高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) 46(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（46）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，共70.（）分）

1.在三棱錐P-4BC中，點(diǎn)尸在平面A8C的垂足為△ABC的內(nèi)心，三棱錐P-4BC的高為2g，且

AB=6,AC=8,BC=10,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為O,直線P。與平面A8C交于

點(diǎn)<2-則.=（）

2.在三棱錐4—BCD中，與ACBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且二面角4—BD—C的平面

角為120。，則該三棱錐的外接球的表面積為

7n87r等警

A.B.C.33D.

3.設(shè)尸，。為一個(gè)正方體表面上的兩點(diǎn)，已知此正方體繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)。（0<9<2乃）角后能與

原正方體重合，那么符合條件的直線PQ的條數(shù)為（）

如圖，正四面體A8CO的頂點(diǎn)C在平面a內(nèi)，且直線BC與平面

a所成的角為30。，頂點(diǎn)8在平面a內(nèi)的射影為O,當(dāng)頂點(diǎn)A與點(diǎn)

。的距離最大時(shí)，直線C。與平面a所成角的正弦值等于（

遍+3四

12

B.在

5.已知三棱錐S-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某個(gè)球面上，SC為該球的直徑，△力BC是邊長(zhǎng)為4的等邊

三角形，三棱錐S-4BC的體積為g,則此三棱錐的外接球的表面積為（）

6.己知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA_L平面ABC,且NBAC=60°,PA=2,

BC=2V5.則二面角P-BC-4取最小值時(shí)，球O的表面積為

A.187rB.20nC.247rD.20V3TT

7.已知正方體ABC?！?B1GD1的棱長(zhǎng)為4,M是的中點(diǎn)，P,Q分別在棱CC「DD1上，且CP

DiQ=l,設(shè)平面MPQ與平面ABC。的交線為/,貝I"與G4所成角的正切值為（）

A.4B.2C.V5D.V2

8.在正方體ABC。-4/165中，E,尸分別為棱DO1的中點(diǎn)，G為側(cè)面4BBp4i內(nèi)一點(diǎn)，若

D】G〃平面4EC/,則DiG與平面48當(dāng)41所成角正弦值的最大值為（）

g2V5

AC

-T?5-YD?粵

9.已知三棱柱ABC-711B1C1中，AA1_L平面ABC,AB=BC=AAr=3,/-ABC=90°,M為棱CJ

中點(diǎn)，則直線BM與&C所成角的余弦值為（）

A-fB*C-TDT

10.如圖，已知四面體A8C￡>為正四面體，AB=2,E,尸分別是A。，BC中

點(diǎn).若用一個(gè)與直線E尸垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面a去截

該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（）

A.1B.V2C.V3D.4

11.三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)都相等,M是棱A8上一點(diǎn),若直線PM與直線8c所成角的余弦值

為;，則器=

A.竽BCV13-1D.包

?3?66

12.體積為竽的三棱錐4-BCD中，BCAC=BD=AD=3,CD=2V5，AB<2V2，則該三棱錐

外接球的表面積為

R61〃「61n49

A.207rD.—Tlc-石7rD-石兀

13.體積為竽的三棱錐a-BCD中，BC=AC=BD=AD=3,CD=2遮，AB<2V2，則該三棱

錐外接球的表面積為（）

D61c6149

A.207rB.—TCc-石兀D.—TC

312

14.如圖,在三棱柱A8C-&%前中，底面A3C是等邊三角形,力義1AiCl

底面ABC,且4B=2,44i=l,則直線BQ與平面所成Bi

角的正弦值為（）

C

B

A.叵

5

B.叵

5

c.辿

5

D.在

5

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

15.如圖，在四邊形A8C。中，4ABC是等邊三角形，AC與BQ相交于點(diǎn)。，~^\D

4。J.C。，4。=C。=1.將AABC沿AC折起，使得ZB。。=120。，若A,|

B,C,力四點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為.I/\jc

16.已知兩矩形ABC。與4OE尸所在的平面互相垂直，4B=1,若將4DEF沿8%?一

直線FD翻折，使得點(diǎn)E落在邊BC上（即點(diǎn)P）,則當(dāng)A。取最小值時(shí)，四面體F-4DP的外接球

的半徑是.

17.邊長(zhǎng)為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實(shí)線圍成的部分，將所留部分折成

一個(gè)正四棱錐.當(dāng)該棱錐的體積取得最大值時(shí)，其底面棱長(zhǎng)為.

18.如圖，正方形O'AB'C'的邊長(zhǎng)為1cm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形

的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是.

