2024年山東省煙臺市中考數(shù)學真題試卷及答案解析

2024年煙臺市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題注意事項：1．本試卷共8頁，共120分；考試時間120分鐘．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上．3．選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．4．非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)相應的位置；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．5．寫在試卷上或答題卡指定區(qū)域外的答案無效．6．考試過程中允許考生進行剪、拼、折疊等實驗．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）每小題都給出標號為A，B，C，D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的．1.下列實數(shù)中無理數(shù)是（）A. B.3.14 C. D.2.下列運算結(jié)果為的是（）A. B. C. D.3.下圖是由8個大小相同的小正方體組成的幾何體，若從標號為①②③④的小正方體中取走一個，使新幾何體的左視圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則應取走（）A.① B.② C.③ D.④4.實數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.5.目前全球最薄的手撕鋼產(chǎn)自中國，厚度只有0.015毫米，約是紙厚度的六分之一，已知1毫米百萬納米，0.015毫米等于多少納米？將結(jié)果用科學記數(shù)法表示為（）A.納米 B.納米 C.納米 D.納米6.射擊運動隊進行射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績?nèi)缦聢D，其成績的方差分別記為和，則和的大小關系是（）A. B. C. D.無法確定7.某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個8.如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，連接并延長交于點G，連接，若，則用含α的代數(shù)式表示為（）A. B. C. D.9.《周髀算經(jīng)》是中國現(xiàn)存最早的數(shù)理天文著作．書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織，問織幾何？”意思是：現(xiàn)有一個不擅長織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數(shù)量相同．第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，問一共織了多少布？A.尺 B.尺 C.尺 D.尺10.如圖，水平放置的矩形中，，，菱形的頂點，在同一水平線上，點與的中點重合，，，現(xiàn)將菱形以的速度沿方向勻速運動，當點運動到上時停止，在這個運動過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運動時間之間的函數(shù)關系圖象大致是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）11.若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為________．12.關于的不等式有正數(shù)解，的值可以是______（寫出一個即可）．13.若一元二次方程兩根為m，n，則的值為________．14.如圖，在邊長為6的正六邊形中，以點F為圓心，以的長為半徑作，剪下圖中陰影部分做一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為________．15.如圖，在中，，，．E為邊的中點，F(xiàn)為邊上的一動點，將沿翻折得，連接，，則面積的最小值為________．16.已知二次函數(shù)的與的部分對應值如下表：下列結(jié)論：；關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，的取值范圍為；若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號為______．三、解答題（本大題共8個小題，滿分72分）17.利用課本上的計算器進行計算，按鍵順序如下：，若是其顯示結(jié)果的平方根，先化簡：，再求值．18.“山海同行，艦回煙臺”．2024年4月23日，煙臺艦與家鄉(xiāng)人民共慶人民海軍成立75周年．值此，某學校開展了“奮進萬億新征程，共筑強國強軍夢”的主題研學活動，為了解學生參與情況，隨機抽取部分學生對研學活動時長（用t表示，單位：h）進行調(diào)查．經(jīng)過整理，將數(shù)據(jù)分成四組（A組：；B組：；C組：；D組：），并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．（1）請補全條形統(tǒng)計圖；（2）扇形統(tǒng)計圖中，a的值為_____，D組對應的扇形圓心角的度數(shù)為______；（3）D組中有男、女生各兩人，現(xiàn)從這四人中隨機抽取兩人進行研學宣講，請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率．19.根據(jù)收集的素材，探索完成任務．探究太陽能熱水器的安裝素材一太陽能熱水器是利用綠色能造福人類的一項發(fā)明．某品牌熱水器主要部件太陽能板需要安裝在每天都可以有太陽光照射到的地方，才能保證使用效果，否則不予安裝．素材二某市位于北半球，太陽光線與水平線的夾角為α，冬至日時，；夏至日時，．，，，，，，，，素材三如圖，該市甲樓位于乙樓正南方向，兩樓東西兩側(cè)都無法獲得太陽光照射．現(xiàn)準備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽能板．已知兩樓間距為54米，甲樓共11層，乙樓共15層，一層從地面起，每層樓高皆為3.3米，為某時刻的太陽光線．問題解決任務一確定使用數(shù)據(jù)要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，應選擇________日（填冬至或夏至）時，α為________（填，，，中的一個）進行計算．