高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

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篇一：2021年高考數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)歸納總結(jié)

2021年高考數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)歸納總結(jié)

一.常見的數(shù)集

自然數(shù)集：N；正整數(shù)集：N*或N+；整數(shù)集：Z；有理

數(shù)集：Q;實(shí)數(shù)集：Ro復(fù)數(shù)集：C

二.集合間基本關(guān)系的幾個(gè)結(jié)論

（1）A?A（任何單個(gè)集合是本身子集）.（2）??A（空集是

任何集合的子集）；（3）?A（非

空集合）（空集是任何非空集合的真子集）（4）.若A

含有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，

A的非空子集有2n—1個(gè),A的非空真子集有2n-2個(gè).

3.集合的運(yùn)算及其性質(zhì)

⑴集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算：交集:AnB={x|x回A,且x回B}；

并集：A0B={x|x0A,或

X0B}；補(bǔ)集：？UA={x|x回U,且x?A}.U為全集,?UA

表示A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集.(2)

集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算性質(zhì)：①A囪B=A?B②ACB=

A?A③A0(?UA)=U(4)An(?UA)

=?⑤⑤？U(?UA)=A.⑥？U(A0B)=(?UA)n(?UA)@?U

(AnB)=(?UA)0(?UA)

三：映射與函數(shù)

L映射：設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，假如按某一種對(duì)應(yīng)

法則f,對(duì)于A中的每單個(gè)元素，在B

中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，這么這么樣的單值

對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合B的映射.A中的

元素叫做原象，B中的相應(yīng)元素叫做象。在A到B的映

射中，從A中元素到B中元素的對(duì)應(yīng)，

可以多對(duì)一，不行以一對(duì)多。

2.函數(shù)：設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集，假如根據(jù)某種對(duì)

應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的每單個(gè)

元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng)，這么

這么樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的單個(gè)函

數(shù)，記作y=%x),x回A函數(shù)三要素：定義域A：x取值

范圍組成的集合。值域B：y取值范

圍組成的集合。對(duì)應(yīng)法則f：y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系。有解

析式和圖像和映射三種表示形式

3.函數(shù)與映射的區(qū)分在于：⑴兩個(gè)集合必需是數(shù)集；(2)

不能有剩余的象，即每個(gè)函數(shù)值y

都能找到相應(yīng)的自變量x與其對(duì)應(yīng)。

四.定義域題型：

在f(x)?O；在g(x)中,f(x)?O；在logaf(x)中,f(x)

f(x)?0；在tanf()x中，f(x)?k??

a?0且a?l

五.指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則

1.指數(shù)運(yùn)算法則：?a?2；在fO(x)中，f(x)?0；在ax

與logax中?an?am?n②am?an?am?n

mnmnmmm(3)(a)?a(4)ab?(ab)

Iogabm2.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：(1)同底公式：①a

(3)logaM?logaN?loga?b(2)logaM?logaN?loga(MN)

Mn?nlogaM(2)不同底公式：①M(fèi)N(4)loga

logaN?nllogmNn(換底公式)

@logamb?logab(3)logab?mlogbalogma

Il)?x2?2,求f(x)。xx六.函數(shù)解析式解析式1.換元

法：如求(設(shè)構(gòu)

f(2x+3)=x2+3x+5,f(3-7x),2x+3=3-7t)o2.

造法：如f(x?

3.待定系數(shù)法：(函數(shù)類型確定時(shí))如通過圖像求出

y=Asin(u)x+?)+C中系數(shù)

4.遞推法：需利用奇偶性、對(duì)稱性、周期性的定義式

或運(yùn)算式遞推。

六。常規(guī)函數(shù)的圖像

L指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。對(duì)數(shù)函數(shù)：逆時(shí)針旋底數(shù)越

來越大底數(shù)越來越小

2.幕函數(shù)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，指數(shù)越來越大。其他象限圖象