19.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1,E為線段/C上的一點(diǎn)，則三棱鍵4一OEZ\的體積

為______

三、解答題(本大題共11小題，共132.0分)

20.如圖1,在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D,E分別為邊AC,AB的中點(diǎn).將△力DE沿OE折起,

使得力B14D,得到如圖2的四棱錐4-BCDE,連結(jié)BO,CE,且與CE交于點(diǎn)從

圖1圖2

(1)證明：AH1BD；

(2)設(shè)點(diǎn)B到平面A￡Z)的距離為七，點(diǎn)E到平面AB。的距離為修求富的值.

n2

21.在如圖所示的幾何體中，DEUAC,AC，平面BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,乙BCD=

60°.

(1)證明：BD_L平面ACDE；

(2)過(guò)點(diǎn)。作一平行于平面ABE的截面，畫出該截面，說(shuō)明理由，并求夾在該截面與平面ABE

之間的幾何體的體積.

22.如圖，在以4、B、C、。、E、尸為頂點(diǎn)的五面體中，平面CDEF1平面4BCD,FC=FB,四邊

形A8C。為平行四邊形，且NBCC=45。.

(1)求證：CD1BF；

(2)若AB=2EF=2,BC=五，直線BF與平面ABC。所成角為45。，求平面AOE與平面BCF

所成銳二面角的余弦值。

23.如圖，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，ACLAB,A'A^ABAC=2>D,E分別為AB,BC的中

(1)證明：平面"DE，平面A4BB'；

(2)求點(diǎn)C'到平面8'DE的距離.

24.如圖，已知三棱柱ABC-AiBiG中，△4BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，O為線段的中點(diǎn)，40，

平面ABC.

G

B

(1)證明：平面力通。JL平面BBiGC；

(2)若與平面ABC所成角的正弦值為V，求二面角B-OB1—4的余弦值.

3

25.如圖，四棱錐P-4BCD的底面為正方形，側(cè)面PA力是正三角形，且側(cè)面PAC1底面4BCD,

(/)求證：平面PAD_L平面PCD.

(〃)求二面角4-PC-。的余弦值.

26.如圖1,與三角形的三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.設(shè)。是回ABC的內(nèi)切圓圓心，小是

團(tuán)ABC的內(nèi)切圓半徑，設(shè)如Me是日4BC的面積，L.BC是04BC的周長(zhǎng)，由等面積法，可以得到

29

內(nèi)一七

(1)與三棱錐的四個(gè)面都相切的球叫做三棱錐的內(nèi)切球.設(shè)三棱錐的體積是匕表面積是S,請(qǐng)

用類比推理思想，寫出三棱錐的內(nèi)切球的半徑尺,,公式(只寫結(jié)論即可，不必寫推理過(guò)程)；

(2)如圖2,在三棱錐P-4BC中，PA.PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1,求三棱錐

P-4BC的內(nèi)切球半徑.

27.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面ABC。是矩形，側(cè)面PAD_L底面ABC。，E為尸A的中點(diǎn),

過(guò)C、D、E三點(diǎn)的平面與PB交于點(diǎn)F,且P4=PD=4B=2.

(1)證明：EFJ.AD-.

(2)若四棱錐P—2BCD的體積為右則在線段PB上是否存在點(diǎn)G,使得二面角G-CD-B的余

弦值為獨(dú)？若存在，求黑的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5

28.如圖1,在邊長(zhǎng)為2的等邊△48C中，D,E分別為邊4c,48的中點(diǎn)，將A4E。沿EQ折起，使得

AB1AD,AC1AE,得到如圖2的四棱錐4一BCDE,連結(jié)8Q,CE,且BD與CE交于點(diǎn)H.

(1)求證：AHL平面8CDE;

(2)求二面角B-AE-。的余弦值.

A

A

29.如圖，四棱錐P-4BCC中，AB=BC=2百，AD=CD=2,PA=PC,/.ABC=^.AB14D平

面PAD_L平面ABCD.

(1)求證：PD1平面ABC。；

(2)若尸C=3,求四棱錐P-ABC。的體積.

30.用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得的圓臺(tái)上、下底面的半徑比是1；4,截去的圓

錐的母線長(zhǎng)是3cm.求截得的圓臺(tái)的母線長(zhǎng).

【答案與解析】

1.答案：。

解析:

本題主要考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，空間中的距離關(guān)系，屬于較難題.

根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，先求三角形內(nèi)心D的坐標(biāo)，再求外接球的球心。坐標(biāo)，進(jìn)而可求券.

解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，4c邊為x軸，A8邊為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

可得4(0,0,0),S(0,6,0),C(8,0,0),

①求△4BC的內(nèi)心：

因?yàn)椤髁C的內(nèi)心在直角角平分線上，即在直線y=x上，

故設(shè)△4BC的內(nèi)心D(a,a,0),

又因?yàn)?。到AB的距離等于。到BC的距離，

根據(jù)題目條件，易得直線BCy=-|x+6,

|--a+6|

所以a=解得a=2或a=6(舍去)，

所以。(2,2,0),則P(2,2,2A/5).

