高中數(shù) 2.2.2.2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用同步訓(xùn)練 蘇教版必修1

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】-版高中數(shù)學(xué)2.2.2.2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用同步訓(xùn)練蘇教版必修1eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)15分鐘)1．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(1)＝eq\f(1,2)，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，則f(2)＝________.解析令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)，所以f(2)＝2f(1)＝1.答案12．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為________．解析f(0)＝0，f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.答案03．已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，則函數(shù)F(x)＝f[f(x)]是________函數(shù)(填奇偶性)．解析因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，因?yàn)镕(－x)＝f[f(－x)]＝f[－f(x)]＝－f[f(x)]，所以F(x)是奇函數(shù)．答案奇4．已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋x＋1，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝________；當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝________.解析因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.當(dāng)x＞0，－x＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)＋1＝x2－x＋1，又f(－x)＝－f(x)＝x2－x＋1，所以f(x)＝－x2＋x－1.答案0f(x)＝－x2＋x－15．給出下列四個(gè)說法：①反比例函數(shù)y＝eq\f(,x)在區(qū)間(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)；②二次函數(shù)y＝x2＋2x＋1在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)；③偶函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；④y＝x3，x∈[－2,2)是奇函數(shù)．其中錯(cuò)誤的說法有________(填序號(hào))．解析逐一判斷．①單調(diào)減區(qū)間不可以取并集，故錯(cuò)誤；②作出圖象可知正確；③如果偶函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則與x軸上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，故錯(cuò)誤；④因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤．答案①③④6．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝eq\r(3,x)·(1＋x)，(1)求f(27)與f(－27)的值；(2)求f(x)的解析式．解(1)由題意知f(－27)＝－f(27)＝－eq\r(3,27)·(1＋27)＝－84，∴f(27)＝84，f(－27)＝－84.(2)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0.設(shè)x<0，則－x>0，則f(－x)＝eq\r(3,－x)·[1＋(－x)]＝－eq\r(3,x)·(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝eq\r(3,x)(1－x)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)1＋xx>0,0x＝0,\r(3,x)1－xx<0)).eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)30分鐘)7．函數(shù)f(x)＝x3＋x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為________．解析f(x)－1＝x3＋x為奇函數(shù)，又f(a)＝2.∴f(a)－1＝1，故f(－a)－1＝－1，即f(－a)＝0.答案08．函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，則在點(diǎn)(－a，f(a))、(－a，－f(－a))、(－a，－f(a))、(a，－f(－a))中，一定在函數(shù)y＝f(x)圖象上的點(diǎn)是________．解析當(dāng)x＝－a時(shí)，y＝f(－a)＝f(a)，即點(diǎn)(－a，f(a))一定在函數(shù)y＝f(x)圖象上．答案(－a，f(a))9．給出下列結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象若不經(jīng)過原點(diǎn)，則它與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；④定義在R上的增函數(shù)一定是奇函數(shù)．其中正確的是________(填序號(hào))．解析逐一判斷．①錯(cuò)誤，如函數(shù)y＝eq\f(1,x2)是偶函數(shù)，但與y軸不相交；②錯(cuò)誤，如y＝eq\f(1,x)是奇函數(shù)，但不過原點(diǎn)；③因?yàn)榕己瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故正確；④錯(cuò)誤，如y＝x＋1是在R上的增函數(shù)但不是奇函數(shù)．答案③10．如果函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于________對(duì)稱．解析∵函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，∴函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，又將函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，∴函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．答案x＝111．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，判斷f(x)的奇偶性，并說明理由．解f(x)是奇函數(shù)．理由如下：令x＝y(tǒng)＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.令x＝y(tǒng)＝－1，得f(1)＝－2f(－1)，所以f(－1)＝0，所以f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．12．(1)已知f(x)＝eq\f(px2＋2,3x＋q)是奇函數(shù)，且f(2)＝eq\f(5,3).(1)求實(shí)數(shù)p，q的值；(2)判斷函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上的單調(diào)性，并且加以證明．解(1)∵f(x)＝eq\f(px2＋2,3x＋q)是奇函數(shù)，∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴q＝0，∴f(x)＝eq\f(px2＋2,3x)，又∵f(2)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(4p＋2,6)＝eq\f(5,3)，解得p＝2.(2)f(x)＝eq\f(2x2＋2,3x)，任取x1＜x2＜－1，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x\o\al(2,1)＋2,3x1)－eq\f(2x\o\al(2,2)＋2,3x2)＝eq\f(2x2－x11－x1x2,3x1x2)，∵x1＜x2＜－1，∴x2－x1＞0,1－x1x2＜0，x1x2＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上是單調(diào)增函數(shù)．13．(創(chuàng)新拓展)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－x2；(1)求x＜0時(shí)，f(x)的解析式；(2)問是否存在這樣的正數(shù)a，b，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域?yàn)閇eq\f(1,b)，eq\f(1,a)]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解(1)設(shè)x＜0，則－x＞0于是f(－x)＝－2x－x2，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝2x＋x2，即x＜0時(shí)，f(x)＝2x＋x2(x＜0)；(2)分下述三種情況：①0＜a＜b≤1，那么eq\f(1,a)＞1，而當(dāng)x≥0，f(x)的最大值為1，故此時(shí)不可能使g(x)＝f(x)；②若0＜a＜1＜b，此時(shí)若g(x)＝f(x)，則g(x)的最大值為g(1)＝f(1)＝1，得a＝1，這與0＜a＜1＜b矛盾；③若1≤a＜b，因?yàn)閤≥1時(shí)，f(x)是減函數(shù)，則f(x)＝2x－x2，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＝gb＝－b2－2b,\f(1,a)＝ga＝－a