看函數(shù)奇偶性確定。

七o函數(shù)的單調(diào)性

1.推斷函數(shù)單調(diào)性：(1).求導(dǎo)函數(shù)：f?(x)?O為增函數(shù)，

f?(x)?O為減函數(shù)

(2).利用定義:設(shè)xlxx2,比較f(xl)與f(x2)大小,把

f(xl)?f(x2)因式分解,看正負(fù)。

2.利用函數(shù)單調(diào)性

(1).求值域：利用單調(diào)性畫出圖像趨勢(shì)，定區(qū)間，截?cái)唷?/p>

(2).比較函數(shù)值的大?。寒媹D看

(3).解不等式:利用以下基本結(jié)論列不等式,解不等式。

增函數(shù)xl?x2?f(xl)?f(x2)或f(xl)?f(x2)?xl?x2

減函數(shù)xl?x2?f(xl)?f(x2)或f(xl)?f(x2)?xl?x2

八。函數(shù)的奇偶性

1.定義：假如f(?x)?f(x),則f(x)為偶函數(shù)；假如f(?x)??f(x),

則f(x)為奇函數(shù)。

這兩個(gè)式子有意義的前提條件是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱。

2.推斷函數(shù)的奇偶性：(I).先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱,再比較f(x)與f(-x)正負(fù)

(2).看圖像對(duì)稱性：關(guān)于v軸對(duì)稱為偶，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

為奇

2.奇偶性的利用⑴.利用公式:f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),

計(jì)算或求解析式⑵.利用復(fù)合函數(shù)奇

偶性結(jié)論：F(x)=f(x)g(x),奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得

奇F(x)=Rx)+g(x),當(dāng)f(x)為奇，g(x)

為偶時(shí)，代入-x得：F(-x)=-f(x)+g(x),兩式相加可以消去

f(x),兩式相減可以消去g(x),從而解

決疑問。

九.不等式的解法

1.一次不等式：ax?b；解一次不等式主要考察爭論系

數(shù)大于零小于零等于零的三種狀況。

2.二次不等式：ax?bx?c?O兩根之內(nèi)或兩根之外，主要

考查根與系數(shù)的關(guān)系。

3.高次不等式：序軸標(biāo)根法

十.簡潔的線性規(guī)劃

2

解題步驟：(1)把不等式組中的一次式看成直線，在平

面直角坐標(biāo)系中畫直線，標(biāo)明直線序號(hào)

(2)依據(jù)以下結(jié)論確定平面區(qū)域(3)確定目標(biāo)函數(shù)

函數(shù)值的幾何意義

1若目標(biāo)函數(shù)值z(mì)表示截距，在已知區(qū)域內(nèi)平移目標(biāo)函

數(shù)直線，找出訪截距取最大值和最小值(4)o

2若目標(biāo)函數(shù)z表示距離或者距離的平方，精的端點(diǎn),

求出端點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得出z的最值。。

確作圖，在圖像中直接觀看距離的最大值與最小值相

當(dāng)因此點(diǎn)與點(diǎn)的距離依舊是點(diǎn)與直線的距離，用距

離公式直接求最值。。3若目標(biāo)函數(shù)z表示斜率，精確

畫圖，利用求斜率取值范圍結(jié)論，求最值。

十一。導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)①C??0②(x

(6)(logax)?n)??nxn?l(3)(ex)??ex(4)(ax)??axlna(5)(lnx)??l

x?lllogae?(7)(sinx)??cosx?(cosx)???sinxxxlna

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f/(xO)是曲線y?f(x)上點(diǎn)

(xO,f(xO))y?f(x)在點(diǎn)xO可導(dǎo)，則曲線y?f(x)在點(diǎn)(xO,f(xO))處的

切線方程為y?f(xO)?f/(xO)(x?xO3.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：①和差：

(u?v)??u??v?②積：(uv)??u?v?uv?

uu?v?uv??()?③商：vv2

4.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(一)利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性及求解單調(diào)區(qū)間。

1.導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：(1)若f?(x)O在(a,b)上恒

成立,則f(x)在(a,b)上是增函數(shù)，f?(x)O

的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；(2)若

f?(x)O在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,

b)上是減函數(shù)，f?(x)O的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)

