高中數學新人教A【集合】暑期講義

高中數學新人教A【集合】暑期講義

集合

1.1集合的概念

【課程標準解讀】

課程標準：1.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系2針對具體問題，

能在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合.

教學重點：1.集合概念的正確理解2元素的三性（確定性、互異性、無序性）.3.元素與集合

關系的判定4.集合常用的兩種表示方法（列舉法、描述法）.

教學難點：1.對元素的確定性的理解2描述法表示集合.

【知識導學】

知識點一：集合與元素的定義

元素：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素（element）.

集合：把一些元素組成的總體叫做集合（se叫簡稱為集）.

表示：通常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小寫拉丁字母a,b,c,...表示集

合中的元素.

知識點二：集合中元素的三個特性

（1）確定性；（2）互異性；（3）無序性.

知識點三：元素與集合的關系

（1）“屬于"：如果。是集合A的元素，就說。屬于集合A,記作

（2）“不屬于"：如果。不是集合A中的元素，就說。不屬于集合A,記作邂A

知識點四：幾個常用數集的固定字母表示

非負整數集

名稱正整數集整數集有理數集實數集

（自然數集）

/N"

符號螞Z0R

或或N+

知識點五：集合的表示方法

集合常見的表示方法有：自然語言、列舉法、描述法.

（1）自然語言：用文字敘述的形式描述集合的方法.使用此方法時，只要敘述清楚即可，

如由所有正方形構成的集合，就是用自然語言表示的，不能敘述成“正方形”.再如全體實數組

成的集合，或實數集等.

(2)列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫

做列舉法.

(3)描述法：一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x

所組成的集合表示為{xWAP(x)),這種表示集合的方法稱為描述法.

【自學檢測】

1.判一判(正確的打錯誤的打“X”)

(1)某校高一年級16歲以下的學生能構成集合.()

(2)已知A是一個確定的集合，。是任一元素，要么aWA,要么二者必居其一且只

具其一.()

(3)對于數集4={1,2,x2},若xCA,則x=0.()

(4)集合{y|y=d,x?R}與集合{s|s=*,YR}的元素完全相同.()

【答案】(1W(2)4(3)x(4)4

2.做一做

(1)下列所給的對象能組成集合的是()

A.“金磚國家”成員國B.接近1的數

C.著名的科學家D.漂亮的鮮花

(2)用適當的符號(G,《)填空：

00,0{0},0N,

-2N*,|Z,6Q,

71R.

【答案】(1)A(2猊ee￡￡ce

【典例剖析】

題型一正確理解描述法中元素的“代表符號”

例1分析下列集合中的元素是什么？

4={小=/}，B={y\y=jC},C={(x,-=幺}.

【解析】三個集合都是用描述法表示的.對于集合A,其中的元素是x,根據“y=f”，

這里的x并沒有什么限制，即x可以是任意實數，即集合A是由所有實數組成的集合，即實數

集.對于集合8,其中的元素是y,這里的x沒有任何限制，即x可以是任意實數，但是通過“y

=?"，元素y有了限制：實數的平方，從而8中的元素是非負實數.對于集合C,從元素的

代表符號”(x，y)”可以看出，其中的元素是有序實數對，這些數對的第一個數尤沒有限制，第

二個數y受條件“y=d”的限制，因此。中的元素是有序實數對，且數對的第一個數取任意實

數，第二個數是第一個數的平方(從幾何角度講，(x,y)就是坐標平面內的一個點，從而。中的

元素就是拋物線＞=/上的點).

題型二判斷元素與集合的關系

例2已知集合4={小=加+〃?啦,m,〃￡Z}.

⑴判斷0,(1+啦)2,Up與A的關系；

(2)若X],X2^A,試探究X"2，Xi+%2與A的關系.

【解析】⑴易知0=0+0>6,且oez,

所以OeA.

因為(1+&)2=3+2啦，且3,2ez,

所以(1+A)2CA

1_3+^2_3^2

因為3—啦一(3—的(3產+7

311

且'CZ,所以3_g￡A.

