河南圣級(jí)名校2025屆高三數(shù)學(xué)6月考前模擬考試試題理含解析

PAGE25-河南省頂級(jí)名校2025屆高三數(shù)學(xué)6月考前模擬考試試題理（含解析）本試卷共6頁(yè)，23小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學(xué)校、姓名和考生號(hào)，并將條形碼正向精確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請(qǐng)保持條形碼整齊、不污損.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.3.非選擇題必需用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效.4.作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答.5.考生必需保持答題卡的整齊，考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)z,則|z|＝（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式變形,再由商的模等于模的商求解即可.【詳解】解：∵z,∴|z|＝||.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是基礎(chǔ)題.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域化簡(jiǎn)集合的表示，解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合的表示，最終依據(jù)集合的交集和并集的定義、子集的定義進(jìn)行推斷即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選項(xiàng)A不正確；，故選項(xiàng)B不正確；依據(jù)子集的定義有.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集、并集的運(yùn)算，考查了子集的定義，考查了指數(shù)函數(shù)的值域，考查了解一元二次不等式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.3.設(shè)α為平面，m，n為兩條直線，若，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)充分性和必要性的定義，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行推斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，假如，不肯定能推出，因?yàn)橹本€n可以在平面α外，當(dāng)時(shí)，假如，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)肯定能推出，所以若，則“”是“”的必要不充分條件.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的推斷，考查了線面垂直的性質(zhì)，考查了推理論證實(shí)力.4.已知雙曲線C：（，）的兩條漸近線相互垂直，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】依據(jù)雙曲線和漸近線的對(duì)稱性，結(jié)合雙曲線離心率的公式、之間的關(guān)系、雙曲線漸近線方程進(jìn)行求解即可.【詳解】雙曲線C：的漸近線方程為：，因?yàn)樵撾p曲線的兩條漸近線相互垂直，所以有.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了已知雙曲線漸近線的性質(zhì)求離心率問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知定義在R上的函數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.2 C. D.8【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等式，結(jié)合已知函數(shù)的解析式、指數(shù)冪運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值，考查了指數(shù)運(yùn)算公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.6.若，，…，的平均數(shù)為a，方差為b，則，，…，的平均數(shù)和方差分別為（）A.2a，2b B.2a，4b C.，2b D.，4b【答案】D【解析】【分析】干脆依據(jù)平均值和方差的性質(zhì)得到答案.【詳解】依據(jù)平均值和方差的性質(zhì)知：，，…，的平均數(shù)和方差分別為和.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平均值和方差，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和對(duì)于平均值和方差的性質(zhì)的敏捷運(yùn)用.7.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】干脆利用等差數(shù)列和的性質(zhì)得到答案.【詳解】依據(jù)等差數(shù)列和的性質(zhì)知：，故，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和的性質(zhì)，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.8.函數(shù)f（x）的部分圖象大致為（）A.[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs//QBM/2024/6/14/2484376738807808/2485821041958912/STEM/5b2c8f2a-2800-4b4e-beeb-b88acda4caf6.png] B.[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs//QBM/2024/6/14/2484376738807808/2485821041958912/STEM/e315a420-f7f4-4af5-8ce7-b298818c4378.png]C.[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs//QBM/2024/6/14/2484376738807808/2485821041958912/STEM/6348dfe3-6e67-4c22-927d-222a91abbf8e.png] D.[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs//QBM/2024/6/14/2484376738807808/2485821041958912/STEM/c383cf42-4f7a-4bce-9e36-8d13c7606515.png]【答案】B【解析】【分析】先推斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合選項(xiàng)中函數(shù)圖象的對(duì)稱性，先解除不符合題意的，然后結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)即可推斷.【詳解】因?yàn)閒（﹣x）f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，解除選項(xiàng)A，C，又f（2），因?yàn)椋?，所以f（2）＜0，解除選項(xiàng)D.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.9.