2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換模塊素養(yǎng)檢測含解析新人教B版必修第三冊

PAGE模塊素養(yǎng)檢測(二)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)1.在四邊形ABCD中,++= ()A. B. C. D.【解析】選D.在四邊形ABCD中,++=++=+=.2.(2024·全國卷Ⅰ)已知非零向量a,b滿意|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)夾角為θ,因?yàn)?a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以a與b的夾角為QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若QUOTE=1,QUOTE=QUOTE,且a⊥QUOTE,則向量a,b的夾角為 ()

A.45°B.60°C.120°D.135°【解析】選A.由QUOTE=1,QUOTE=QUOTE,且a⊥QUOTE,得a·QUOTE=0?a2=a·b=1,則cos<a,b>=QUOTE=QUOTE,

又0°≤<a,b>≤180°,得<a,b>=45°,所以向量a,b的夾角為45°.3.已知α∈(0,π),2sinα-cosα=1,則sinQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題得2sinα-1=cosα,所以4sin2α-4sinα+1=cos2α,所以4sin2α-4sinα+1=1-sin2α,所以5sin2α-4sinα=0,所以sinα=0(舍)或sinα=QUOTE,所以cosα=QUOTE,所以1-2sin2QUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知sinQUOTE=QUOTE,則cosQUOTE= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解題指南】視察已知角與待求的角之間的特別關(guān)系,運(yùn)用余弦的二倍角公式和誘導(dǎo)公式求解.【解析】選A.令QUOTE-α=θ,則QUOTE-2α=2θ,QUOTE+2α=π-2θ,所以cos2θ=1-2sin2θ=1-2×QUOTE=QUOTE,所以cosQUOTE=cosQUOTE=-cos2θ=-QUOTE.4.已知a=cos1°-sin1°,b=2QUOTEcos222.5°-QUOTE,c=QUOTE,則a,b,c的大小依次為 ()A.b>a>c B.c>b>aC.c>a>b D.b>c>a【解題指南】由三角函數(shù)的協(xié)助角公式、余弦函數(shù)的二倍角公式,正切函數(shù)的和角公式求得.【解析】選B.a=cos1°-sin1°=QUOTEsin44°<1,b=2QUOTEcos222.5°-QUOTE=QUOTE(2cos222.5°-1)=QUOTEcos45°=1,c=QUOTE=tan46°>1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=QUOTEsinQUOTE-QUOTEcosQUOTE的最小正周期為 ()A.QUOTEB.πC.2πD.4π【解析】選D.函數(shù)f(x)=QUOTEsinQUOTE-QUOTEcosQUOTE=QUOTEsinQUOTE,所以函數(shù)的最小正周期為T=QUOTE=4π.5.已知向量a,b滿意2a+b=(1,2m),b=(1,m),且a在b方向上投影的數(shù)量是QUOTE,則實(shí)數(shù)m= ()A.QUOTE B.±QUOTE C.2 D.±2【解析】選D.向量a,b滿意2a+b=QUOTE,b=QUOTE,所以a=QUOTE,a·b=QUOTE,QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以5m4-16m2即QUOTE=0,解得m=±2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知平面內(nèi)不在同一條直線上的四點(diǎn)O,A,B,C滿意=μ,若=QUOTE+λ(λ∈R),則μ= ()A.1B.2C.-1D.-2【解題指南】依據(jù)向量的加法原理對已知表示式轉(zhuǎn)化為所需向量的運(yùn)算比照向量的系數(shù)求解.【解析】選D.依據(jù)向量的加法法則得=QUOTE+λ=QUOTE+λ=QUOTE+QUOTE+λ,所以QUOTE+λ=1,QUOTE+λ=0,解得λ=QUOTE.且=-2.6.已知α∈QUOTE,sinα=QUOTE,則tan2α= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解題指南】依據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可求得tanα;由二倍角的正切公式可求得結(jié)果.