(2)因為X”X26A,所以可設X1=/W[+也〃1，%2=機2+啦〃2，且〃?1，，加2，"26Z,

所以X\X2={m\+y/2〃I)(/物+小〃2)=機I〃?2+啦(加2〃1+〃?1〃2)+2〃I〃2=(如加2+2〃1”2)+市

?！?〃1+〃U〃2).因為〃Z|〃22+2”|〃2WZ,〃?2〃1+”?1〃26Z,所以尤因金丸

因為X1+X2=(/"|+〃22)+"\/E(〃1+〃2)，/n|+m2^Z,〃1+〃2WZ,所以XI+MGA.

題型三有限集子集個數探究

例3集合A={x|履8x+16=0},若集合A只有一個元素，試求實數人的值，并用列舉

法表示集合A.

【解析】①當左=0時，原方程為16—8x=o,

：.x=2,此時A={2}.

②當厚0時，若集合A中只有一個元素，

則方程辰2-8》+16=0有兩個相等實根.

即』=64—64%=0,即上=1,

從而X]=必=4,

...集合4={4}.

綜上所述，實數攵的值為0或1.當4=0時，A={2}；

當k=l時，A={4}.

題型四含參問題探究

例4已知集合4={1,2,4},則集合8={(x,y)|xGA,y￡A}中元素的個數為()

A.3B.6

C.8D.9

【解析】根據已知條件，列表如下：

y

（了，y）124

.r

1(1,1)(1,2)(1,4)

2(2,1)(2,2)(2,4)

4(4,1)(4,2)(4,4)

由上表可知，B中的元素有9個，故選D.

【答案】D

【達標測試】

A級：“四基”鞏固訓練

一、選擇題

1.已知集合5=伍，b,c}中的三個元素是△ABC的三邊長，那么△A3C一定不是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【解析】因為集合5={。，4c}中的元素是△ABC的三邊長，由集合元素的互異性可知a,

b,c互不相等，所以△ABC一定不是等腰三角形，故選D.

2.下列集合的表示方法正確的是（）

A.第二、四象限內的點集可表示為{（x,y）|x）aO,xGR,y￡R}

B.不等式X—1V4的解集為{xV5}

C.{全體整數}

D.實數集可表示為R

【答案】D

【解析】A項中應是孫<0；B項中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規(guī)范格式，

缺少了豎線和豎線前面的代表元素x，應為{x|x<5}；C項中的“{}”與“全體”意思重復.故選

D.

3.下列集合恰有兩個元素的是（）

A.{#—x=0}B.{x|y=d一?

C{比2->=0}D.{y|y=f—x}

【答案】C

【解析】A項為一個方程集，只有一個元素；B項為方程的定義域，有無數個元

素;C項為方程J—y=0的解，有0/兩個元素;D項為函數y=f—x的值域，有無數個元素.故

選C.

4.已知集合4={0』,2},則集合8={x-y|xGA,yGA}中元素的個數是（）

A.1B.3

C.5D.9

【答案】C

【解析】根據已知條件，列表如下：

y

012

.r

00-1-2

110-1

2210

根據集合中元素的互異性，可由上表知3={0,-1,-2,1,2},因此集合3中共含有5

個元素，故選C.

5.若。>0},則實數a的取值范圍是（）

A."2B.?>2

C.D.a=2

【答案】C

【解析】因為2￡{x|x-a〉0},所以2不滿足不等式x—a>0,即滿足不等式》一些0,所以

2—尤0,即e2,故選C.

二、填空題

6.若A={—2,2,3,4},B={x\x=r,t^A},則用列舉法表示3=.

【答案】{4,9,16}

【解析】由題意，A={-2,2,3,4},B={x\x=^,t^A],依次計算出8中元素，用列舉法

表示可得8={4,9,16},故答案為{4,9,16}.

7.已知集合A={x|加一3x—4=0,xGR},若A中至多有一個元素，則實數。的取值范

圍是，

9

【答案】a=0或任一記

【解析】當a=0時，A=[xx=—,'；當今0時，關于x的方程G?—3》-4=0應有兩個

9

相等的實數根或無實數根，."=9+16延0,即延一a.故所求的。的取值范圍是或必

9

8.已知集合A中的元素均為整數，對于ZdA,如果Z—1CA且k+l￡A,那么稱攵是A

的一個“孤立元”.給定集合S={1,2,3,4,5,678},由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤

立元”的集合共有個.

【答案】6

【解析】根據“孤立元”的定義，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合

為{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共有6個.故答案為6.