間為減區(qū)間。

2.利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：①確

定f(x)的定義域；②計(jì)算導(dǎo)數(shù)f/(x)；

③求出f/(x)?O的根；④用f/(x)?O的根將f(x)的定義域

分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這

若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f/(x)的符號(hào)，進(jìn)而確定f(x)的單調(diào)區(qū)間：

f?(x)O,則f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是

增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f?(x)O,則f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間

上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間。

(二)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值與最值。

1.極值與最值的定義：⑴極大值：一般地，設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)xO四周有定義，假如對(duì)xO附

近的全部的點(diǎn)，都有f(x)Vf(xO),就說f(xO)是函數(shù)f(x)

的單個(gè)極大值，記作y極大值=f(xO),xO

微小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在xO四周有定義，假如

對(duì)xO四周的全部的點(diǎn),

都有wx)>f(xOf(xO)是函數(shù)f(x)的單個(gè)微小值，記作v微

小值=f(xO),xO(3)函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間?a,b?上連

續(xù)的函數(shù)f(x)在?a,b?上必有最大值與最小

值，分別對(duì)應(yīng)當(dāng)區(qū)間上的函數(shù)值的最大值和最小值。

2.求函數(shù)f(x)的極值的步驟:⑴確定函數(shù)的定義區(qū)間，

求導(dǎo)數(shù)fz(x)求方程f(x)=O的

(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分

成若干小開區(qū)間，并列成表格

f'(x)在方程根左右的值的符號(hào)，假如左正右負(fù)，這么f(x)

在這一個(gè)根處取得極大值；假如左

負(fù)右正，這么f(x)在這一個(gè)根處取得微小值；假如左右

不轉(zhuǎn)變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，則f(x)3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的

最值步驟:回求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；團(tuán)將f(x)的各極值與f(a)、

f(b)比較得出函數(shù)f(x)在?a,b?十二。古典概型與幾何概

型

1.古典概型：(1)假如一次試驗(yàn)的等可能大事有n個(gè),

這么，每個(gè)等可能基本領(lǐng)件發(fā)生的概1率都是；假如某個(gè)大

事A包含了其中m個(gè)等可能基本領(lǐng)件,這么大事A發(fā)生的概

率為n

m.(2)古典概型解題步驟：團(tuán)閱讀題目，搜集信息；回

推斷是否是等可能大事，n

并用字母表示大事；團(tuán)求出基本領(lǐng)件總數(shù)n和大事A所

包含的結(jié)果數(shù)m；回用公式

mP(A)?求出概率并下結(jié)論.n

2.幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取

一點(diǎn)，記大事"該點(diǎn)落在其內(nèi)部單個(gè)P(A)?

區(qū)域d內(nèi)"為大事A,則大事A發(fā)生的概率P(A)?d的

測(cè)度.說明：(1)D的測(cè)度不D的測(cè)度

為0；(2)其中“測(cè)度"的意義依D確定，當(dāng)D分別

是線段，平面圖形，立體圖形時(shí)，相

應(yīng)的"測(cè)度"分別是長度，面積和體積.(3)區(qū)域?yàn)椤?/p>

開區(qū)域”；(4)區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取

點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落

在任何部分的可能性大小只與該部分的

測(cè)度成正比而與其外形位置無關(guān).

十三。解三角形

.正弦定理：在回中，在這一個(gè)式子當(dāng)

1ABCabc???2R0

中，已知兩邊和sinAsinBsinC

一角或已知兩角和一邊，可以求出其它全部的邊和角。

注明：正弦定理的作用是進(jìn)行三角形

中的邊角互化，在變形中，留意三角形中其他條件的

應(yīng)用：(1)三內(nèi)角和為180。⑵兩邊之

labcabsinC==2R2sinAsinBsinC24R

A?BC⑷三角函數(shù)的恒等變形。sin(A+B)=sinC,

cos(A+B)=-cosC,sin=cos,22

CA?Bcos=sin22和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊⑶

面積公式：S=

b2?c2?a2

2.余弦定理：a=b+c-2bccosA；cosA=2bc222

a2?c2?b2

b=a+c-2accosB；cosB=2ac222

a2?b2?c2

c=a+b-2abcosC；cosC3主明：余弦定理的作用是進(jìn)

