1.2.3等差數列的前n項和（2知識點6題型強化訓練）

1.2.3等差數列的前n項和課程標準學習目標（1）探索并掌握等差數列的前n項和公式；（2）理解等差數列的通項公式與前n項和公式的關系。（1）掌握等差數列的前n項和的公式，并會求等差數列前n項和;（2）掌握等差數列前n項和的性質及其運用.（難點)知識點01等差數列前n項和等差數列an的首項為a1，公差為d，則其前Sn=a1解析(1)證明SnSn兩式相加可得2S有等差數列的性質：若m+n=s+t，則am可得2S故Sn又an=a以上方法是倒序相加法.(2)等邊數列的前n項和Sn=na當d≠0時，Sn可看成關于n的二次函數【即學即練1】等差數列an中，an=2n-1，則其前n解析Sn=a1+知識點02等差數列前n項和性質若數列{an}是首項為a1，公差為d的等差數列，前1證明S=a即S2n同理S3nS4n-S例Sn是一等差數列的前n項和，S3(2)證明S2n-1例Sn是一等差數列的前n項和，S7=7【即學即練2】已知等差數列an的前n項和為Sn，若S3=30，S6A．54 B．63 C．72 D．135【答案】B【分析】首先根據題意得到S3，S6-S【詳解】因為an是等差數列，所以S3，S6即30,51-30,S所以2×51-30=30+S故選：B【題型一：求等差數列的前n項和】例1．已知等差數列an的公差為d，前n項和為Sn,a1=5.若S1A．12 B．21 C．32 D．56【答案】C【分析】設公差d，利用等差中項概念得方程，解方程求出d，繼而利用等差數列求和公式計算即得.【詳解】因為數列an的公差為d(1<d<10),則S1=a1因S1+4,即214+d=3+19+3d再兩邊取平方整理得，d2解得d=2或d=50（因1<d<10，故舍去）.故當d=2時，S4故選：C.變式11．等差數列an的前n項和記為Sn，若a1=2，a3A．51 B．102 C．119 D．238【答案】B【分析】結合等差數列的性質先求出公差d，然后結合等差數列的求和公式即可求解．【詳解】等差數列an中，a1=2，a所以d=a則S17故選：B.變式12．設等差數列an滿足a2=5,a6A．80 B．100 C．120 D．160【答案】D【分析】由等差數列的下標性質可得a7=15【詳解】因為數列an為等差數列，且a6+則2S故選：D變式13．設等差數列an的前n項和為Sn，已知a2+2aA．272 B．270 C．157 D．153【答案】D【分析】根據下標和性質及等差數列求和公式計算可得.【詳解】因為a2+2a故S9故選：D【方法技巧與總結】1等差數列an的首項為a1，公差為d，則其前n項和為Sn=a1+a2在求等差數列其前n項和Sn時，若能根據條件得到a1和d【題型二：等差數列的前n項和的基本量計算】例2．記Sn為等差數列an的前n項和，已知a1=3(1)求公差d及an(2)求Sn【答案】(1)2，a(2)S【分析】（1）設等差數列{an}的公差為d，根據題意求得d=2（2）根據等差數列的求和公式得解.【詳解】（1）設等差數列{an}由S3=15，可得S3又由a1=3，可得所以數列{an}（2）由（1）可知，S變式21．已知Sn是等差數列an的前n項和，且S7=70，a2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】應用等差數列通項公式及前n項和公式基本量運算即可.【詳解】因為S7=7所以a1所以d=3.故選：C.變式22．記Sn為等差數列an的前n項和，已知S5=S10，A．72 B．73 C．-1【答案】B【分析】由S5=S10結合等差中項的性質可得a【詳解】由S10-S則等差數列an的公差d=a8故選：B.變式23．已知等差數列an的前n項和為Sn，且S7(1)求an(2)求Snn的前n【答案】(1)a(2)(n-9)n【分析】（1）根據等差數列前n項和公式，結合等差數列的下標性質、通項公式進行求解即可；（2）根據等差數列的定義，結合等差數列前n項和公式進行求解即可.【詳解】（1）設{an}的公差是d，則Sn=(∴S7=(a∴a4=1，∴d=a∴a1∴an（2）由（1）可得Sn∴Sn∵Sn+1所以Snn是等差數列，首項是S1所以Tn【方法技巧與總結】在等差數列基本量的計算中，往往采取列方程組的方法求解，而能注意到各項下標存在一定關系，利用等差數列的性質進行求解，會起到簡便的效果！【題型三：等差數列前n項和的二次函數特征】例3．已知等差數列an的前n項和為Sn，a1>0，且S3=SA．9 B．10 C．9或10 D．