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿意，則C的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)對(duì)稱性知在軸上，，計(jì)算得到答案.【詳解】依據(jù)對(duì)稱性知在軸上，，故，，解得，，故橢圓方程為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，確定在軸上是解題的關(guān)鍵.10.下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖.其陰離子排列如圖2所示,圖2中圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切,A,B,C,D是其中四個(gè)圓的圓心,則?（）[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2024/6/14/2484376738807808/2485821041967104/STEM/40d0d031640c44bfa67fe681e9b962e8.png]A.32 B.28 C.26 D.24【答案】C【解析】【分析】建立以為一組基底的基向量,其中且的夾角為60°,依據(jù)平面對(duì)量的基本定理可知,向量和均可以用表示,再結(jié)合平面對(duì)量數(shù)量積運(yùn)算法則即可得解.【詳解】解：如圖所示,建立以為一組基底的基向量,其中且的夾角為60°,[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2024/6/14/2484376738807808/2485821041967104/EXPLANATION/15b154d8f6564aeea86d44d8aaf0c168.png]∴,,∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的混合運(yùn)算,視察圖形特征,建立基向量是解題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的分析實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力,屬于中檔題.11.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（1175年—1250年）以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為（設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為（）A.10 B.9 C.8 D.7【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，是不等式的正整數(shù)解，化簡(jiǎn)得，即，依據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，求出成立的的最小值，即可求出答案.【詳解】解析：∵是不等式的正整數(shù)解，∴，∴，∴，即∴，∴，∴，∴，令，則數(shù)列即為斐波那契數(shù)列，，即，明顯數(shù)列為遞增數(shù)列，所以數(shù)列亦為遞增數(shù)列，不難知道，，且，，∴使得成立的的最小值為8，∴使得成立的的最小值為8.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義，以及利用數(shù)列的單調(diào)性求最值，還依據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算實(shí)力.12.已知直線與函數(shù)（）的圖象相交，將其中三個(gè)相鄰交點(diǎn)從左到右依次記為A，B，C，且滿意有下列結(jié)論：①n的值可能為2②當(dāng)，且時(shí)，的圖象可能關(guān)于直線對(duì)稱③當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)ω，使得在上單調(diào)遞增；④不等式恒成立其中全部正確結(jié)論的編號(hào)為（）A.③ B.①② C.②④ D.③④【答案】D【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，依次分析四個(gè)結(jié)論即可求解.【詳解】解析：如圖所示，[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2024/6/16/2485731821363200/2485935294750720/EXPLANATION/0ef26475606e45cb962f2e3850d7ada9.png]不妨設(shè)，，，且線段的中點(diǎn)為，明顯有，，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∵，∴，∴，即,（1）∵，且，∴由正弦曲線的圖像可知，（）.∴（），即，（2）由等式（1），（2）可得，∴，即，∴，且，∴，且，對(duì)于結(jié)論①，明顯，故結(jié)論①錯(cuò)誤：對(duì)于結(jié)論②，當(dāng)，且時(shí)，則，故，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（），即（）明顯與沖突，從而可知結(jié)論②錯(cuò)誤：對(duì)于結(jié)論③，∵，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，故結(jié)論③正確；對(duì)于結(jié)論④，下證不等式（），（法一）當(dāng)時(shí)，，∴（），即（），（法二）即證不等式（）恒成立，構(gòu)造函數(shù)（），明顯函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即不等式（）恒成立，故結(jié)論④正確：綜上所述，正確的結(jié)論編號(hào)為③④故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在點(diǎn)處的切線的方程為__________．【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，帶入得到斜率，通過點(diǎn)斜式得到切線方程，再整理成一般式得到答案.【詳解】帶入得切線的斜率，切線方程為，整理得【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)求出切線的斜率，再由斜率和切點(diǎn)寫出切線方程.難度不大，屬于簡(jiǎn)潔題.14.若x，y滿意約束條件，則的最大值為__________.【答案】2【解析】【分析】畫出可行域，表示可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，分析并計(jì)算的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2024/6/16/2485731821363200/2485935295315968/EXPLANATION/ef8bce5c3b85488191538ddf6a011411.png]又為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，由圖得的最大值為，又，得的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)則，正確畫出不等式組表示的平面區(qū)域是解題的基礎(chǔ)，理解目標(biāo)函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．15.2024年初，湖北成為全國(guó)新冠疫情最嚴(yán)峻的省份，面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國(guó)人民心系湖北，志愿者紛紛馳援若將4名醫(yī)生志愿者安排到兩家醫(yī)院（每人去一家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少去1人），則共有__________種安排方案.