行三角形2ab222

中的邊角互化，當(dāng)題中含有二次項(xiàng)時(shí)，常使用余弦定

理。在變形中，

a?b?c斜2S?3.其他常見結(jié)論①三角形內(nèi)切圓的半徑：

r?,②特殊地，r直？a?b?c2

十四。空間中的平行關(guān)系

1.線線平行：①假如兩條線都平行于第三條線，這么

這兩條線相互平行.

②假如一條線平行于另單個(gè)平面，這么這條線就平行

于過這條線的平面與已

知平面的交線.③假如兩個(gè)平面平行，這么另單個(gè)平面

與這兩個(gè)平面的交線互

相平行.④假如兩條直線都和另單個(gè)平面垂直，這么這

兩條直線平行.

⑤在同一平面內(nèi)，假如兩條直線垂直于同一條直線，

這么這兩條直線平行.

2.線面平行：①假如平面外一條直線平行于平面內(nèi)的

一條直線，這么直線與平

面平行.②假如兩個(gè)平面平行，單個(gè)平面內(nèi)的任何一條

直線平行于另單個(gè)平面

③假如平面與平面外一條直線同時(shí)垂直于另一條直線,

這么線面平行

④假如平面與平面外一條直線同時(shí)垂直于另單個(gè)平面,

這么線面平行

3.面面平行：①.假如單個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行

于另單個(gè)平面，這么面

面平行②假如兩個(gè)平面都平行于第三個(gè)平面，這么這

兩個(gè)平面平行。

③假如兩個(gè)平面同時(shí)垂直于同一條直線，這么這兩個(gè)

平面平行

十五。空間中的垂直關(guān)系

1線線垂直：假如一條直線垂直于單個(gè)平面，這么這條

直

線垂直于這一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線。

2.線面垂直：①假如一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交

的直

線，這么這條直線就垂直于兩條相交直線所在的平面

②假如兩個(gè)平面垂直，在其中單個(gè)平面內(nèi)，垂直于公

共棱

的直線垂直于另單個(gè)平面

3.面面垂直：過單個(gè)平面垂線的平面垂直于已知平面

十六?？臻g幾何體的表面積與體積計(jì)算

1.多面體的表面積：(1)設(shè)直棱柱高為h,底面多邊形

的周長為c,則S直棱柱側(cè)=由.

(2)正棱錐底面邊長為a,底面周長為c,斜高為則

S正棱錐側(cè)=

底面周長為c,上底面周長為cz,斜高為hz,則S正棱

臺(tái)側(cè)=lch:⑶正棱臺(tái)下21(c+c。(4)設(shè)圓柱2

的母線長為I,底面圓的半徑為r,則S圓柱側(cè)=2口1(5)