三、解答題

9.用適當的方法表示下列集合：

(1)絕對值不大于3的偶數的集合；

(2)被3除余1的正整數的集合；

(3)一次函數y=2x—3圖象上所有點的集合；

fx+y=i，

(4)方程組彳',的解集.

&一尸一]

【解析】⑴(一2,0,2}.

(2){附加=3”+1,/IGN).

(3){(x,y)\y=2x-3}.

(4){(0,1)).

10.已知集合4={a+3,(a+l)2,d+2a+2},若1WA,求實數。的值.

【解析】①若a+3=l,則a=-2,

此時A={1,1,2},不符合集合中元素的互異性，舍去.

②若(a+1)2=1,貝i]a=0或a=-2.

當a=0時，A={3,1,2},滿足題意；

當a=—2時，由①知不符合條件，故舍去.

③若/+24+2=1,則a=-1,

此時A={2,0』},滿足題意.

綜上所述，實數。的值為一1或0.

B級：“四能”提升訓練

1.已知集合4={x|x=3"+l,nGZ},B={x\x=3n+2,nGZ),M=(x\x=6n+3,n&Z}.

(1)若則是否存在bGB,使旭=。+〃成立？

(2)對于任意b^B,是否一定存在mCM,使”+人=機？證明你的結論.

【解析】(1)設機=6k+3=3hM+3女+2(kWZ),

令a=3Z+l,b=3k+2,則〃z=a+Z?.

故若加WM,則存在aWA,b^B,使機=a+8成立.

(2)不一定.證明如下：

設。=3攵+1,b=3l+2,k,ZGZ,則a+b=3(k+l)+3.

當A+/=2p(pGZ)時，a+b=6p+3^M,此時存在使a+b=m成立；當k+l—

2p+l(/?￡Z)時，a+b=6p+6^.M,此時不存在機CM,使a+Z?=〃z成立.

故對于任意。b￡B,不一定存在znWM,使。+。=機.

2.設實數集S是滿足下面兩個條件的集合：

①1￡S；②若adS,則丁!一CS.

1-。

(1)求證：若a^S,則1—十GS；

(2)若2GS,則S中必含有其他的兩個數，試求出這兩個數；

(3)求證：集合S中至少有三個不同的元素.

【解析】⑴證明：,?,ICS,，0￡S,即存0.由a￡S,則可得一6S,

1-7^

即一『\-a1

------7=1-GS.

\—a-\a

11—a

故若a￡S,則1一n5.

(2)由2WS,知［三=一1￡邑由一16S,知?Ji、='es,當［ws時，」y=2es,

1-21-(-1)22

12

因此當2WS時，S中必含有一1和;.

(3)證明：由(1),知a￡S,

下證：a,/一，1一：三者兩兩互不相等.

[—aa

①若則”2_“+1=0,無實數解，

1-a

./1

②若4=1—(,則廿一“+1=0,無實數解，

.41

..存L1

③若；=1一：，則。+1=0,無實數解,

\—aa

/.-p—

1—aQ

綜上所述，集合S中至少有三個不同的元素.

1.2集合間的基本關系

【課程標準解讀】

課程標準：1.理解子集、真子集的概念，能識別給定集合的子集.2.理解兩個集合包含與

相等的含義，能用子集的觀點解釋兩個集合的相等關系.

教學重點：1.子集、真子集定義的理解.2.寫出給定集合的子集.3.兩個集合之間關系的判

定.4.用子集觀點解釋兩個集合的相等關系.

教學難點：1.兩個集合之間關系的判定.2.一些關系符號（U,二,,,E,a）的準確

使用.3.具體問題中易忽視空集的情況.

【知識導學】

期識點制子復

一般地，對于兩個集合4B,如果集合4中任意一個元素都是集合6中的元素，就稱集

合力為集合6的子集,記作力16（或能力），讀作“月包含于8”（或"8包含

注意：（1）子集是刻畫兩個集合之間關系的，它反映的是局部與整體之間的關系（而元素與

集合之間的關系是個體與整體之間的關系）.

（2）并不是任意兩個集合之間都具有包含關系.例如：A={1,2},8={1,3},因為2G/,

但2莊8,所以力不是8的子集；同理，因為3W反但3莊凡所以8也不是力的子集.