【答案】14【解析】【分析】依據(jù)題意先將4名醫(yī)生分成2組，再安排的兩家醫(yī)院即可求得安排方案的種數(shù)，分組時(shí)有和兩種分組方法，同時(shí)留意是平均分組問題.【詳解】由題先將4名醫(yī)生分成2組，有種，再安排的兩家醫(yī)院有種.故答案為：14【點(diǎn)睛】本題考查了排列組組合的綜合應(yīng)用，考查了先選再排的技巧，分組時(shí)要留意分類探討，還有要特殊留意平均分組問題的計(jì)數(shù)方法.16.已知正方形邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上運(yùn)動(dòng)（E不與A，B重合，F(xiàn)不與A，D重合），將以為折痕折起，當(dāng)A，E，F(xiàn)位置改變時(shí)，所得五棱錐體積的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】欲使五棱錐的體積最大，須有平面平面，求出底面五邊形的面積以及高，利用棱錐的體積公式得出體積表達(dá)式，再由基本不等式以及導(dǎo)數(shù)得出五棱錐體積的最大值.【詳解】解析：不妨設(shè)，，在直角三角形中，易知邊上的高為又五棱錐的底面面積為欲使五棱錐的體積最大，須有平面平面∴∵，∴令，則，∴，令，，則不難知道，當(dāng)時(shí)，取得最大值∴綜上所述，當(dāng)時(shí)，五棱錐的體積取得最大值故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題，涉及了棱錐的體積公式和基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.中，D為上的點(diǎn)，平分，，，的面積為.（1）求的長(zhǎng)；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)三角形面積公式可得，可得，依據(jù)余弦定理可得；（2）依據(jù)余弦定理求出，可得，再利用以及兩角差正弦公式可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，的面積為，∴，∴，∵，平分，∴，∴，在中，由余弦定理，得，∴（2）在中，由余弦定理，得，∴，因?yàn)槠椒郑?，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形的面積公式、兩角差的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題..18.如圖，三棱柱中，底面為等邊三角形，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，.[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2024/6/16/2485731821363200/2485935296094208/STEM/a5f530f4c0d5492c9db03a6057e83cee.png]（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過計(jì)算可得，通過證明平面，可得，再依據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得平面；（2）先說明直線，，兩兩垂直，再以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：設(shè)，∵，則，，，∵點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，∴，∴，∴.∵三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，∴四邊形為矩形，∵點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，∴，，∴，∴.∵三棱柱的底面是正三角形，E為的中點(diǎn)，∴.∵，且平面，平面，且，相交，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面.（2）由（1）可知平面，∴，∴平面，∴三棱柱是正三棱柱，設(shè)的中點(diǎn)為M，則直線，，兩兩垂直，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2024/6/16/2485731821363200/2485935296094208/EXPLANATION/035d0046506d41e0855b4b4b74ac335a.png]設(shè)，，，，則，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則，則，不妨取，則，則，所以，設(shè)直線與平面所成角，則，因?yàn)?，所以則直線與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，考查了直線與平面所成角的向量求法，屬于中檔題.19.足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”.為推廣足球運(yùn)動(dòng)，某學(xué)校成立了足球社團(tuán)由于報(bào)名人數(shù)較多，需對(duì)報(bào)名者進(jìn)行“點(diǎn)球測(cè)試”來確定是否錄用，規(guī)則如下：[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2024/6/16/2485731821363200/2485935297028096/STEM/0cd440c33bf24f7d87c75a1a93fc64c2.png]（1）下表是某同學(xué)6次訓(xùn)練數(shù)據(jù)，以這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率代表其單次點(diǎn)球踢進(jìn)的概率.為加入足球社團(tuán)，該同學(xué)進(jìn)行了“點(diǎn)球測(cè)試”，每次點(diǎn)球是否踢進(jìn)相互獨(dú)立，將他在測(cè)試中所踢的點(diǎn)球次數(shù)記為，求；[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2024/6/16/2485731821363200/2485935297028096/STEM/c67b1f9ca4644b1f91b8ea03ae930d54.png]（2）社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲起先隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的隨意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的隨意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記起先傳球的人為第1次觸球者，接到第n次傳球的人即為第次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為.（i）求，，（干脆寫出結(jié)果即可）；（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列.【答案】（1）（2）（i），，（ii）證明見解析；【解析】【分析】（1）先求出踢一次點(diǎn)球命中的概率，然后依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)的乘法公式分別求出取1，2，3的概率，再依據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式可求得結(jié)果；（2）（i）依據(jù)傳球依次分析可得答案；（ii）依據(jù)題意可得，再變形為，依據(jù)等比數(shù)列的定義可證結(jié)論.