設(shè)圓錐的母線長為I,底面圓的半徑

為r,則S圓錐側(cè)=wl(6)設(shè)圓臺(tái)的母線長為I,上底面

圓的半徑為門，下底面圓半徑為己則

S圓臺(tái)側(cè)=n(rl+己)1,(4)設(shè)球的半徑為R,則S球=球的

表面積公式：S

2.幾何體的體積公式⑴柱體的體積V

體的體積V錐體柱體?4?R2.1=3

==Sh(其中S為柱體的底面面積，h為高).(2)錐臺(tái)體

1=SM其中S為錐體的底面面積，h為高）.（3）臺(tái)體的體積

V3（S，+S）h（其中S，，S分別是臺(tái)體上、下底面的面積，h為

高）.⑷球的體積V球V?43?R.（其中R為球的半徑）.3

十七。直觀圖與三視圖

1.空間幾何體的三視圖：空間幾何體的三視圖是用正

投影得到，這類投影下與投影面平行

的平面圖形留下的影子與平面圖形的外形和大小是完

全相同的，三視圖包括：主視圖，左視

圖，俯視圖。主視圖與左視圖：高平齊；主視圖與俯

視圖：長對(duì)正；左視圖與俯視圖：寬

相等

2.空間幾何體的直觀圖：畫空間幾何體的直觀圖常用

斜二側(cè)畫法，基本步驟是：（1）

在已知

篇二：2021年高考數(shù)學(xué)重要學(xué)問點(diǎn)具體總結(jié)-高考

數(shù)學(xué)

2021年高考數(shù)學(xué)重要學(xué)問點(diǎn)具體總結(jié)

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.

2.德摩根公式

CU（A?B）?CUA?CUB;CU（A?B）?CUA?CUB.

3.包含關(guān)系

A?B?A?A?B?B?CUA?B?R6

4.容斥原理

?A?B?CUB?CUA?A?CUB??

card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)

?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).

5.集合｛al,a2,?,an｝的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有

2n-l個(gè)；非空子集有2n-

1個(gè)；非空的真子集有2-2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

n

⑴一般式f(x)?ax?bx?c(a?O);(2)頂點(diǎn)式f(x)?a(x?h)?k(a?O);

⑶零點(diǎn)式耳x)?a(x?xD(x?x2)(a?0).7.解連不等式N?f(x)?M常有

以下轉(zhuǎn)化形式

2

2

N?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?O

f(x)?NM?NM?N

?0|??|f(x)??

M?f(x)22

11

.??

f(x)?NM?N

8.方程f(x)?O在(kl,k2)上有且只有單個(gè)實(shí)根，與

f(kl)f(k2)?0不等價(jià)，前者是后

者的單個(gè)必要而不是充分條件.特殊地，方程

ax?bx?c?O(a?O)有且只有單個(gè)實(shí)根在

2

(kl,k2)內(nèi),等價(jià)于f(kl)f(k2)?0,或f(kl)?O且kl??kl?k2b

???k2.22a

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

bkl?k2

，或f(k2)?0且？

2a2

二次函數(shù)Kx)?ax?bx?c(a?O)在閉區(qū)間？p,q?上的最值只能

在X??

2

b

處及區(qū)2a

間的兩端點(diǎn)處取得，詳細(xì)如下：

⑴當(dāng)aO時(shí)，若x??

bb

則f(x)min?f(???p,q?,)zf(x)max?max?f(p)zf(q)?；

2a2a

b

??p,q?,f(x)max?max?f(p)J(q)?,f(x)min?min?f(p),f(q)?.2a

b

(2)當(dāng)aO時(shí)，若x????p,q?,則f(x)min?min?f(p),f(q)?,

若

2a

b

則

x????p,q?,f(x)max?max?f(p)zf(q)?,

f(x)min?min?f(p)zf(q)?.

2a

x??

10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若f(m)f(n)?O,則方程f(x)?O在區(qū)間(m,n)內(nèi)至少

有單個(gè)實(shí)根.設(shè)f(x)?x2?px?q,則

?p2?4q?0?

(1)方程f(x)?O在區(qū)間(m,??)內(nèi)有根的充要條件為

f(m)?0或?p；

???m?2?f(m)?0?f(n)?0??

(2)方程f(x)?O在區(qū)間(m,n)內(nèi)有根的充要條件為

f(m)f(n)?O或?p2?4q?0或

?

?m??p?n??2

?f(m)?O?f(n)?O

或？；?

af(n)?Oaf(m)?O??

?p2?4q?0?

(3)方程f(x)?O在區(qū)間(??,n)內(nèi)有根的充要條件為

f(m)?O或?p.

???m?2

IL定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

⑴在給定區(qū)間(??,??)的子區(qū)間L(形

如??,?？，???,??,??,???不同)上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)?O(t

為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)min?O(x?L).

⑵在給定區(qū)間(??,??)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式

f(xzt)?O(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(xzt)man?O(x?L).