（3）子集有下列兩個性質：

①自反性：任何一個集合都是它本身的子集，即力U4

②傳遞性：對于集合4B,C,如果/U6,且任C,那么4=6

知識點二：Venn圖

為了直觀地表示集合間的關系，常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn

圖.因此，可用Venn圖表示為

知識點三：集合相等

一般地，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都

是集合A的元素，那么集合A與集合8相等，記作A=B.

也就是說，若AU8,且BUA,則A=R

很明顯，若兩個集合相等，則它們的元素完全相同；若集合A與8中有不相同的元素，

則這兩個集合不相等，可記為

知識點四：真子集

如果集合AUB,但存在元素尤G3,且x￡A,就稱集合A是集合B的真子集(propersubset),

記作AF旦(或B*A).

從真子集的定義可以看出，要想證明A是8的真子集，需要兩步：一是證明回(即A中

的任何元素都屬于8),二是證明超(即8中的元素不是都屬于A,或者說6中至少有一個元

素不屬于A).

知識點五：空集

一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為0,并規(guī)定：空集是任何集合的子集.

在這個規(guī)定的基礎上，結合子集和真子集的有關概念，可以得到：

(1)空集只有一個子集,即它本身;

⑵空集是任何非空集合的真子集.

【新知拓展】

1.對子集、真子集有關概念的理解

(1)集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由xCA,能推出xGB,這是判斷

AUB的常用方法.

(2)不能簡單地把“AUB”理解成“A是3中部分元素組成的集合”.因為若A=0時，則A中

不含任何元素；若A=3,則A中含有8中的所有元素.

(3)在真子集的定義中，AB首先要滿足AUB,其次至少有一個九金8,但在A.

2.集合子集的個數

求集合的子集問題時，一般可以按照子集元素個數分類，再依次寫出符合要求的子集.

集合的子集、真子集個數的規(guī)律為：含“個元素的集合有2"個子集，有(2"—1)個真子集，

有(2"-2)個非空真子集.寫集合的子集時，空集和集合本身易漏掉.

3.0,{0},0,{0}的關系

0與。。與{0}。與{0}

都表示無

相同點都是集合都是集合

的意思

。不含任何元素；{0}

。是集合；0中不含任何元素；

不同點含一個元素，該元素是

0是實數{0}含一個元素0

0

0{0}或

關系OC00{0}

06{0}

【自學檢測】

1.判一判(正確的打“4”,錯誤的打“X”)

⑴若AUB,則B中至少有一個元素不屬于A.()

(2)若AU8,則要么AB,要么A=A()

(3)空集沒有真子集.()

(4)若AUB,則8不會是空集.()

(5)若A=8,則必有AU8.()

【答案】⑴x(2)4(3)4(4)x(5)4

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

(1)用適當的符號但，2,,,=)填空：

N*N,RQ,

{4?=1}{-1,1},

{(X,y)|x+y=l}{(x,y)|{x+y=l,x-y=O}.

(2)給出下列集合：A={xb是平行四邊形},B={x|x是矩形},C={x|x是菱形},D={x\x

是正方形},它們的關系可以表示為.

【答案】⑴號=F(2)。BA,DCA

【典例剖析】

題型一判斷集合之間的關系

例1判斷下列各組集合之間的關系：

(1)A={1,2,4},3={x枚是8的正約數};

(2)A={X|A是等邊三角形},8={x|x是有一個內角是60。的等腰三角形};

(3)4={尤以=2〃-1,?GN*},B={x\x=2n+\,〃?N*}.

【解析】(1)集合A中的元素1,2,4都是8的正約數，從而這三個元素都屬于8,即AU8；

但8中的元素8不屬于A,從而所以AB.

(2)等邊三角形都是有一個內角是60。的等腰三角形，即AU8；有一個內角是60。的等腰三

角形是等邊三角形，即BUA,所以A=B.

(3)解法一：兩個集合都表示一些正奇數組成的集合，但由于〃6N*,因此集合A含有元素

“1”,而集合8不含元素“1"，故BA

解法二：由列舉法知A={1,3,5,7,…},B={3,5,7,9,…},所以8A.

題型二寫出集合的子集

例2寫出集合{a,Ac}的所有子集.

【解析】因為集合{a,b,c}中有3個元素，所以其子集中的元素個數只能是0,1,23

有0個元素的子集：0；

有1個元素的子集：{。},{》},{c}；

有2個元素的子集：{a,b},{a,c},{b,c}；

有3個元素的子集：(a,b,c].