②求。點(diǎn)坐標(biāo)：

因?yàn)辄c(diǎn)。到A、B、C的距離相等，易得點(diǎn)。在8c中點(diǎn)的垂線上，

所以可設(shè)。(4,3,m),又OA=OP,

所以。爐=OP2,根據(jù)坐標(biāo)可得：42+32+m2=(4-2)2+(3-2)2+(m-

解得m=雪，所以0（4,3,—等）.

③求券因?yàn)镻、0、。三點(diǎn)在一條直線上,

所以長(zhǎng)度的比值可轉(zhuǎn)化為z坐標(biāo)差值的比值,

所以空一旦應(yīng)一場(chǎng)受1一4

所以O(shè)Q-|Z°-ZQ|-闖-4，

故選。.

2.答案：D

解析：

本題考查了球的表面積公式的應(yīng)用，重點(diǎn)考查球的球心位置的判定.屬于中檔題.

首先確定球心的位置，進(jìn)一步確定球的半徑，最后確定球的表面積.

解：如圖所示：

因?yàn)椤?8。與△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且二面角4-BD-C為120。,

取A/IB。和△BC。的中心尸，E,取的中點(diǎn)記為G,連接EG,FG,

所以ZEGF=120°,

則球心。為過(guò)△48。和aBCD的中心的垂線的交點(diǎn)，

在四邊形OEG中可計(jì)算得：OE=OF=1,又因?yàn)镋D=2，

3

利用勾股定理得：球的半徑「=]/+（￥）2=亨,

則外接球的表面積S=4兀?告=學(xué).

93

故選。.

3洛案：D

解析：

正方體繞著直線P。旋轉(zhuǎn)。（0＜。＜2兀）角后能與自身重合，則PQ比過(guò)正方體中心，否則，正方體

繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)0（0＜。＜2兀）角后，中心不能回到原來(lái)的位置，結(jié)合圖形求解，屬較難題.

解：若正方體繞著直線尸。旋轉(zhuǎn)火0＜8＜2n）角后能與自身重合，則PQ比過(guò)正方體中心，

否則，正方體繞著直線尸。旋轉(zhuǎn)。（0＜。＜2兀）角后，中心不能回到原來(lái)的位置；共有三種情況：如

圖所示；

,）TT

當(dāng)P,。為正方體的體對(duì)角線兩頂點(diǎn)時(shí)，把正方體繞尸。旋轉(zhuǎn)二，正方體回到原來(lái)的位置，此時(shí)的

直線共有4條；

當(dāng)P,。為正方體兩相對(duì)棱中點(diǎn)時(shí)，把正方體繞P。旋轉(zhuǎn)兀，正方體回到原來(lái)的位置，此時(shí)直線共有

6條；

當(dāng)P,。為正方體對(duì)面中心時(shí)，把正方體繞PQ旋轉(zhuǎn):，正方體回到原來(lái)的位置，此時(shí)直線共有3

條；

綜上，符合條件的直線尸。有4+6+3=13條.

故選

4.答案：D

解析：

本題著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角的定義與求法等知識(shí)，屬于

較難題.

由題意，可得當(dāng)。、B、A、C四點(diǎn)共面時(shí)頂點(diǎn)力與點(diǎn)。的距離最大，設(shè)此平面為例由面面垂直判

定定理結(jié)合B。_La,證出￡la,過(guò)。作DEla于E,連結(jié)CE,根據(jù)面面垂直與線面垂直的性質(zhì)證

出。H〃a,從而點(diǎn)。到平面a的距離等于點(diǎn)H到平面a的距離，設(shè)正四面體A8CZ）的棱長(zhǎng)為1,根據(jù)

BC與平面a所成角為30。和正四面體的性質(zhì)算出“到平面a的距離，利用三角函

數(shù)的定義算出sin/OCE=1,即得直線C￡＞與平面a所成角的正弦值.

解：???四邊形084c中，頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大，

.??。、B、A、C四點(diǎn)共面，設(shè)此平面為夕，

vBO1a,BOcB,???/?1a,

過(guò)。作DH_L平面ABC,垂足為H,

設(shè)正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為1,則Rt^HCO中，CH=^-CD=—,

33

BOLa,直線8c與平面a所成角為30。，

???Z.BCO=30°,結(jié)合NHCB=30。得4HC。=60°,

因此，”到平面a的距離等于HCsin60。=夜x且=三，

322

過(guò)。作DEJLa于E,連結(jié)CE,則4DCE就是直線CD與平面a所成角，

???DH1a1p§.DHa,：.DH//a.

由此可得點(diǎn)。到平面a的距離等于點(diǎn)”到平面a的距離，即DE=p

??.RMCOE中，sinWCE="=^=L即直線CO與平面a所成角的正弦值等于

CD122

故選：D.

