湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第4章計(jì)數(shù)原理4-4二項(xiàng)式定理課件

1.公式(a+b)n=

an+

an-1b+…+

an-rbr+…+

bn稱為二項(xiàng)式定理.

(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二項(xiàng)式系數(shù),在定理中,令a=1,b=x,則得到公式(1+x)n=

+

x+

x2+…+

xr+…+

xn.2.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

an-rbr,它是(a+b)n展開式的第(r+1)項(xiàng).4.4二項(xiàng)式定理1|

二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念1.對(duì)稱性在二項(xiàng)展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,即

=

.2.單調(diào)性和最大值二項(xiàng)式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

最大;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

,

相等,且同時(shí)取得最大值.3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和(1)

+

+…+

=2n;(2)

+

+

+…=

+

+

+…=2n-1.2

|

二項(xiàng)式系數(shù)的有關(guān)性質(zhì)1.二項(xiàng)式(a+b)n和(b+a)n的展開式相同嗎?相同.雖然二者展開式相同,但展開式中項(xiàng)的排列順序是不同的,(a+b)n展開式中的

第(r+1)項(xiàng)是

an-r·br,(b+a)n展開式中的第(r+1)項(xiàng)是

bn-rar.2.(a-b)n與(a+b)n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)都相同嗎?二項(xiàng)式系數(shù)相同,項(xiàng)的系數(shù)不相同.二項(xiàng)式系數(shù)只與項(xiàng)數(shù)有關(guān),與a,b的值無(wú)關(guān),而項(xiàng)

的系數(shù)指項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,不僅與項(xiàng)數(shù)有關(guān),還與a,b的值有關(guān).3.令f(r)=

(0≤r≤n,且r∈N),則f(r)的圖象關(guān)于直線r=

對(duì)稱嗎?對(duì)稱.知識(shí)辨析1.對(duì)于常數(shù)項(xiàng),隱含的條件是字母的指數(shù)為0.2.對(duì)于有理項(xiàng),一般先寫出展開式的通項(xiàng),然后令其所有的字母的指數(shù)都等于整

數(shù).求解時(shí)必須合并通項(xiàng)中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其為整數(shù),再根據(jù)數(shù)

的整除性來(lái)求解.3.對(duì)于整式項(xiàng),其通項(xiàng)中同一字母的指數(shù)合并后應(yīng)是非負(fù)整數(shù),求解方式與求有理

項(xiàng)一致.1求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)(項(xiàng)的系數(shù))

典例

(1)

x-

n(n∈N+)的展開式中,第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng),則常數(shù)項(xiàng)為

(

)A.-270

B.-240

C.240

D.270(2)

的展開式中的有理項(xiàng)共有

(

)A.4項(xiàng)B.5項(xiàng)

C.6項(xiàng)D.7項(xiàng)(3)(x-

)n(n∈N+)的展開式中,第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的系數(shù)之比為1∶2,則含x2的項(xiàng)為

12x2

.CC解析

(1)∵

x-

n的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

·xn-r·

-

r=(-2)r

·

,令r=4,則n-

×4=0,解得n=6.∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T5=(-2)4

=240.故選C.(2)

的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

·2r·

(r=0,1,2,…,10),令20-

為整數(shù),可得r=0,2,4,6,8,10,則有理項(xiàng)共有6項(xiàng),故選C.(3)(x-

)n(n∈N+)的展開式中第二項(xiàng)與第四項(xiàng)分別為T2=

xn-1·(-

)=-

nxn-1,T4=

xn-3·(-

)3=-2

xn-3.依題意得

=

,即n2-3n-4=0且n≥3,解得n=4.故(x-

)n=(x-

)4,其展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

x4-r(-

)r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x-

)4的展開式中含x2的項(xiàng)為T3=

x2(-

)2=12x2.求三項(xiàng)式中特定項(xiàng)的方法(1)因式分解法:先通過(guò)因式分解將三項(xiàng)式變成兩個(gè)二項(xiàng)式,然后用二項(xiàng)式定理分