因此集合{a,b,c}的所有子集為0,{a},{毋，{c},{a,b],{a,c},{b,c},{a,b,

c}.

題型三有限集子集個數探究

例3令集合4=0，集合A"={a”“2,的，…，a”}(〃eN*),試探究集合4子集的個數.

【解析】為了方便，不妨設集合4的子集數為〃2(4).我們把4的子集分為兩類，第一

類：含元素為；第二類：不含元素而易知，第二類就是集合4T的子集，且第一類和第二類

同樣多.因此，m(A,)=2w(A?-i).從而，m(A"-D=2〃?(A,L2)，…，"2(AI)=2〃Z(AO),易知m(Ao)

—1.所以加(A")=2"2(A"-|)=2~"Z(A”-2)=23〃2(A"-3)=…=2"〃2(Ao)=2”.

題型四含參問題探究

例4已知集合A={x|-2065},B={x\m+\<x<2m-\}.若BA,求實數，〃的取值范

圍.

【解析】①當理。時，如圖所示：

-?

—2m+12mLi5x

fm+1>—2,m~\-1>—2,

32/n—1<5,2m—1<5,

—

l2ml>m+l{2m—+1,

解這兩個不等式組，得23優(yōu)3.

②當8=0時，由機+1>2m-1,得加<2.綜上可得，根的取值范圍是{團|〃233}.

【達標測試】

A級：“四基”鞏固訓練

一、選擇題

1.下列關系式不正確的是()

A.{1}={1,2}B.{0}C{i,2}

C.{2}￡{1,2}D.1￡{1,2}

【答案】B

【解析】&{1,2},.?.{()}={1,2}不正確;根據子集的概念可知A,C正確；D顯然正確.

2.若集合A滿足AN3,A￡C,B={0,l,2,3},C={0,2,4,8},則滿足上述條件的集合A

的個數為()

A.0B.1

C.2D.4

【答案】D

【解析】,：AQB,A=C,.'.A中最多能含有0,2兩個元素，，A=。，{0},{2},{0,2}共4

個.

3.已知集合4={(羽>)|y=x}和3=111+4y=5J,則下列結論正確的是()

A.1GAB匹AC.(1,1)UBD.0GA

【答案】B

|(才,“|產一尸1,)

【解析】8=?匕+4尸51={(1,1)),故SNA.

4.已知集合A={-1,1},B={x|ax+l=O},若則實數a的所有可能取值的集合

為()

A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【答案】D

【解析】因為所以當8#0,即aWO時，5=1；7,因此有一所以a

=±1;當8=。，即。=0時滿足條件.綜上可得實數a的所有可能取值的集合是{—1,0,1}.

二、填空題

5.滿足條件{x*+l=O}1=0}的集合M共有個.

【答案】3

【解析】因為{x*+l=O}=0,U|?-1=O}={-1,1},其非空子集為{-1},{1},{一

1,1),所以滿足條件{九*+1=()}1=0}的集合/共有3個.

6.設A={x|—1<XW3},B={x\x>a],若AB,則a的取值范圍是.

【答案】aW—1

---<!>~~AJ——?

a-13*

【解析】從幾何角度看，集合A是數軸上一條定線段，集合8是方向向右的動射線，因

為AB,所以射線應當“蓋住”線段，如圖所示.

從圖上看，a=-1也符合題意，所以aW—"1.

7.給出四個對象：0,{0},。，{。},用適當的關系符號表示它們之間的一些關系(寫出你

認為正確的所有關系)：.

【答案】0W{0}曄,0住{0},0{0},0{0},0W{。}

【解析】由元素與集合、集合與集合之間的關系可得.

三'解答題

8.設集合A={y|y=f+2x+2,%eR},8={s[s=y+4t+5,r?R},試判斷集合A與8

的關系.

【解析】因為?+2x+2=(x+l)2+l(xGR)和*+4f+5=(f+2)2+l(fWR)都表示大于或等

于1的實數，所以集合A與B都表示所有大于或等于1的實數構成的集合，從而A=8.

9.已知集合A={x|2mWxWm+2},集合8={x|-3WxW5},若AN3,求實數〃？的取值

范圍.