?a?0

?a?0?42

b?0(3)f(x)?ax?bx?c?0恒成立的充要條件是?或?2.

b?4ac?0?c?0?

?

12.

13.

14.四種命題的相互關(guān)系

15.充要條件

(1)充分條件：若p?q,則p是q充分條件.

(2)必要條件：若q?p,則p是q必要條件.

(3)充要條件:若p?q,且q?p,則p是q充要條件.注：

假如甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.

函數(shù)的單調(diào)性

⑴設(shè)xl?x2??a,b?,xl?x2這么

f(xl)?f(x2)

?O?f(x)在?a,b?上是增函數(shù)；

xl?x2

f(xl)?f(x2)

(xl?x2)?f(xl)?f(x2)??0??0?f(x)在?a,b?上是減函數(shù).

xl?x2

⑵設(shè)函數(shù)y?f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假如f?(x)?O,則f(x)

為增函數(shù);假如f?(x)?O,則f(x)為減函數(shù).

17.假如函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi)，

和函數(shù)f(x)?g(x)也是減

(xl?x2)?f(xl)?f(x2)??0?

函數(shù)；假如函數(shù)y?f(u)和u?g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都

是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

y?f[g(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)

稱;反過來，假如單個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這么這一個(gè)

函數(shù)是奇函數(shù)；假如單個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，這么這

一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)y?f(x)是偶函數(shù),則f(x?a)?f(?x?a)；若函數(shù)

y?f(x?a)是偶函數(shù),則f(x?a)?f(?x?a).

20.對(duì)于函數(shù)y?f(M(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立，則函數(shù)f(x)

的對(duì)稱軸是函數(shù)x?

a?ba?b

;兩個(gè)函數(shù)y?f(x?a)與y?f(b?x)的圖象關(guān)于直線x?對(duì)稱.

22

a

21.若f(x)??f(?x?a),則函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(⑼對(duì)稱;

若

2

f(x)??f(x?a),則函數(shù)y?f(x)為周期為2a的周期函數(shù).

nn?l

22.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)?anx?an?lx???aO的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)?P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系

數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)?P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))

的系數(shù)全為零.23.函數(shù)y?f(x)的圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于直線x?a對(duì)

稱?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x).

a?b

(2)函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于直線x?對(duì)稱開(a?mx)?f(b?mx)

2

?f(a?b?mx)?f(mx).

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

⑴函數(shù)y?f(x)與函數(shù)y?f(?x)的圖象關(guān)于直線x?0(即v軸)

對(duì)稱.⑵函數(shù)y?f(mx?a)與函數(shù)y?f(b?mx)的圖象關(guān)于直線x?(3)

函數(shù)y?f僅)和y?f

?1

a?b

對(duì)稱.2m

(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

25.若將函數(shù)y?f(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到

函數(shù)y?f(x?a)?b的圖象;若將曲線f(x,y)?O的圖象右移a、上

移b個(gè)單位,得到曲線f(x?a,y?b)?O的圖

象.

26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)?b?f?l(b)?a.

27.若函數(shù)y?f(kx?b)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y?

1?1

[f(x)?b],并不是k

y?[f

?i

(kx?b),而函數(shù)y?[f

?1

1

(kx?b)是y?[f(x)?b]的反函數(shù).

k

28.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f⑴?c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)?a,f(x?y)?f(x)f僅),f⑴?a?0.

x

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?l).(4)

幕函數(shù)f(x)?x,f(xy)?f(x)f(y),f(l)??.

(5)余弦函數(shù)f(x)?cosx,正弦函數(shù)g(x)?sinx,

f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y),

x?0

f(O)?lzlim

g(x)

?1.x

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(商定aO)

(l)f(x)?f(x?a),則f(x)的周期T=a；(2)f(x)?f(x?a)?O,

1

(f(x)?O),f(x)l

或

f(x?a)??(f(x)?O)z

f(x)

1

或??f(x?a),(f(x)??O,l?),則f(x)的周期T=2a；2

1

(3)f(x)?l?(f(x)?0),則f(x)的周期T=3a；

f(x?a)

f(xl)?f(x2)

⑷且則

f(xl?x2)?f(a)?l(f(xl)?f(x2)?l,0?|xl?x21?2a),

l?f(xl)f(x2)

f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),貝！If(x)的周期T=5a；

(6)f(x?a)?f(x)?f(x?a),則f(x)的周期T=6a.