任務二探究安裝范圍利用任務一中選擇的數(shù)據(jù)進行計算，確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽能熱水器．20.每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？（2）全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？21.如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，將正比例函數(shù)圖象向下平移個單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足．過點B作軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線與關于直線成軸對稱，連接．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）求n的值及的面積．22.在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)得線段，連接．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數(shù)量關系為________；【類比探究】（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數(shù)量關系并證明；【聯(lián)系拓廣】（3）若，，請直接寫出的值．23.如圖，是的直徑，內(nèi)接于，點I為的內(nèi)心，連接并延長交O于點D，E是上任意一點，連接，，，．（1）若，求的度數(shù)；（2）找出圖中所有與相等的線段，并證明；（3）若，，求的周長．24.如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，，，對稱軸為直線，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點，頂點為，對稱軸為直線．（1）分別求拋物線和的表達式；（2）如圖，點的坐標為，動點在直線上，過點作軸與直線交于點，連接，．求的最小值；（3）如圖，點的坐標為，動點在拋物線上，試探究是否存在點，使？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）每小題都給出標號為A，B，C，D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的．1.【答案】C【解析】【分析】本題考查無理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)，叫做無理數(shù)，進行判斷即可．【詳解】解：A.是有理數(shù)，不符合題意；B.3.14是有理數(shù)，不符合題意；C.是無理數(shù)，符合題意；D.是有理數(shù)，不符合題意；故選C．2.【答案】D【解析】【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項，冪的乘方，解題的關鍵是熟練掌握以上運算法則；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的除法，合并同類項，冪的乘方，運算法則計算即可【詳解】A．，故選項不符合題意；B．，故選項不符合題意；C．，故選項不符合題意；D．，故選項符合題意；故選：D．3.【答案】A【解析】【分析】本題考查幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的畫法是解題的關鍵．分別畫出各選項得出的左視圖，再判斷即可．【詳解】解：A.取走①時，左視圖為，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選項A符合題意；B.取走②時，左視圖為，既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故選項B不符合題意；C.取走③時，左視圖為，既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故選項C不符合題意；D.取走④時，左視圖為，既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故選項D不符合題意；故選：A．4.【答案】B【解析】【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對值，不等式性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸分別判斷，，的正負，然后判斷即可，解題的關鍵是結(jié)合數(shù)軸判斷判，，的正負．【詳解】由數(shù)軸可得，，，，、，原選項判斷錯誤，不符合題意，、，原選項判斷正確，符合題意，、根據(jù)數(shù)軸可知：，原選項判斷錯誤，不符合題意，、根據(jù)數(shù)軸可知：，則，原選項判斷錯誤，不符合題意，故選：．5.【答案】B【解析】【分析】本題考查科學記數(shù)法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法：為整數(shù)進行表示即可．【詳解】解：0.015毫米納米；故選B．6.【答案】A【解析】【分析】本題考查比較方差的大小，根據(jù)折線圖，得到乙選手的成績波動較小，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵方差表示數(shù)據(jù)的離散程度，方差越大，數(shù)據(jù)波動越大，方差越小，數(shù)據(jù)波動越小，由折線圖可知乙選手的成績波動較小，∴；故選A．7.【答案】D【解析】【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)和判定，根據(jù)作圖痕跡，逐一進行判斷即可．【詳解】解：第一個圖為尺規(guī)作角平分線的方法，為的平分線；第二個圖，由作圖可知：，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為的平分線；第三個圖，由作圖可知，∴，，∴∴，∴為的平分線；第四個圖，由作圖可知：，，∴為的平分線；故選D．8.【答案】B【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．證明，求得，證明，證得，推出，得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵正方形中，點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∵點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，∴，∵正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．