【解析】①當A=。時，滿足題意，

此時，即加>2；

2/”Wm+2,

2/心一3,

{〃z+2W5,

3

解得一

3

綜上可得，實數機的取值范圍是〃?2—夕

B級：“四能”提升訓練

1.已知集合4={0』},8={小二A},試用列舉法表示集合B,并判斷A與8的關系.

【解析】對于集合8,從“x=A”可知，8中的元素是集合A的子集.

所以5={0,{0},{1},{0,1})

很明顯，集合A是集合5的一個元素，從而AGA

2.設集合A={x*+4x=0},集合8={川酎+2(°+1比+/—1=0,xER},若求

實數。的取值范圍.

【解析】易知A={-4,0},因為BUA,所以分8=人和8A兩種情況.

①當A=B時，B={-4,0},則有一4,0是方程d+2(a+l)x+/—1=0的兩根，于是得。

=1.

②當3A時，若3=0,則/=4(a+1)2—4(/-1)<0,解得衣一1；

若BW0,則8={-4}或{0},J=4(?+l)2-4(a2-l)=0,

解得。=-1,驗證知3={0}滿足條件，

綜上可知，所求實數a的值滿足。=1或aW—1.

1.3.1集合的基本運算

【課程標準解讀】

課程標準：1.理解兩個集合并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集.2.能使用

Venn圖直觀地表達兩個集合的并集與交集，體會圖形對理解抽象概念的作用.

教學重點：1.并集與交集的含義(自然語言、符號語言、圖形語言).2.求兩個集合的并集

與交集.

教學難點：1.并集中“或”、交集中“月的正確理解.2.準確地找出并集、交集中的元素，

并能恰當地加以表示.

【知識導學】

知識點一：并集

一般地，由所有屬于集合

、----/

A或屬于集合3的元素組AU8={x|x￡A,或x￡8}

成的集合(

并集的運算性質：

AUB=BUA,AUAUB,AUA=A,AU0=A,AUB=B^AQB.

知識點二：交集

自然語言符號語言Venn圖表示

一般地，由所有屬于集合A

且屬于集合B的元素組成{x|x￡A,且

的集合x&B}

交集的運算性質：

AnB=BnA,AQBQA,AC\A=A,AA0=0,4口3=4電二旦.

【新知拓展】

集合的交、并運算中的注意事項

(1)對于元素個數有限的集合，可直接根據集合的“交”“并”定義求解，但要注意集合元

素的互異性.

(2)對于元素個數無限的集合，進行交、并運算時，可借助數軸，利用數軸分析法求解，但

要注意端點值取到與否

【自學檢測】

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)若AC8=0,則A,8至少有一個是◎()

(2)若AU8=0,則A,B都是。.()

(3)對于任意集合A,B,下列式子總成立：AHBQA^AUB.()

(4)對于任意集合A,B,下列式子總成立：AUB=B^AQB^AnB=A.()

(5)對于兩個非空的有限集合A,B,AU8中的元素一定多于A中的元素.()

【答案】(1)X(2)V(3)V(4)V(5)X

2.做一做

(1)已知集合A={x|x=3〃+2,〃GN},5=(6,8,10,12,14),則集合ACB中元素的個數為

()

A.5B.4

C.3D.2

⑵已知集合A={x[—la<2},8={x|0<x<3},則AU8=()

A.{x|—l<x<3}B.{x|—l<x<0}

C.{X|0<Y<2}D.{X\2<X<3}

(3)已知集合4={1,2,x2},B={2,x},若AUB=A,則x=.

【答案】⑴D(2)A(3)0

【典例剖析】

題型一求兩個集合的交集與并集

例1已知集合[={削一1〈啟2},6={x|—2WxG},求408AU8.

【解析】把集合A與3在數軸上表示出來，如圖所示.

---------o----------1-----------6-----------?

-2-1012%

由上圖可得，AC\B=[x\~\<x<l},AUB={x|-2<x<2}.

題型二簡單的含參問題

例2已知集合4={0,1},3={x[(x—l)(x—a)=0}.求ACB,AUA

【解析】集合8是方程(x—l)(x—a)=0的解集，它可能只有一個元素1(。=1),也可能有

兩個元素1,a(存1).

(1)當a=l時，APB={1},AU8={0,l}；

(2)當a=0時，AnB={0,l},AU8={0』}；

⑶當今0且存1時，ACIB={1},AUB={0,l,a}.