【解析】選C.因?yàn)棣痢蔘UOTE,sinα=QUOTE,所以tanα=QUOTE.所以tan2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+bsinx+c,則f(x)的最小正周期 ()A.與b有關(guān),且與c有關(guān)B.與b有關(guān),但與c無關(guān)C.與b無關(guān),且與c無關(guān)D.與b無關(guān),但與c有關(guān)【解析】選B.f(x)=sin2x+bsinx+c=QUOTE+bsinx+c=-QUOTE+bsinx+c+QUOTE,其中當(dāng)b=0時,f(x)=-QUOTE+c+QUOTE,此時周期為π;當(dāng)b≠0時,周期為2π,而c不影響周期.7.(2024·南充高一檢測)體育品牌Kappa的LOGO為,可抽象為:如圖背靠背而“坐”的兩條美麗的曲線,下列函數(shù)中大致可“完備”局部表達(dá)這對曲線的是 ()A.f(x)=QUOTE B.f(x)=QUOTEC.f(x)=QUOTE D.f(x)=QUOTE【解析】選D.因?yàn)锽、C兩個函數(shù)均是奇函數(shù),故不符合題意;對A:當(dāng)x趨近于0,且足夠小時,f(x)<0,不符合題意;對D:因?yàn)閒(x)=f(-x),滿意x趨近于0,且足夠小時,函數(shù)值f(x)>0.8.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點(diǎn),則|+3|的最小值為 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選C.如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(2,0),設(shè)P(0,y),C(0,b),則B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|+3|=QUOTE(0≤y≤b),所以當(dāng)y=QUOTEb時,|+3|取得最小值5.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知f(x)=asinx+bcosx,g(x)=2sinQUOTE+1,若函數(shù)f(x)和g(x)有完全相同的對稱軸,則不等式g(x)>2的解集是 ()A.QUOTE(k∈Z)B.QUOTE(k∈Z)C.QUOTE(k∈Z)D.QUOTE(k∈Z)【解析】選B.fQUOTE=asinx+bcosx=QUOTEsin(x+φ),所以ω=1,因此2sinQUOTE+1>2?sinQUOTE>QUOTE?QUOTE+2kπ<x+QUOTE<QUOTE+2kπ(k∈Z)?-QUOTE+2kπ<x<QUOTE+2kπ(k∈Z).二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.cosα-QUOTEsinα化簡的結(jié)果可以是 ()A.QUOTEcosQUOTE B.2cosQUOTEC.QUOTEsinQUOTE D.2sinQUOTE【解析】選B、D.cosα-QUOTEsinα=2QUOTE=2QUOTE=2cosQUOTE=2sinQUOTE.10.設(shè)點(diǎn)O是正方形ABCD的中心,則下列結(jié)論正確的是 ()A.= B.∥C.與共線 D.=【解析】選ABC.如圖,因?yàn)榕c方向相同,長度相等,所以A正確;因?yàn)锽,O,D三點(diǎn)在一條直線上,所以∥,B正確;因?yàn)锳B∥CD,所以與共線,C正確;因?yàn)榕c方向不同,所以≠,D錯誤.11.已知a∥b,QUOTE=2QUOTE=6,則QUOTE的值可能為 ()A.3 B.6 C.8 D.9【解析】選AD.因?yàn)閍∥b,QUOTE=2QUOTE=6,則QUOTE=6,QUOTE=3.當(dāng)a,b方向相同時,QUOTE=QUOTE+QUOTE=9;當(dāng)a,b方向相反時,QUOTE=QUOTE=3.【易錯警示】本題易忽視兩個向量方向相反的情形而漏解.當(dāng)兩個非零向量共線時,假如沒有明確向量的方向相同或相反,要對兩種情形分類探討求值.QUOTE,則 ()A.g(x)=-1 B.g(x)的最大值為1C.g(x)的最小值為-1 D.g(x)的最小值為-QUOTE【解析】選BC.令f(x)=QUOTEcos2x+sinx+QUOTE=cos2x+sinx-QUOTE,化簡得f(x)=1-sin2x+sinx-QUOTE=-QUOTE+1,由于sinx∈[-1,1],所以f(x)∈QUOTE.所以-1≤g(x)≤1,得g(x)的最大值為1,g(x)的最小值為-1.三、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2024·北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=.