5.答案：D

解析:

根據(jù)題意作出圖形，欲求球。的表面積，只須求球的半徑r,利用截面圓的性質(zhì)即可求出。0「進(jìn)而求

出底面ABC上的高產(chǎn)￡),即可計(jì)算出三棱錐的體積，從而建立關(guān)于，的方程，即可求出r,從而解決

問(wèn)題.

本題考查三棱錐的外接球的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形

結(jié)合思想，是中檔題.

解：根據(jù)題意作出圖形,

設(shè)球心為0,球的半徑兀過(guò)4BC三點(diǎn)的小圓的圓心為01，

則。01_L平面ABC,延長(zhǎng)CO】交球于點(diǎn)D,則SD1平面ABC.

???△4BC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，CO】=1716^4=手，

。%=卜胃

...高SD=2001=2Jr2-y.

???A4BC是邊長(zhǎng)為4正三角形，

???S〉A(chǔ)BC=~x4x4xsin60°=4V3,

??,V三棱錐S-ABC=9X4V3x25_J=拳

???一7=——20.

3

則球。的表面積為4仃2=等.

故選：D.

6.答案：H

解析:

本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)

鍵.作4D1BC,連接PQ,由題意知AQ取最大值時(shí)，二面角P—BC—4最小，再由余弦定理和基

本不等式可得48TCW12,再由面積可得A。的最大值為3,故求得球0的半徑，由球。的表面積

公式可得答案

解：如圖，在△ABC中，作ADJ.BC,連接PD.由P4J■平面A8C,可知4PDA為二面角P—BC—4的

平面角.

???tan"D4=瞿=二，0<"ZM<孑，二AD取最大值時(shí)，"D4最小.

ADAD2

在△ABC中，ABAC=60°,BC=273.由余弦定理，^BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC,

AB2+AC2-AB-AC=12,即4B-4CS12,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)，等號(hào)成立.

11AR-AC

VSg48c=-BC-AD=-AB.ACS\x\/.BAC,：?AD=<3.

1224

.?.當(dāng)二面角P—BC—a取最小值時(shí).，AD=3,此時(shí)△ABC為等邊三角形，易求得球。的半徑為通，

此時(shí)球。的表面積為207r.

故選B

解析：

本題考查異面直線所成角，屬于中檔題；

連接QM,PB,MB,QP,得QM〃PB,延長(zhǎng)QP交。C于點(diǎn)E,連接BE,

則4CEB為BE與GDi所成角，即可求解；

解：連接QM,PB,MB,QP,得QM〃PB,

延長(zhǎng)QP交0c于點(diǎn)E,連接BE,則CE=2,且平面MPQ與平面A8CQ的交線為BE,

則4CEB為BE與GDI所成角,

所以tanZlTEB=—=-=2,

CE2

故選:B.

8.答案：D

解析：解：取4遇的中點(diǎn)M,連接Bi",B]Di，EF.

顯然D】M〃GE,B\D\"EF,

平面BWiM〃平面AEGF,

?；。"〃平面4EQF,且G€側(cè)面4BB14,

???G在線段上，

又必?！钙矫鍭BBMi，4母公為QG與平面4BBM1所成角，且sin40iG4i=霏，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則當(dāng)aG取得最小值氣浮=苓=專時(shí)，。母取得最小值=強(qiáng)

1V30

???sin/J)iGAi的最大值為逐=

而

故選：D.

過(guò)5構(gòu)造平面4EGF的平行平面，得出G的軌跡，再判斷G的位置得出4G與平面ABB14所成角正

弦值的最大值.

本題考查了直線與平面所成角的計(jì)算，屬于中檔題.

9.答案：B

解析：

本題考查了異面直線所成角的求法，涉及棱柱結(jié)構(gòu)特征的運(yùn)用，屬于中檔題.

根據(jù)題意可得三棱柱ABC—4B1G為直三棱柱，取41G的中點(diǎn)M連接MMBN,B】N,可得乙BMN

即為直線與4C所成角，然后結(jié)合余弦定理求解即可.

解：由題意，三棱柱ABC-4/iG為直三棱柱，取41G的中點(diǎn)N,連接MN,BN,BrN,

則有MN〃4C,所以即為直線BM與41c所成角，

因?yàn)閆B=BC=AA1=3,乙ABC=90。，

所以4c=ArCi=3V2.

BM=VBC2+CM2=[2+(J=

MN=加C=^AA,2+AC2=小+(3小了=當(dāng),

BN=JBB/+B[N2=J32+(乎)2=乎,

所以在三角形BMN中，由余弦定理得COSNBMN=空絲空處

2BMMN2*吟乎_】5.

故直線BM與4C所成角的余弦值為普.

故選B.

41

10.答案：B

解析:

本題主要考查與棱錐截面有關(guān)的面積計(jì)算，屬于較難題.

將已知圖象補(bǔ)成正方體，得到截面為平行四邊形MNKL,再運(yùn)用基本不等式得到截面面積最大值.