題型三類似于“交”“并”運算的一些新定義型問題

例3設旭，P是兩個非空集合，規(guī)定M—P={x僅CM,且xCP},根據這一規(guī)定，M—(M

一P)等于()

A.MB.P

C.MUPD.MHP

【解析】當Mnp，0時，由圖可知M—P為圖中的陰影部分，則M—(M—P)顯然是MCP；

當Mnp=0時，M~P=M,此時M—(M—P)=M—M={x|xGM,且x0M}=0=MnP,故選

D.

【答案】D

【達標測試】

A級：“四基”鞏固訓練

一、選擇題

1.A={X^N|1810},B={xWR*+x—6=0},則右圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{2}B.{3}

C.{-3,2}D.{-2,3}

【答案】A

【解析】注意到集合A中的元素為自然數，因止匕A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},而5={-3,2},

因此陰影部分表示的是An8={2},故選A.

2.設集合A={x[—l<x<2},集合8={X[14<3},則AUB=（）

A.{x|-l<x<3}B.{x|-1<X<1}

C.{x\l<x<2}D.[x\2<x<3}

【答案】A

【解析】把集合A,8表示在同一數軸上，如圖所示，

AB

----------O--------1O-------O-------O-------?

-10-----123--%

由圖可得，AUB={x|-l<r<3}.故選A.

3.若集合A={x[—5<x<2},B={x|-3a<3},則AC8=()

A.{x|—3<x<2}B.{x|—5<x<2}

C.{x|-3<x<3}D.{x|—5<r<3}

【答案】A

【解析】VA={A|-5<r<2),8={x[-3<x<3},

.*.AnB={x|-3<r<2},故選A.

4.滿足。2,的，?4)?且Mn{a”a^,ay}={a\,久}的集合M的個數是()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】由題意，得集合M含有元素外，痣且不含元素的，故加={。1，勿}或僅1，a2,

。4}?

5.設集合A={x|—lSr<2},B=[x\x<a},若AflBr。，則。的取值范圍是（）

A.a<2B.a>-2

C.a>—1D.—l<a<2

【答案】c

【解析】VA={x|-l<x<2bB={x\x<a},要使“I理0,借助數軸

-----?---O-----0--------------------?

一1a2x

可知a>~\.

二、填空題

6.已知集合A={x|xN2},B={x\x>m},且AU8=A,則實數機的取值范圍是.

【答案】m>2

【解析】,：AUB=A,：.BQA,：.ni>2.

7.若集合A={2,4,x},B={2,x2},且AU8={2,4,x},則x=.

【答案】0』或一2

【解析】由已知，得BUA,，x2=4或/=%,.?.x=o,],±2,由元素的互異性，知中2,

.,.x=0,l或一2.

8.已知集合A={4c<l或x>5},B={x\a<x<b},且AUB=R,AHB={x\5<x<6},則加一

b=.

【答案】-4

【解析】如下圖所示，

156

可知a=l,b=6,2a—b=—4.

三'解答題

9.設A,B是兩個非空集合，判斷“若Anc=8nc,則是否正確.若正確，則給出

證明；若不正確，舉出反例.

【解析】不正確.如:A={1,2},B={1,3},C={1}

CMJ

易知Anc=Bnc={i},

但是A邦.

也可以用Venn圖.

10.已知集合A={4?+分一12=0},B={x\x2+bx+c=0},且A邦，408={—3},AUB

={-3,4},求實數a,b,c的值.

解由An8={-3},得一36A

(—31—3a—12=0,解得a=-1.

，A={x|p—x—12=0}={-3,4}.

又AUB={-3,4},A/B,中只有一個元素一3,

zl=/?2—4c=0,

/J2,解得Z?=6,c=9.

[(一3尸38+c=0,

.?.〃=—1,b=6,c=9.

B級：“四能”提升訓練

1.已知非空集合A={x|2a+lSE3a-5},B={x\3<x<22].

(1)當L=10時,求ACI8,AUB；

(2)求能使AU(AnB)成立的a的取值范圍.

【解析】⑴當a=10時,A={x\2\<x<25}.

又8={》|30爛22},

所以AnB={x|21上22},AUB={x|3至25}.

(2)由AU(Ar)8),可知AU8,

又因為A為非空集合，

f2a+l>3,

所以《3a—5W22,解得6%W9.

