四川孰眉二中2025屆高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試試題理含解析

PAGE20-四川省峨眉二中2025屆高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試試題理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：因?yàn)椋?，故選D.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.2.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A.-i B.-3i C.i D.3i【答案】C【解析】，選C.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.3.若向量，，則等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以，故選C.4.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，數(shù)列滿意，，，假如以和分別為長(zhǎng)和寬得到一個(gè)矩形，其長(zhǎng)寬之比等于1.618時(shí)，就把這個(gè)矩形定義為黃金矩形，那么時(shí)，最接近黃金矩形的n的值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】從到依次列出和的值，求其比值，找最接近的即可.【詳解】解：123451123512358比值121.51.66666671.6由表中看出，，最接近1.618，故選：D【點(diǎn)睛】考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.5.已知，則的值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)基本關(guān)系式，求得，結(jié)合兩角和的正切公式，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，因?yàn)?，可得，所以，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及兩角和的正切函數(shù)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和公式，精確運(yùn)算是解答問(wèn)題的實(shí)力.6.將正方體（如圖1所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題意可知幾何體前面在右側(cè)的射影為線段，上面的射影也是線段，后面與底面的射影都是線段，輪廓是正方形，在右側(cè)的射影是正方形的對(duì)角線，在右側(cè)的射影也是對(duì)角線是虛線．如圖B．故選B．考點(diǎn)：簡(jiǎn)潔空間圖形的三視圖．7.用列表法將函數(shù)表示為如圖所示，則（）A.為奇函數(shù) B.為偶函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平移關(guān)系，得到函數(shù)與過(guò)的點(diǎn)，推斷函數(shù)的奇偶性.【詳解】向左平移2個(gè)單位得到，所以過(guò)的點(diǎn)是，，，三個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)；向右平移2個(gè)單位得到，所以過(guò)的點(diǎn)是，，，可知函數(shù)的三點(diǎn)即不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也不關(guān)于軸對(duì)稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).故選A【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)函數(shù)過(guò)的點(diǎn)，推斷函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題型.8.已知函數(shù)f(x)＝ex－(x＋1)2(e為2.71828…)，則f(x)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特別值代入，可解除A、D,依據(jù)導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性可解除B，即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故解除A、D，又，當(dāng)時(shí)，，所以在為減函數(shù)，故解除B,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象、利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，識(shí)別函數(shù)圖象問(wèn)題，往往可依據(jù)特別值或特別自變量所在區(qū)間利用解除法解答，屬于中檔題.9.設(shè)隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)的概率是，則等于（）A.1 B.2 C.4 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)，可得，再依據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，，解得，依據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，當(dāng)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)的概率是時(shí)，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正態(tài)分布的概率的計(jì)算，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔試題.10.已知定義在上的函數(shù)，設(shè)兩曲線與在公共點(diǎn)處的切線相同，則值等于（）A. B.1 C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】由于兩曲線與在公共點(diǎn)處的切線相同，設(shè)公共點(diǎn)，則，列方程組可求出的值【詳解】解：依題意設(shè)曲線與在公共點(diǎn)處的切線相同.∵，∴，∴，即∵∴，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.11.已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則該雙曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得雙曲線的方程的漸近線方程，求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，解方程可得a2=2b2，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．【詳解】雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，圓x2+y2﹣6x+5=0即為（x﹣3）2+y2=4，圓心為（3，0），半徑為2，圓心到漸近線的距離為d=，由弦長(zhǎng)公式可得2=2，化簡(jiǎn)可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，則e==．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運(yùn)用，考查直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．12.已知函數(shù)對(duì)隨意的滿意（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，將代入函數(shù)，依據(jù)單調(diào)性選出正確的選項(xiàng).