解析：

解：補(bǔ)成正方體，如圖.

vEF1a,二截面為平行四邊形MNKL,

可得NK+KL=2,

5LKN//AD,KL//BC,且AO1BC,：.KN1KL

可得S四邊多-KL&=1.

當(dāng)且僅當(dāng)NK=KL=1時(shí)取等號(hào)，

選B.

11.答案：D

解析：

本題考查異面直線的夾角和余弦定理，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于一般題.

設(shè)需=m(m>0),由/PMN就是直線PM與直線BC所成角，利用余弦定理即可求解.

解：過(guò)M作MN〃BC,與AC交于N,連接CW,

設(shè)需=m(m>0),三棱錐P-4BC的棱長(zhǎng)為m+1,

由△AMN?△4BC,得罌=w，

BCAB

所以MN=m,

又MP=\/AM2+AP2-2AM-AP-cos^PAM

=yin2+(in+I)2—2m(m+1)g=\/m24-m4-1>

同理，PN=Vm2+m+1-

由4PMN就是直線PM與直線BC所成角，

PM2+MN2-PN2

得cos乙PMN=

2PMMN

即工m2，解得m=&

42x/m2+7n+l-7n6

故選D

12.答案:B

解析：

本題考查三棱錐的體積，考查球的表面積，考查錐體的外接球問(wèn)題，屬于難題.

求出A8的長(zhǎng)，確定出三棱錐，建立空間直角坐標(biāo)系，求出半徑即可.

解：考慮極限情況，在長(zhǎng)方體中，如圖所示（4B分別為長(zhǎng)方體棱上的中點(diǎn)），

BC=AC=BD=AD=3,CD=26，則4CBD三4CAD,

設(shè)。為CZ）中點(diǎn)，易得C。=。。=遮，op=0A=^32—（V5）2=2，

則在Rt△中，AB=V22+22=2vL

而根據(jù)題干信息AB<2V2,則點(diǎn)B在上圖中的Q（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)運(yùn)動(dòng)到三棱錐A-BCD的體積為第時(shí)，此時(shí)的三棱錐如圖所示（O'B為三棱錐的高）:

由幾何關(guān)系可得△4CD的面積為SMCD?|0*=2花，

故匕-86=：x2岔x\B0'\=野，解得|8。，|=V3.

則在RtAOBO'中，B0=2,\B0'\=V3.則。。'=1,

而。4=2,則20'=1,則8為MN中點(diǎn)（M,N分別為對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體棱上的中點(diǎn)），

而在△4CC中，AD=AC,O為CD中點(diǎn)，sin^DAO=—，cos^DAO=

33

由二倍角公式可得sin4D4C=延，

9

設(shè)小ACD的外接圓半徑為r,則利用正弦定理可得2r=

s\nz.DAO

解得r=p

而4D=AC,O為。。中點(diǎn)，所以△4CD的外接圓圓心一定在OA所在的直線上，

而r=：>04=2,故外接圓圓心在0A的延長(zhǎng)線上，

設(shè)該三棱錐的外接球的球心為P,01為△4CD的外接圓圓心，則0通=；,

則POi1底面。1&4。，

而。14U底面01C4D,故P。］10遇，

而CD1AOr,

設(shè)三棱錐外接球的半徑為上

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（01為原點(diǎn)，為y軸，POi為z軸，CO的平行線為x軸）:

設(shè)P（0,0,z）則力（0,：,0）,S（0,；,V3）,

則|PB|=\PA\=R,

則靠+9-8）2=，+z?=R，

解得z=_"（說(shuō)明尸在上圖所示的z軸的負(fù)半軸上）,

則R2=M

故外接球的表面積S=4nR2=yTT.

故選員

13.答案：B

解析：解：取AB的中點(diǎn)E,連接。E,CE,因?yàn)锽C=4C=BO=4O=3,

所以CE1AB,DE1AB,DECCE=E,

所以4B1面CDE,且DE=CE,取CD的中點(diǎn)，連接EP,則EPJ.CD,

所以5-8。。=98$吹=948-，。七。=卜48-2/)g2-(竽)2=

^-AB-JAD2-(y)2-5=^--AB-〔4一華,

因?yàn)?-BCD=

所以亞至=①.4B.%一處,因?yàn)?B<2a,

33\4

所以解得AB=2：AE=1,DE=CE=IAC2-(^)2=V32-1=2^2,

所以sinZACE=*=g所以sin44cB=2sin/.ACE-COSAACE=2

AC3339

由題意可得。在底面的投影在中線CE所在的直線上，設(shè)為凡設(shè)。F=/i,

設(shè)底面ABC的外接圓的半徑為r,設(shè)圓心為。，27=寶病=巫，所以「=芷，

98

O'E=CE-r=2V2--=—，

88

2

VA-BCD==^SABC-h=^-^AC-sinZ-ACB?h='.9?2夜?h,解得九=學(xué)’

所以EF=yjDE2—DF2=—普=弓，

所以O(shè)'F=EF+O'E=—+—=—,

288

過(guò)。'作。O'，面ABC的垂線，作OH1DF于H,則四邊形HF。'。為矩形，

設(shè)外接球的半徑為R,取04=OB=0D=R,

在三角形。"￡>中，0D2=0H2+(DF-FH)2,BP/?2=O'F2+(―-00')2=(―)2+(―-00z)2.