9.【答案】C【解析】【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，由題意可知每天減少的量一樣，由數(shù)的規(guī)律求和即可，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，第一天織布尺，第天織布尺，∴一共織布（尺），故選：．10.【答案】D【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，菱形的性質(zhì)，動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，先求得菱形的面積為，進而分三種情形討論，重合部分為三角形，重合部分為五邊形，重合部分為菱形，分別求得面積與運動時間的函數(shù)關系式，結(jié)合選項，即可求解．【詳解】解：如圖所示，設交于點，∵菱形，，∴又∵，∴是等邊三角形，∵，，∴∴∴當時，重合部分為，如圖所示，依題意，為等邊三角形，運動時間為，則，∴當時，如圖所示，依題意，，則∴∴∵∴當時，當時，同理可得，當時，同理可得，綜上所述，當時，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線，當時，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當時，函數(shù)圖象為一條線段，當時，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當時，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線；故選：D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）11.【答案】##【解析】【分析】本題考查代數(shù)式有意義，根據(jù)分式的分母不為0，二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故答案為：．12.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根據(jù)不等式有正數(shù)解可得關于的一元一次不等式，即可求出的取值范圍，進而可得的值，求出的取值范圍是解題的關鍵．【詳解】解：不等式移項合并同類項得，，系數(shù)化為得，，∵不等式有正數(shù)解，∴，解得，∴的值可以是，故答案為：．13.【答案】6【解析】【分析】本題考查了根與系數(shù)的關系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的兩根時，，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題關鍵．根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算，再利用完全平方公式求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根為，，∴，∴故答案為：6．14.【答案】【解析】【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，求圓錐的底面半徑，先求出正六邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，進而求出扇形的圓心角的度數(shù)，過點作，求出的長，再利用圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，進行求解即可．【詳解】解：∵正六邊形，∴，，∴，，∴，過點作于點，則：，設圓錐的底面圓的半徑為，則：，∴；故答案為：．15.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，由折疊性質(zhì)得到，進而得到點在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作交延長線于M，交圓E于，此時到邊的距離最短，最小值為的長，即此時面積的最小，過C作于N，根據(jù)平行線間的距離處處相等得到，故只需利用銳角三角函數(shù)求得即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴，，則，∵E為邊的中點，∴，∵沿翻折得，∴，∴點在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作交延長線于M，交圓E于，此時到邊的距離最短，最小值為的長，即面積的最小，過C作于N，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴面積的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關性質(zhì)以及直線與圓的位置關系、銳角三角函數(shù)等知識，綜合性強的填空壓軸題，得到點的運動路線是解答的關鍵．16.【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出的值即可判斷；利用根的判別式即可判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷；利用對稱性可判斷；畫出函數(shù)圖形可判斷；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：把，，代入得，，解得，∴，故正確；∵，，，∴，當時，，∴，∵，∴關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，故正確；∵拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線的頂點坐標為，又∵，∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，當時，函數(shù)取最大值，∵與時函數(shù)值相等，等于，∴當時，的取值范圍為，故錯誤；∵，∴點，關于對稱軸對稱，∴，故正確；由得，即，畫函數(shù)和圖象如下：由，解得，，∴，，由圖形可得，當或時，，即，故錯誤；綜上，正確的結(jié)論為，故答案為：．三、解答題（本大題共8個小題，滿分72分）17.【答案】，．【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，先利用分式的性質(zhì)和運算法則對分式化簡，然后根據(jù)題意求出的值，把的值代入到化簡后的結(jié)果中計算即可求解，正確化簡分式和求出的值是解題的關鍵．