或f(x?a)?30.分?jǐn)?shù)指數(shù)累

(l)a(2)a

mn

?

?

mn

?

1

mn

a?Ozmzn?N,且n?l).(a?Ozmzn?N,且n?l).

?

?

a

31.根式的性質(zhì)(1

)?a.

n

(2)當(dāng)n

?a；

當(dāng)n

?|a|??

?aza?O

?a,a?O?

32.有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)(l)a?a?a

rsr

rsrr

s

r?s

(a?O,r,s?Q).

(2)(a)?a(a?O,r,s?Q).(3)(ab)?ab(a?0zb?0zr?Q).

注：若a>0,p是單個(gè)無理數(shù)，則ap表示單個(gè)確定

的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)幕的運(yùn)算

性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)嘉都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

logaN?b?ab?N(a?0,a?l,N?0).

34.對(duì)數(shù)的換底公式

篇三；2021高考數(shù)學(xué)必考學(xué)問點(diǎn)：函數(shù)

2021高考數(shù)學(xué)必考學(xué)問點(diǎn)：函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.反函數(shù).互為

反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函

數(shù).對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對(duì)數(shù)函數(shù).函數(shù)的應(yīng)用.考

試要求：

(1)了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

(2)了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，把握推斷一點(diǎn)

簡潔函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.(3)了解反函數(shù)的概

念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一點(diǎn)簡潔函數(shù)的

反函數(shù).(4)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)累的概念，把握有理指數(shù)累的

運(yùn)算性質(zhì)，把握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

(5)理解對(duì)數(shù)的概念，把握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；把握對(duì)

數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).(6)能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡潔的實(shí)際疑問.

函數(shù)

一、本章學(xué)問網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

F:A?B

二次函數(shù)

學(xué)問要點(diǎn)

二、學(xué)問回顧：(一)映射與函數(shù)1.映射與一一映

射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和

對(duì)應(yīng)法則是起打算作用的要素，由于這二者確定后，值域也

就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同

的函數(shù)才是同一函數(shù).3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)

y?f(xXx?A)的值域是C,依據(jù)這一個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，

用y把x表

示出，得到x=?(y).若對(duì)于y在C中的任何單個(gè)值，通

過x=?(y),x在A中都有唯一

的值和它對(duì)應(yīng)，這么,x=?(y)就表示y是自變量，x是

自變量V的函數(shù)，這么樣的函數(shù)x=?(y)(y?C)叫做函數(shù)

y?耳x"x?A)的反函數(shù)，記作x?f?l(y),習(xí)慣上改寫成

y?f?l(x)

(二)函數(shù)的性質(zhì)回函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩

個(gè)自變量的值xl,x2,團(tuán)若當(dāng)xlx2時(shí),都有f(xl)f(x2),則說f(x)

在這一個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；回若當(dāng)xlx2時(shí)，都有f(xl)f(x2),

則說f(x)在這一個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函

數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做

函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函

數(shù).2.函數(shù)的奇偶性

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必需把握好兩個(gè)疑問：(1)

定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)

的必要不充分條件；(2)f(?x)?f(x)或f(?x)??nx)是定義域上的

恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)的

圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形。反之亦真，因此，也可以利用

函數(shù)圖象的對(duì)稱性去推斷函數(shù)的奇偶性。3.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)

間同增同減；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間增減性相反.4.假如f(x)是

偶函數(shù)，則f(x)?f(|x|),反之亦成立。若奇函數(shù)在x?0時(shí)有意

義,則f(0)?0。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：回偶函數(shù)：f(?x)?f(x)

設(shè)(a,b