282

①

在三角形。0'中，。。2=。。，2+。0,2=產(chǎn)+。。，2即區(qū)2=(竽)2+0。，2,②，

由①②可得腔=會(huì)

所以外接球的表面積S=4nR2=4兀,工=yJr.

故選：B.

由題意取AB的中點(diǎn)E,連接DE,CE,因?yàn)锽C=AC=BD=4。=3,所以CE14B,DE1AB,

DEnCE=E,

所以ABLSICOE,且。E=CE,取C力的中點(diǎn)，連接EP,則EPLCD,再由體積可得AB的值，進(jìn)

而求出底面外接圓的半徑，及。到底面的高，由題意求出外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.

本題考查三棱錐與外接球的半徑之間的關(guān)系，及球的表面積公式，屬于中檔題

14.答案：A

解析：

本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

取4名的中點(diǎn)。，連結(jié)?？凇?B,證明NOBCi是直線BCi與平面所成角，由此能求出直線BC1

與平面ABB1&所成角的正弦值.

解：取&&的中點(diǎn)0,連結(jié)。的、OB,

???在三棱柱ZBC-4B1C1中，底面ABC是等邊三角形，故gOl&Bi，

AAt1底面ABC,所以M1底面

又Q。u平面為B1G

???CXO1AAr,又n人祖=必，4Alu平面陽(yáng)勺①，公&u平面488出,

???G。?L平面4BB14

??.4OBG是直線BQ與平面所成角，

??,AB=BC=2,AAr=CCi=1,

???8cl=\/224-l2=A/5?G。=V22—1=V3?

???直線BC1與平面ABBMi所成角的正弦值：

.,QOV3Vis

^08^=—=^==—

故選A.

15.答案：等

解析：

本題考查了球的表面積，線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力和推理能力，屬

于中檔題.

根據(jù)題意只需證得。0'J_OD,從而求得0。'=立，再根據(jù)勾股定理求得R,進(jìn)而可得球的表面積.

3

解：如圖，連接8。，設(shè)球心為0',半徑為R,易知。是AC的中點(diǎn).

又AB=BC,則B0J.4C,同理。014c.8。C。。=。，BO,ODcffiBOD,

AC_L平面BOD,ACu平面ACD

從而得平面力CD1平面BOD,平面力BC_L平面BOD.

又因?yàn)辄c(diǎn)。為△AC。的外心，

故。。'_LOD,且。。'u平面BO。，

設(shè)△力8c的外心為E,易知，點(diǎn)E在線段OB上，且。E=^OB=漁,

36

連接。'E,O'A,

由48。0=120°,得乙E00'=120°-乙O'OD=30°,

由勾股定理得R2=。rA2=OA2+00'2=-,

18

故球的表面積為S=4TTR2=等.

故答案為詈.

16.答案：漁

2

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算，由于本題是幾何與代數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，運(yùn)算量比

較大，而且得到的X,y的關(guān)系比較復(fù)雜，因此要用換元法，簡(jiǎn)單表達(dá)式.由已知中矩形A8CZ)與矩

形AOEF所在的平面互相垂直，將ADE/沿正￡>翻折，翻折后的點(diǎn)E恰與8C上的點(diǎn)P重合.設(shè)AB=1,

FA=x(x>1),AD=y,我們利用勾股定理分別求出BP,PC,根據(jù)BC=BP+PC,可以得到x,

y的關(guān)系式，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.四面體F-4DP的外接球的球心為。尸的

中點(diǎn)，即可求出四面體F-40P的外接球的半徑.

解：設(shè)FA=x(x>l),AD=y,

?.?矩形ABC。與矩形4DE尸所在的平面互相垂直，AB=1,FA=x(x>1),AD=y,

???FE=FP=AD=BC=y,AB=DC=1,FA=DE=DP=x

在Rt△OCP中，PC=V%2—1

在RMF4P中，AP=y/y^x^

在Rt△A8P中，BP=y/y2—x2—1

vBC=BP+PC=yjy2—x2—1+y/x2—1=y

整理得y2=「G4，令/=:1

則”上，

則當(dāng)t=；,即％=魚時(shí)，y取最小值2.

四面體F-4DP的外接球的球心為QF的中點(diǎn)，DF=03=逐，四面體F-ADP的外接球的半徑

是爭(zhēng)

故答案為漁.

2

4

音-

7.5

解析：

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查邏輯思維與運(yùn)算能力，屬于中檔題.

