

代入。（0,2）得“=—

；?y=-：(x-2)2+7.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，仔細(xì)觀察圖像，找出發(fā)現(xiàn)的信息，掌握求拋物線解析

式需三個(gè)獨(dú)立的條件是解題關(guān)鍵.

2.1.如圖，已知A￡＞與相交于點(diǎn)0，連接A6.

（1）如果AZ5//3C，5必”,=4,S&BOC=9,求：SMBO.

(2)分別將△A0。、ABOC記為S1、邑、$3,如果邑是H與S3的比例中

項(xiàng)，求證：AD//BC.

【答案】(1)6；(2)證明見(jiàn)解析.

SAn2

【分析】(1)由AZ)〃BC,易證MODsacOB,由性質(zhì)得3絲=-7,從而推出

S&COBCO-

An2

—=-,過(guò)B作BELAC于E,利用同高兩三角形面積比等于底的比

CO3

SAAOB：SaCOB=%°C即可；

(2)△AO。、^AOB.ABOC記為51、邑、$3，由邑是S1與邑的比例中項(xiàng)，得

,S,S,S,ODS,A0

S；=S~3把等積變比例U=利用面積比等于同高的底的比在=陽(yáng)，,=”7，

CZJD33C?Cx

則段=嬰，由夾角是對(duì)頂角，證出AAODsacOB，利用對(duì)應(yīng)角相等推出AD〃BC即

BOCO

可.

【詳解】(1)9：AD//BC,

AZDAO=ZC,ZD=ZOBC,

:.△\C?NCOB,

.SAAOD_

S&COBC°

過(guò)B作BE_LAC于E,

；.BE是ABOC的高，也是ABOA的高,

SAAOB：S《OB=%°C,

?*S^AOB=?(J'SMOB=6；

(2)分別將△AO。、AAOB.ABOC記為5、邑、S3,

：S2是S1與S3的比例中項(xiàng)，

S；=SjS3,

.S]_§2

FK

過(guò)A作AFJ_BD于F,

；.AF是AAOD的高，也是ABOA的高，

?_S_.L-_O__D__

OB

SAO

由⑴知2——---

s3CO

?22—AO

??B。-co'

VZAOD=ZCOB,

AAAOD^ACOB,

AZADO=ZCBO,

，AD//BC.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運(yùn)用問(wèn)題，掌握相似三角形的證明方法，

相似三角形的性質(zhì)，會(huì)利用平行證相似，利用性質(zhì)推面積比，進(jìn)而求面積，還會(huì)由面積比

證相似再證平行正反思維訓(xùn)練.

4

22.如圖，在中，AB=AC=10,sinB=-

（1）求邊8C的長(zhǎng)度;

(2)求cosA的值.

7

【答案】（1）12；（2）—

A[74

【分析】（1）作AE_L8C,根據(jù)sin6=—=一求出AE,再根據(jù)勾股定理求出BE,利

AB5

用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到BC；

CFBE

(2))作由AB=AC,證得NB=NC,得到cosC=cosB,-----=------,求出

BCAB

CF,AF,即可得到答案.

【詳解】（1）作垂足為點(diǎn)E.

AE_4

,/sinB=AB=10,

~AB~~5

A￡=8,

?*-BE=\lAB?-AE?=6,

BC=2BE=12；

(2)作5AC，

VAB=AC,

.?.NB=NC,

/.cosC=cosB,

.CFBE

??一，

BCAB

【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，同角

的三角函數(shù)值相等，引出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，已知矩形。EFG的邊DE在AABC的邊8c上，頂點(diǎn)G,F分別在邊AB,

ACh.AABC的高A”交GF于點(diǎn)I.

A

（1）求證：BDEH=DHCE-.

nil

（2）設(shè)DE=nEF（n為正實(shí)數(shù)），求證：——+——=——

BCAHEF

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例關(guān)

系，整理即可證得結(jié)論;

n1InFFFFDFFF

（2）要證明----1------=-----只需證明------1------=1即-----1------=1,證明

BCAHEFBCAHBCAH

△AGF-AABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及比例的性質(zhì)即可證明.

【詳解】解：（1）證明：；四邊形DEFG為矩形，AABC的高A"交GR于點(diǎn)I,

/.GD=EF,ZGDH=ZGDB=ZFEC=/FEB=ZAHB=ZAHC=90°,

XVZB=ZB,ZC=ZC,

:.\BDGskBHA,kCEFskCHA,

.GDBDBDEFCECE

BD+DH~AH~~CH~CE+EH

BD_CE

BD+DH~CE+EH

：.BDEH=DHCE；

（2）證明：；四邊形DEFG為矩形,

：.GF=DE,GF//BC,/FEB=/EFG=90°，

：.ZAGF=ZB,ZAFG=ZC,

AGF^AABC,

ABC的高,

包=幺，即匹=型

NAIF=NAHC=90°,

BCAHBCAH

???/FEB=ZEFG=ZAHC=90°，

???四邊形IHEF為矩形，

AEF=IH,

DE=n?EF,

nEFEFDEIHAIIHAI+IHAH.

BCAHBCAHAHAHAHAH

n11

-------1----------------.

BCAHEF

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)和判斷.本題中相似三角形有很

多，能結(jié)合結(jié)論判斷是需要證明哪組三角形相似是解題關(guān)鍵.

24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖）.己知點(diǎn)4（一1,2）,點(diǎn)8（1,6）,點(diǎn)。（1,4）.如果

拋物線y=ax2+bx+3（a^0）恰好經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)之中的兩個(gè)點(diǎn).

（1）試推斷拋物線丁=依2+必+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C之中的哪兩個(gè)點(diǎn)？簡(jiǎn)述理由；

（2）求常數(shù)a與b的值：

（3）將拋物線了=?2+）無(wú)+3先沿與y軸平行方向向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再與沿x

軸平行的方向向右平移,。＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，如果所得到的新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。,4）.設(shè)這

個(gè)新拋物線的頂點(diǎn)是D.試探究△A3O的形狀.

【答案】（1）點(diǎn)A、B在拋物線上，理由見(jiàn)解析；（2）a=l,b=2；（3）等腰直角三角形

【分析】（1）8C〃y軸，故B、C中只有一個(gè)點(diǎn)在拋物線上，算出AC的解析式，交y軸

于點(diǎn)（0,3）,拋物線與y軸也交于點(diǎn)（0,3）,故C不符要求，由此解答即可；

（2）把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，由此解答即可；

（3）由平移可得新的解析式，代入（1,4）得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷三角形的形狀.

【詳解】（1）軸，故B、C中只有一個(gè)點(diǎn)在拋物線上，

VAC:y=x+3,交y軸于點(diǎn)（0,3）.

且拋物線與y軸也交于點(diǎn)（0,3）,故C不符要求.

...點(diǎn)A