【解析】因?yàn)閍⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,所以m=8.答案:814.已知a=(2,-2),b=(x,2),若a·b=6,則x=.

【解題指南】依據(jù)a·b=6,利用平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出答案.【解析】因?yàn)閍=(2,-2),b=(x,2),所以a·b=2x-4,又因?yàn)閍·b=6,所以2x-4=6,解得x=5.答案:515.已知點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若滿意6--2=0,且S△ABC=λS△ABM,則實(shí)數(shù)λ的值是.

【解析】記2=,因?yàn)?--2=0,所以-+2-2=0,所以=2,如圖,得S△ABN=QUOTES△ABC,又因?yàn)镾△ABM=QUOTES△ABN,所以S△ABC=3S△ABM,從而有λ=3.答案:316.若2sinα-3cosβ=-QUOTE,2cosα-3sinβ=-QUOTE,則sinQUOTE=.

【解題指南】將等式2sinα-3cosβ=-QUOTE和等式2cosα-3sinβ=-QUOTE都平方,再將所得兩個等式相加,并利用兩角和的正弦公式可求出sinQUOTE的值.【解析】2sinα-3cosβ=-QUOTE,2cosα-3sinβ=-QUOTE,將上述兩等式平方得4sin2α+9cos2β-12sinαcosβ=QUOTE,①4cos2α+9sin2β-12cosαsinβ=QUOTE,②,①+②可得4+9-12sinQUOTE=QUOTE,解得sinQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,E,F分別為AB,BC上的點(diǎn),且AE=2EB,CF=2FB.(1)若=x+y,求x,y的值.(2)求·的值.(3)求cos∠BEF.【解析】(1)因?yàn)?-=QUOTE-所以x=QUOTE,y=-1.(2)·=·=QUOTE-·=QUOTE×42-4×2×QUOTE=QUOTE.(3)設(shè),的夾角為θ,因?yàn)閨|2=|QUOTE(+)|2=QUOTE,所以||=QUOTE,又因?yàn)閨|=QUOTE,·=+·=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以cos∠BEF=cosθ==QUOTE=QUOTE.18.(12分)設(shè)向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值.(2)若tanαtanβ=16,求證:a∥b.(3)求|b+c|的最大值.【解析】(1)由a與b-2c垂直,得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,故tan(α+β)=2.(2)由tanαtanβ=16,得sinαsinβ=16cosαcosβ,即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0,故a∥b.(3)b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβ·sinβ+16sin2β=17-15sin2β,因?yàn)閟in2β∈[-1,1],所以|b+c|2的最大值為32,所以|b+c|的最大值為4QUOTE.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=(QUOTEsinωx+cosωx)cosωx+QUOTE(ω>0)的最小正周期為π.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)畫函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的圖像.【解析】(1)由函數(shù)f(x)=(QUOTEsinωx+cosωx)cosωx+QUOTE(ω>0),得f(x)=sin(2ωx+QUOTE)+1,由周期為π得ω=1,故f(x)=sinQUOTE+1,由-QUOTE+2kπ≤2x+QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z得-QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE,k∈Z.(2)由“五點(diǎn)畫圖法”列表如下:得函數(shù)圖像如圖:20.(12分)已知△ABC為等邊三角形,AB=2.點(diǎn)N,M滿意=λ,=QUOTE,λ∈R.設(shè)=a,=b.(1)試用向量a和b表示,.(2)若·=-QUOTE,求λ的值.【解題指南】(1)依據(jù)向量線性運(yùn)算法則可干脆求得結(jié)果.(2)依據(jù)(1)的結(jié)論將已知等式化為QUOTEa·b-QUOTEa2-λb2=-QUOTE;依據(jù)等邊三角形邊長和夾角可將等式變?yōu)殛P(guān)于λ的方程,解方程求得結(jié)果.【解析】(1)=-=QUOTE-=QUOTEa-b,=-=λ-=λb-a.(2)·=QUOTE·QUOTE=QUOTEa·b-QUOTEa2-λb2=-QUOTE,因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形且AB=2,所以QUOTE=QUOTE=2,<a,b>=60°,所以QUOTEa·b-QUOTEa2-λb2=QUOTE×4cos60°-4QUOTE-4λ=-QUOTE,即4λ2-4λ+1=QUOTE=0,解得λ=QUOTE.21.(12分)已知A,B,C分別為△ABC的三邊a,b,c所對的角,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),且m·n=sin2C.(1)求角C的大小.(2)若sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列,且·(-)=18,求邊c的長.【解析】(1)由已知得m·n=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B),因?yàn)锳+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以m·n=sinC,又m·n=sin2C,所以sin2C=sinC,因?yàn)閟inC≠0,所以cosC=QUOTE.又0<C<π,所以C=QUOTE.(2)由已知及正弦定理得2c=a+b.因?yàn)椤?-)=·=18,所以abcosC=18,所以ab=36.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6.22.(12分)已知向量a=(QUOTEsinωx,cosωx),b=(cosωx,-cosωx),(ω>0),函數(shù)f(x)=a·b+QUOTE的圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為QUOTE.(1)求ω的值.(2)若x∈QUOTE,f(x)=-QUOTE,求cos4x的值.(3)若cosx≥QUOTE,x∈(0,π),且f(x)=m有且僅有一個實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的值.【解析】由題意,得f(x)=QUOTEsinωx·cosωx-c