設(shè)底面邊長(zhǎng)為2x,可求得此四棱錐的高為九=VFK(O<X<|),繼而可得該棱錐的體積表達(dá)式,

利用導(dǎo)數(shù)即可求得該棱錐的體積取到最大值時(shí)X的值，從而可得答案.

解：設(shè)底面邊長(zhǎng)為2x,則斜高為空=1-x,

即此四棱錐的高為九=y/(l-xy-x2=萬(wàn)萬(wàn)(0<x<j),

所以此四棱錐體積為U=l-4x2-VI』=|Vx4-2x5,

令h(x)=x4—2x5(0<x<^),則/f(x)=4%3—10x4(0<%<1),

令兄(x)=4%3—10x4=2x3(2—5x)=0,

當(dāng)x€(O,|)時(shí)，h!(x)>0,xe(|,+8)時(shí)，h![x)<0,

所以數(shù)旗%)在％=機(jī)寸取得極大值，也是最大值，此時(shí)底面棱長(zhǎng)為g.

故答案為：

18.答案：8

解析：

本題目主要考查空間幾何體的直觀圖和斜二測(cè)畫法，屬于一般題.

解析：

解：由斜二測(cè)畫法的規(guī)則知與公軸平行的線段

其長(zhǎng)度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對(duì)角線在y'軸上，

可求得其長(zhǎng)度為VL故在平面圖中其在y軸上，且其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，長(zhǎng)度為2VL其原來(lái)的

圖形如圖所示，則原圖形的周長(zhǎng)是8a".

故答案為8.

19.答案：；

解析：

本題考查了三棱柱體積的計(jì)算，等體積轉(zhuǎn)化法是常常需要優(yōu)先考慮的策略，屬于基礎(chǔ)題.

將三棱錐A-DE4選擇△4。劣為底面，E為頂點(diǎn)，進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)化匕“已以=后體積易求.

解：將三棱錐A—DEDi選擇AADDi為底面，E為頂點(diǎn)，

則匕-DED1=^E-ADDi>

其中SAAD%=4,E到底面ADD1的距離等于棱長(zhǎng)1,

故P=；x；xl=g

3Lo

故答案為g

o

20.答案：（1）證明：在圖1中，因?yàn)闉椤鰽BC為等邊三角形，

且。為邊AC的中點(diǎn)，所以BD1.AC,

在△BCD中，BD1CD,BC=2,CD=1,所以BO=百，

因?yàn)椤?，E分別為AC,AB的中點(diǎn)，所以EO〃BC,

在圖2中，有黑=霽=§所以0"=50=立，

HBBC233

因?yàn)?8J.40,所以△480為直角三角形，

因?yàn)?。=1,BD=V3.所以cos乙4DB=處=立，

BD3

在△4?！爸?，由余弦定理得，

AH2=AD2+DH2-2AD-DHc.osz.ADB

所以AH=在，

3

在△ADH中，因?yàn)?"2+。，2=|+，=1=4。2,所以4H1B。；

(2)解法1:因?yàn)閂g-AED—^E-ABD,所以孑$4￡。八1=ISABD/IZ，

所以胃=浮，

〃2^AED

因?yàn)椤?ED是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，所以SAHED=/，

在RtAABD中，BD=V3.AD=1,則4B=魚，

所以治的=爭(zhēng)所以晟=不，

所以F的值為M.

九23

9

解法2:因?yàn)?TED=^A-BDE

11

所以]S用nED九i=xAH.

所以色=包警組.

s團(tuán)AED

因?yàn)椤?ED是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，所以如4四=弓.

因?yàn)锳BDE是腰長(zhǎng)為1,頂角為120。的等腰三角形，所以如BDE=f.

由⑴得4H=9,所以九1=黑

f

由KFTBO=^A-BDE同理求得h2=2,

所以空=平.

h23

所以F的值為2.

九23

解析：本題主要考查了余弦定理，三棱錐的體積公式，屬于中檔題.

(1)計(jì)算出8力的長(zhǎng)，?！钡拈L(zhǎng)，COSAADB的值，由余弦定理可得A”的長(zhǎng)，由勾股定理可得結(jié)果.

(2)解法1,根據(jù)，BTED=?E-4BD,得到￡S^ED/I]=鼻九2,所以U=U殷,求出SfED，SfBD得

33n2bAED

值，可得結(jié)果.

解法2,根據(jù)/TED=VA-BDE^得到九1=蟹詈?結(jié)合⑴的結(jié)論可以得到七=冬同理由=

VA-BDE，求得九2=1,即可得到答案.

21.答案：證明：（1）在△BCO中，BO?=22+1-2x1x2cos60。=3.

所以B（72=BD2+DC2,

所以ABC。為直角三角形，BD1CD.

又因?yàn)?C_L平面BCD,BDu平面BCD,所以AC_LBD.