【詳解】解：，，，，，，，∵，∴的平方根為，∵，∴，又∵為的平方根，∴，∴原式．18.【答案】（1）圖見解析（2）（3）【解析】【分析】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應用，列表法或樹狀圖法求概率：（1）組人數(shù)除以所占的比例，求出總?cè)藬?shù)，進而求出組人數(shù)，補全條形圖即可；（2）用組人數(shù)除以總數(shù)，求出的值，組人數(shù)所占的比例乘以360度求出圓心角的度數(shù)；（3）列出表格，再利用概率公式進行計算即可．【小問1詳解】解：，∴組人數(shù)為：；補全條形圖如圖：【小問2詳解】，∴，D組對應扇形圓心角的度數(shù)為；故答案為：；【小問3詳解】列表如下：男1男2女1女2男1男1，男2男1，女1男1，女2男2男2，男1男2，女1男2，女2女1女1，男1女1，男2女1，女2女2女2，男1女2，男2女2，女1共有12種等可能的結(jié)果，其中一男一女的結(jié)果有8種，∴．19.【答案】任務一：冬至，；任務二：乙樓中7層（含7層）以下不能安裝該品牌太陽能熱水器【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應用，理解題意是解答的關鍵．任務一：根據(jù)題意直接求解即可；任務二：過E作于F，利用正切定義求得【詳解】解：任務一：根據(jù)題意，要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，只需為冬至日時的最小角度，即，故答案為：冬至，；任務二：過E作于F，則，米，，在中，，∴（米），∵（米），∴（米），（層），答：乙樓中7層（含7層）以下不能安裝該品牌太陽能熱水器．20.【答案】（1），每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為元（2）這天售出了64輛輪椅【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，正確的列出函數(shù)關系式，是解題的關鍵：（1）根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數(shù)關系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；（2）令，得到關于的一元二次方程，進行求解即可．【小問1詳解】解：由題意，得：；∵每輛輪椅的利潤不低于180元，∴，∴，∵，∴當時，隨的增大而增大，∴當時，每天的利潤最大，為元；答：每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為元；【小問2詳解】當時，，解得：（不合題意，舍去）；∴（輛）；答：這天售出了64輛輪椅．21.【答案】（1）（2），【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用：（1）先求出的值，進而求出反比例函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)平移規(guī)則，得到平移后的解析式，聯(lián)立兩個解析式，表示出的坐標，過點，作軸的平行線交軸于點,根據(jù)，進而求出的值，進而根據(jù)對稱性得出，勾股定理求得，進而求得的長，即可求解．【小問1詳解】解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，∴，∴，∴；∴；【小問2詳解】∵∴∴∴∵將正比例函數(shù)圖象向下平移個單位，∴平移后的解析式為：，如圖所示，過點，作軸的平行線交軸于點，則，是等腰直角三角形，∴∴∴設，則∴，∴，∵，，在上∴解得：（負值舍去）∴，∴的解析式為，當時，，則，∴，，則∵直線與關于直線成軸對稱，軸，∴，和是等腰直角三角形，∴∴，∵和是等腰直角三角形，∴∴22.【答案】（1）；（2），補圖及證明見解析；（3）或【解析】【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握一線三垂直全等模型是解題的關鍵．（1）過點作延長線于點，利用一線三垂直全等模型證明，再證明即可；（2）同（1）中方法證明，再證明即可；（3）分兩種情況討論：過點作延長線于點，求出，即可．【詳解】解：（1）如圖，過點作延長線于點，由旋轉(zhuǎn)得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）補全圖形如圖：，理由如下：過點作交于點，由旋轉(zhuǎn)得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，當在的延長線上時，過點作于點，連接，由（2）得，，∴，∴，∴．當在的延長線上時，過點作于點，如圖，連接，同理可得：，∴，，∴，∴，∴；綜上：或23.【答案】（1）（2），證明見解析（3）30【解析】【分析】（1）利用圓周角定理得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求，然后利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補求解即可；（2）連接，由三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到內(nèi)心，，，然后利用圓周角定理得到，，利用三角形的外角性質(zhì)證得，然后利用等角對等邊可得結(jié)論；（3）過I分別作，，，垂足分別為Q、F、P，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和和切線長定理得到，，，利用解直角三角形求得，，進而可求解．【小問1詳解】解：∵是的直徑，∴，又，∴，∵四邊形是內(nèi)接四邊形，∴，∴；【小問2詳解】解：，證明：連接，∵點I為的內(nèi)心，∴，，∴，∴，，∵，，∴，∴；【小問3詳解】解：過I分別作，，，垂足分別為Q、F、P，∵點I為的內(nèi)心，即為的內(nèi)切圓的圓心．∴Q、F、P分別為該內(nèi)切圓與三邊的切點，∴，，，∵，，，∴，∵，，，∴，∴的周長為．【點撥】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)心性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、切線長定理以及解直角三角形，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．24.【答案】（1），（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）先求出點A.B.C坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物