【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意，故函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，由得，即，解除A選項(xiàng).由得，即，解除B選項(xiàng).由得，即，解除C，選項(xiàng).由得，即，D選項(xiàng)正確，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若的綻開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)等于6，則______.【答案】12【解析】【分析】先求出二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)，第三項(xiàng)為，依據(jù)其系數(shù)為6，建立方程從而求出n即可.【詳解】二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)為：，第三項(xiàng)為，其系數(shù)為，故有：，解之得：或（舍去）.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的理解和駕馭，考查計(jì)算實(shí)力，屬于?？碱}.14.已知函數(shù)x，y滿意，則的最小值為_(kāi)____________．【答案】1【解析】【分析】作出約束條件所表示的可行域，利用兩點(diǎn)間的距離的幾何意義，即可得到答案.【詳解】由線性約束條件畫(huà)出線性區(qū)域，其限行區(qū)域（陰影部分）的邊界及內(nèi)部，由于的幾何意義是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；由圖形知點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離最小，聯(lián)立方程得，因此的最小值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查線性約束條件下非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．15.若拋物線（）上隨意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離恒大于1，則p的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)（）為拋物線上的隨意一點(diǎn)，結(jié)合題設(shè)條件利用拋物線的定義和性質(zhì)可得出，進(jìn)而得出p的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)（）為拋物線上的隨意一點(diǎn)，由題意可得：，所以有，解之得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的應(yīng)用，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的理解和駕馭，考查計(jì)算實(shí)力，屬于?？碱}.16.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，在面中取一個(gè)點(diǎn)F，使最小，則這個(gè)最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】將正方體補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交平面于點(diǎn)F，使最小，其最小值就是，再連接，，然后在中計(jì)算即可.【詳解】將正方體補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交平面于一點(diǎn)，即為所求點(diǎn)F，使最小，其最小值就是，連接，，計(jì)算可得，，，所以為直角三角形，又，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查多面體表面上的最短距離問(wèn)題，考查空間想象實(shí)力和邏輯思維實(shí)力，考查計(jì)算實(shí)力，屬于常考題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且求：（1）的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）先求得的值，猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，在利用數(shù)學(xué)歸納法證明.（2）利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，求得的值.【詳解】（1）由于，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.猜想①.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：由上述分析可知，當(dāng)時(shí)，①式符合.假設(shè)當(dāng)時(shí)，①式符合，則.當(dāng)時(shí)，，①式符合.綜上所述，當(dāng)時(shí)，都有.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和，屬于中檔題.18.在四棱錐中,底面為菱形，.(1)證明:；(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】分析：(1)先證明，即，又；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，代入公式即可得到二面角的余弦值.詳解：證明：（1）取中點(diǎn)為，連結(jié)，D，底面為菱形，且為等邊三角形，，平面，平面∴.（2）設(shè)，為中點(diǎn)，，.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，.設(shè)的法向量為得令得，即，設(shè)二面角的平面為，由圖可知，為鈍角，則.點(diǎn)睛：空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）視察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）依據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.19.“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國(guó)人民發(fā)出的口號(hào)，某生產(chǎn)企業(yè)主動(dòng)響應(yīng)號(hào)召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)（，2，3，4，5，6），如表所示：試銷單價(jià)x（元）456789產(chǎn)品銷量y（件）q8483807568已知，，（1）試求q，若變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量y（件）關(guān)于試銷單價(jià)x（元）的線性回來(lái)方程；（2）用表示用（1）中所求的線性回來(lái)方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的肯定值時(shí)，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，求“好數(shù)據(jù)”個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.（參考公式：線性回來(lái)方程中，的最小二乘估計(jì)分別為，）【答案】（1），；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）由，可求q，利用結(jié)合表中數(shù)據(jù)求出，再利用回來(lái)直線過(guò)樣本中心點(diǎn)求出，從而求出回來(lái)直線方程.（2）依據(jù)（1）中的線性回來(lái)方程求出滿意題意的“好數(shù)據(jù)”個(gè)數(shù)，從而可得的全部可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布求出分布列，由分布列即可求出期望.【詳解】（1），即，求得.