而力CnCD=C,所以BD，平面ACDE.

解：（2）取AC的中點(diǎn)F,8C的中點(diǎn)M,連接。F,DM,MF,

平面OFM即為所求.

理由如下：

因?yàn)镈E〃4C,DE=AF,所以四邊形AED尸為平行四邊形，

所以DF〃AE,從而DF〃平面ABE,

同理可證FM〃平面ABE.

因?yàn)槭琈nDF=F,所以平面DFM〃平面4BE.

由（1）可知，8。1平面4。力￡：,FCCDM.

因?yàn)?-ACDE=Ix生等xV3=V3,

VF-CDM（i^sm60°）x2=存

所以，夾在該截面與平面43E之間的幾何體的體積：

，=^B-ACDE-KF-CDM=8-R=挈

解析：本題考查線面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位

置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

⑴推導(dǎo)出BD1CD,AC1BD.由此能證明BD1平面ACDE.

（2）取AC的中點(diǎn)F,BC的中點(diǎn)M,連接。F,DM,MF,平面。FM即為所求.夾在該截面與平面

ABE之間的幾何體的體積V=VB_ACDE-VF_CDM.

22.答案：證明：（1）過(guò)F作FOLCD交CO于O,連接8。，

???平面COEF_L平面ABCD,平面CDEFCI平面力BCD=CD,

FO_L平面ABCD,：.FOLOB.

???FB=FC,FO=FO,Z.FOC=/.FOB=90,

FOC=AFOB,

OB=OC.

由已知NDCB=45。，得4BOC為等腰直角三角形，

OB1CD,又CD1FO,

：.CD1平面FOB,

■■■CDLFB.

解：(2)vAB11CD,AB//^CDEF,

又???平面4BFEn平面CDEF=EF,

AB//EF.

由(1)可得。8,OC,OF兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

由題設(shè)可得：Z.OBF=45°,AOF=0B=1,

進(jìn)而可得:71(1,-2,0),0),C(0,l,0),

D(0,-l,0),E(0,-l,l),F(0,0,1),

AD=(-1,1.0),DE=(0,0,1),BC=(-1,1,0).CF=(0,-1,1)>

設(shè)平面ADE的法向量為訪=Oi，yi，Zi),

貝嘿嘴二1BpUX=oyi=O>取3…得沅=(1，1，0)

設(shè)平面8C77的法向量為五=(%2，乃，22)，

則也磨=0,即取不=1,得元=(1,1,1),

In-CF=0(一丫2+Z2=°

則cos<m,n>=苛W=看后=[

|m|-|n|V2-V33

???平面ADE與平面BC尸所成銳二面角的余弦值為班.

3

解析：本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

(1)過(guò)尸作F01CD交CD于0,連接B0,推導(dǎo)出F。10B,△FOCAFOB,OB=OC,OB1CD,

CD1FO,從而CO_L平面FOB,由此能證明CD_LFB;

(2)由OB,OC,OF兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,利用向量法能求出

平面AOE與平面BCF所成銳二面角的余弦值.

23.答案：解：(1)證明：因?yàn)槔庵?BC—A'B'C'是直三棱柱，

所以AC14A,

又4c148,A'ACtAB=A,A'A,4Bu平面

所以AC_L平面

又O,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，

所以DE〃/IC,

即OE工平面AABB',

又DEu平面B'DE,

所以平面B'DE1平面AABB'.

(2)解：由(1)可知4c7/4C〃DE,

所以AC'〃面8'0E

即點(diǎn)C'到平面B'DE的距離等于點(diǎn)4到平面B'DE的距離，

方法一：連接4D,過(guò)點(diǎn)4作AH1.B'Z)交B'D于點(diǎn)H,

因?yàn)镈EL^A'ABB',所以DE1A'H,即A'HJ_面8'CE,

即47/的長(zhǎng)就是點(diǎn)C'到平面8'DE的距離，

因?yàn)锽'C=花，由等面積法可知=求得4'H=?，

所以C'到平面B'ZJE的距離等于第.

方法二：設(shè)點(diǎn)4'到面B'DE的距離為6,

由(1)可知，DE_L面4488',

且在RtaB'DE中，B，D=次,DE=1，

所以S^B，DE=爭(zhēng)

由題意知S△力,B,O=2,由等體積公式可知以-B，DE=^E-AIBIDF

即IS^B，DEh=5s△A，B，DOE，

由工X立仁工X2X1得仁延，

3235

所以C'到平面B'DE的距離等于誓.

解析：本題考查面面垂直的判定和點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置

關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

(1)推導(dǎo)出AC1A4',ACA.AB,從而AC_L面44BB',推導(dǎo)出DE//4C,從而DEJL面44BB',由此能

證明平面B'DE1平面A4BB'；

(2)由4c7/4C〃OE，得到A'C'〃面B'DE,從而點(diǎn)C'到平面B'OE的距離等于