[2a+133a—5,

2.設集合A={x|f—3x+2=0},B={x|?+2(a+l)x+(a2-5)=0}.

(1)若an8={2},求實數a的值；

(2)若AU8=A,求實數a的取值范圍.

【解析】由d—3尤+2=0得x=l或x=2,

故集合A={1,2}.

(l)VAnB={2},：.2GB,將x=2代入8中的方程，得/+4“+3=0=4=—1或a=一

1.3.2補集

【課程標準解讀】

課程標準：1.在具體情境中，了解全集的含義，理解補集的含義，能求給定(全集的)子集

的補集.2.能用Venn圖表達集合的補集.

教學重點：1.補集的含義(自然語言、符號語言、圖形語言).2.會求集合的補集.3.能進行

簡單的“并”“交”“補”混合運算.

教學難點：1.求補集及補集思想的應用.2.“子”“并”“交”“補”的綜合問題.

【知識導學】

知識點一：全集

一般地，如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集

（universeset）,通常記作U.

注意：可以認為是將要研究的問題限定在一個范圍內進行，這個范圍以外的問題不在我們

研究的范圍以內，這時就有理由將所研究的這個范圍視為全集.全集不是固定不變的，是相對

于研究的問題而言的，如在整數范圍內研究問題，Z是全集；在實數范圍內研究問題，R是全

集；若只討論大于0小于5的實數，可選｛疝）4<5｝為全集.通常也把給定的集合作為全集.

知識點二：補集

自然語言：對于一個集合A,由全集U中獸不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集

合A相對于全集U的補集（complementaryset）,簡稱為集合A的補集，記作C

符號語言：—=圖很晝。，且裝川.

圖形語言：

【新知拓展】

1.求補集是集合的一種運算，其運算結果是一個集合（補集的定義就是告訴我們這個集合

中的元素是什么），這種運算有兩個前提，一是必須有全集，二是求補集的這個集合必須是全

集的子集.

2.集合的補集運算與實數的減法運算可進行類比

實數集合

被減數a被減集合（全集M

減數人減集合8

差a-b補集Cd

很明顯，同一個集合，由于全集的不同，其補集也不相同（就好像同一個數，由于被減數

不同，差也不同一樣）.

3.根據補集的定義，容易看出的性質

CUAQU,CUU=0,C00=U，AU（CUA）=U,An（CM）=0，CcXCuA）=A.

【自學檢測】

1.判一判(正確的打“加’，錯誤的打“X”)

(1)設全集是U,集合AUU,若x是U中的任一元素，則要么xWA,要么xGCuA,二者

必居其一且只具其一.()

(2)全集沒有補集.()

(3)同一個集合，對于不同的全集，其補集也不相同.()

(4)負整數集的補集是自然數集.()

(5)設全集為U,則對于任意集合A,只要AUU,則等式“AU(CuA)=U都成立.()

【答案】(1)4(2)x(3)4(4)x(5)4

2.做一做

⑴設集合U={1,2,3,4},A={1,2},8={2,4},則CU(AUB)=()

A.{2}B.{3}

C.{1,2,4)D.{1,4}

(2)已知三個集合U,A,3之間的關系如圖所示，則(CuB)nA=()

A.{3}B.{0,124,7,8}

C.{1,2}D.{1,2,3)

【答案】⑴B(2)C

【典例剖析】

題型一求給定集合的補集及集合的混合運算

例1(1)已知全集U={123,4,5,6,7,8},集合A=[2,3,5,6},集合8={1,3,4,6,7},則集合

AA(C〃)=()

A.{2,5}B.{3,6}

C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}

(2)設全集為R,A={x|3<x<7},B={^|2<x<10),則CR(AU3)=,(CRA)CB=

【解析】(I)；C4={2,5,8},

...An(CuB)={2,5},故選A.

(2)YAUB={x[2<x<10},

CR(AUB)={X|X<2或x>10}.

?.?CR/1={X|X<3或后7},

.".(CRA)nB={x|2<x<3或78<10}.

【答案】⑴A⑵{x|爛2或后10}{x|2<x<3或7"<10}

題型二探究補集的一些運算律

例2試探究Cu(AnB)與(C以)U(C4)之間的關系.

【解析】先通過具體例子探究它們之間的關系.

不妨令U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,4,7},B={1,3,7,8).

易知ACiB=