別展開.(2)逐層展開法:先將三項(xiàng)式分成兩組,用二項(xiàng)式定理展開,再把其中含兩項(xiàng)的展開.(3)利用組合知識(shí):把三項(xiàng)式(a+b+c)n看成n個(gè)(a+b+c)的積,利用組合知識(shí)分析項(xiàng)的

構(gòu)成,注意最后把各個(gè)同類項(xiàng)合并.2三項(xiàng)展開式問(wèn)題

典例

的展開式中x2的系數(shù)為

800

.解析

解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5.(1+x)5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

xr,(2+x)5的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=

·25-kxk,所以

的展開式的通項(xiàng)為Tr+1,k+1=

25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N.令r+k=2,可得

或

或

因此,

的展開式中x2的系數(shù)為

·

·23+

·

·24+

·

·25=800.解法二:

=

,且它的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=

(x2+3x)5-k2k(k=0,1,2,…,5),

的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

(x2)5-k-r(3x)r=

·3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N),所以Tk+1=

2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,0≤r≤5-k,r∈N),令10-2k-r=2,得k=3,r=2或k=4,r=0.當(dāng)k=3,r=2時(shí),x2的系數(shù)為

·

·23·32=720;當(dāng)k=4,r=0時(shí),x2的系數(shù)為

·

·24·30=80.綜上,

的展開式中x2的系數(shù)為720+80=800.賦值法是解決展開式中系數(shù)或展開式中系數(shù)的和、差問(wèn)題的常用方法.要根

據(jù)所求,靈活地對(duì)字母賦值,通常賦的值為0,-1或1.(1)對(duì)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,常令x=1;對(duì)形如(ax+by)n

(a,b∈R,n∈N+)的式子,常令x=y=1.(2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則(ax+b)n的展開式中各項(xiàng)系

數(shù)之和為f(1);奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=

;偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=

.3賦值法求展開式中的系數(shù)和

典例

(1)已知(2x-1)n的展開式中,奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小38,則

+

+

+…+

的值為

(

B

)A.28B.28-1C.27

D.27-1(2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,則a2+a4+…+a12=

364

.解析

(1)設(shè)(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A,偶次項(xiàng)的系數(shù)和

為B,則A=a1+a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+…,由已知可得B-A=38.令x=-1,則a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.故

+

+

+…+

=2n-

=28-1.(2)令x=1,則a0+a1+a2+…+a12=36,①令x=-1,則a0-a1+a2-…+a12=1,②

,得a0+a2+a4+…+a12=

.令x=0,則a0=1.故a2+a4+…+a12=

-1=364.1.求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí),可直接根據(jù)性質(zhì)求解.2.求二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最值問(wèn)題有兩種思路:(1)看成關(guān)于n的函數(shù),結(jié)合函數(shù)的

單調(diào)性判斷系數(shù)的增減性,從而求出系數(shù)的最值;(2)在系數(shù)均為正值的前提下,求

它們的最大值只需比較相鄰兩個(gè)系數(shù)的大小,根據(jù)其展開式的通項(xiàng)列出不等式

(組)即可.3.根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)時(shí),關(guān)鍵是正確列出與參數(shù)有關(guān)的式子,然后解此

關(guān)系式即可.必要時(shí),需檢驗(yàn)所求參數(shù)是否符合題目要求.4二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

典例在

的展開式中,前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列.(1)求項(xiàng)數(shù)n;(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(3)求展開式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和.解析

(1)

的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

=

-

r

,因?yàn)榍叭?xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列,所以2

·

=

+

,化簡(jiǎn)得n2-9n+8=0,解得n=8或n=1,因?yàn)閚≥2,所以n=8.(2)由(1)知n=8,二項(xiàng)式的展開式共9項(xiàng),故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng),即T5=

·

=70×

=

.(3)展開式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和為

+

+…+

=

=

.解決與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題的一般思路

5楊輝三角問(wèn)題

典例

如圖,在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中,若第n(n∈N)行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3,則n的值為(

)第0行

1第1行

1