，，所以所求的線性回來(lái)方程為.（2）利用（1）中所求的線性回來(lái)方程可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.與銷售數(shù)據(jù)對(duì)比可知滿意（，2，…，6）的共有3個(gè)“好數(shù)據(jù)”：、、.于是的全部可能取值為0，1，2，3.；；；，∴的分布列為：0123P于是.【點(diǎn)睛】本題考查了最小二乘法求回來(lái)直線方程、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，考查了考生的運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知橢圓E：(a＞b＞0)的離心率為，點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P且斜率為k的直線l交橢圓E于點(diǎn)Q(xQ，yQ)(點(diǎn)Q異于點(diǎn)P)，若0＜xQ＜1，求直線l斜率k的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】(1)由題意得解得，故橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為，代入方程，消去，得，所以，因?yàn)?，所以，解得或，?jīng)檢驗(yàn)，滿意題意，所以直線斜率的取值范圍是或.21.已知函數(shù).（Ⅰ）推斷函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）求證：.【答案】（Ⅰ）在和上都是增函數(shù)（Ⅱ）證明見(jiàn)解析【解析】【試題分析】（1）先對(duì)題設(shè)條件中函數(shù)解析式進(jìn)行求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)對(duì)所求得的導(dǎo)函數(shù)的值的符號(hào)進(jìn)行判定；（2）先構(gòu)造函數(shù)，再對(duì)其求導(dǎo)得到，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，得到最小值為0，從而證得然后借助函數(shù)的單調(diào)性，分、、三種情形進(jìn)行分析推證，使得不等式獲證．解：（Ⅰ）由已知的定義域?yàn)椋?設(shè)，則，得，∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴∴在和上都是增函數(shù).（Ⅱ）設(shè)，則，得，∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴，即.①當(dāng)時(shí)，，∵在上是增函數(shù)，∴，即，∴.②當(dāng)時(shí)，，∵在上增函數(shù)，∴，即，∴.③當(dāng)時(shí)，由①②③可知，對(duì)一切，有，即.點(diǎn)睛：記得本題的第一問(wèn)時(shí)，先對(duì)題設(shè)條件中函數(shù)解析式進(jìn)行求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)對(duì)所求得的導(dǎo)函數(shù)的值的符號(hào)進(jìn)行判定，從而得出函數(shù)在和上都是增函數(shù)；解答其次問(wèn)時(shí)，先構(gòu)造函數(shù)，再對(duì)其求導(dǎo)得到，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，得到最小值為0，從而證得然后借助函數(shù)的單調(diào)性，分、、三種情形進(jìn)行分析推證，從而使得不等式獲證．選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.在直角坐標(biāo)中，圓，圓．(Ⅰ)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫(xiě)出圓的極坐標(biāo)方程，并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)；(Ⅱ)求圓的公共弦的參數(shù)方程．【答案】（1）圓C1、C2的極坐標(biāo)方程分別為：，，（2）,.【解析】試題分析：（1）利用進(jìn)行互化即可；（2）由兩圓的公共點(diǎn)求出公共弦的一般方程，再利用直線的點(diǎn)與傾斜角得到參數(shù)方程．解題思路:曲線的一般方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化，往往要利用或合理選參進(jìn)行求解．試題解析：（1）依據(jù)公式：圓C1、C2的極坐標(biāo)方程分別為：，聯(lián)立：解得：∴圓C1與圓C2的交點(diǎn)極坐標(biāo)分別為：（2）把（1）中兩圓交點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，得：∴此兩圓公共弦的一般方程為：∴此弦所在直線過(guò)（1，0）點(diǎn)，傾斜角為90°∴所求兩圓的公共弦的參數(shù)方程為：考點(diǎn)：1．曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、一般方程的互化；2．兩圓的公共弦．23.（1）已知不等式的解集為M，若a，，試比較與的