【詳解】（1）這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率為，則該同學(xué)踢一次點(diǎn)球命中的概率，由題意，可能取1，2，3，則，，，則的期望.（2）（i）因?yàn)閺募灼鹣入S機(jī)地將球傳給其他兩人中的隨意一人，所以第1次觸球者是甲的概率，明顯第2次觸球者是甲的概率，第2次傳球有兩種可能，所以第3次觸球者是甲的概率概，（ii）∵第n次觸球者是甲的概率為，所以當(dāng)時(shí)，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則.從而，又，∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查了樣本估計(jì)總體，離散型隨機(jī)變量的期望，考查了遞推關(guān)系以及等比數(shù)列的概念；考查分析問題、解決問題的實(shí)力，建模實(shí)力，處理數(shù)據(jù)實(shí)力.屬于中檔題.20.在平面直角坐標(biāo)系中，P為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q滿意，且原點(diǎn)O在以為直徑的圓上.記動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程：（2）過點(diǎn)的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D（異于A，B）在C上，直線，分別與x軸交于點(diǎn)M，N，且，求面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，表示出，再由原點(diǎn)O在以為直徑的圓上，轉(zhuǎn)化為，得到曲線C的方程.（2）設(shè)而不解，利用方程思想、韋達(dá)定理構(gòu)建面積的函數(shù)關(guān)系式，再求最小值.【詳解】解：（1）由題意，不妨設(shè)，則，，∵O在以為直徑的圓上，∴，∴，∴，∴曲線C的方程為.（2）設(shè)，，，，，依題意，可設(shè)：（其中），由方程組消去x并整理，得，則，，同理可設(shè)，，可得，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，面積取得最小值，其最小值為.【點(diǎn)睛】本題以直線與拋物線為載體，其幾何關(guān)系的向量表達(dá)為背景，利用方程思想、韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用坐標(biāo)法解決幾何問題貫穿始終，主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系最值問題，考查學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及思辨實(shí)力.21.已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若，求在上的極大值點(diǎn)；（2）（）證明在上單調(diào)遞增；（）求關(guān)于的方程在上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．【答案】（1）；（2）（）證明見解析，（）當(dāng)時(shí)，方程在上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，方程在上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.【解析】【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再依據(jù)單調(diào)區(qū)間即可得到函數(shù)的極大值點(diǎn).（2）（）首先依據(jù)的單調(diào)性只需證明，將問題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合的單調(diào)性即可證明.（ii）首先證明，再證明函數(shù)的最大值，設(shè)，分別求出和的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到方程解得個(gè)數(shù).【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，.增函數(shù)極大值減函數(shù)所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為.（2）（）因?yàn)?，所以在上必存在唯一的?shí)數(shù)，使得.所以，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).要證明在上單調(diào)遞增，只需證明即可.又因?yàn)?，所以，即證即可.設(shè)，，所以在為減函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，即，即證，所以在上單調(diào)遞增.（）先證明時(shí)，.設(shè)，，，因?yàn)?，所以，在為增函?shù).所以，即.再證明函數(shù)的最大值.因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所?所以.下面證，令，則，即證，，，.設(shè)，，所以函數(shù)為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，，即.即證：.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，且在為減函數(shù)，所以在上有唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，，且在為增函數(shù).①當(dāng)時(shí)，，即，所以在上沒有零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，即，所以在上有唯一零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)時(shí)，方程在上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，方程在上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于難題.（二）選考題：共10分請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.留意：只能做所選定的題目.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械，它的構(gòu)造如圖所示，在一個(gè)十字形的金屬板上有兩條相互垂直的導(dǎo)槽，在直尺上有兩個(gè)固定的滑塊A，B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動(dòng)，在直尺上的點(diǎn)M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M的軌跡C是一個(gè)橢圓，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如圖，以兩條導(dǎo)槽的交點(diǎn)為原點(diǎn)O，橫槽所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2024/6/14/2484376738807808/2485821042900992/STEM/485c1ef7430a498d8d74241ceff3d0d5.png]（1）將以射線Bx為始邊，射線BM為終邊的角xBM記為φ（0≤φ＜2π），用表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出C