10或11【答案】C【分析】先根據S3=S16利用等差數列前n項和公式，得出a1和【詳解】設等差數列an的公差為d由等差數列前n項和公式，得：S3=3a又∵S∴3a即d=-1又∵a∴d<0，由此可知，數列an點n,S又∵S點3,S3與點16,S16當n=9或n=10時，Sn最大.故選：C變式31．等差數列an中，Sn是其前n項和，S55-S3A．12 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】代入等差數列的前n項和公式，即可求解.【詳解】設等差數列的首項為a1，公差為dSn=na則S5故選：C變式32．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a8=1，S16A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由已知條件及等差數列通項公式、前n項和公式求基本量，再根據等差數列前n項和的函數性質判斷Sn取最大時n的值【詳解】令公差為d，則{a8=所以Sn當n=8時，Sn取最大值故選：B變式33．已知等差數列an的前n項和為Sn，若公差d=-2，且S5=SA．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】利用等差數列前n項和二次函數性質及S5=S2018求得a1=2022【詳解】由Sn=na又S5所以a1+12=5+2018所以S2022故選：B【方法技巧與總結】1等差數列的前n項和Sn=na1+nn-12d，可寫成2利用二次函數的對稱性可求某項的值，或利用配方求前n項和Sn3若某數列的前n項和Sn=【題型四：等差數列的前n項和的性質與應用】例4．已知等差數列an的前n項和為Sn，S4=1，S8A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據等差數列中Sn,【詳解】在等差數列anS4=1，S8故S4,S所以S20即a17故選：C變式41．等差數列an,bn的前n項和分別為SnA．2736 B．1116 C．55【答案】C【分析】根據給定條件結合等差數列項的性質、等差數列前n項和公式計算作答.【詳解】根據題意，a8故選：C.變式42．已知等差數列an的項數為奇數，且奇數項的和為40，偶數項的和為32，則a5=A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【分析】設等差數列{an}有2k+1，(k∈N*)項．公差為d．由于奇數項和為40，偶數項和為【詳解】解：設等差數列{an}有奇數項2k+1，(k∈∵奇數項和為40，偶數項和為32，∴40=a32=a∴72=(2k+1)(a1∴9=2k+1，即等差數列{an}共∴故選：A．【點睛】本題考查了等差數列的通項公式性質及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．變式43．已知等差數列an的前n項和為Sn，若S4=2，S8A．30 B．58 C．60 D．90【答案】D【分析】借助等差數列片斷和的性質計算即可得.【詳解】由數列an故S4、S8-S4、S由S4=2，S8故S12-S8=18即有S12=18+S8=30故選：D.變式44．在等差數列an中，其前n項和為Sn，若S21:SA．16:1 B．6:1 C．12:1 D．10:3【答案】D【分析】根據等差數列前n項和的性質求解即可【詳解】由等差數列前n項和的性質可得，S7,S14-S7,S21-S14,S28-S21成等差數列，設故選：D【方法技巧與總結】若數列{an}是首項為a1，公差為d的等差數列，前1(2)【題型五：等差數列前n項和在實際問題中的應用】例5．我國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何？”其大意是：現有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.關于該問題，下列結論錯誤的是（

）A．d=10 B．此人第三天行走了一百三十里C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里【答案】B【分析】設此人第nn∈N*天走an里，則數列an是公差為d的等差數列，記數列an的前n項和為Sn，由題意可得出關于a1、d方程組，解出d【詳解】設此人第nn∈N*天走an里，則數列an是公差為d的等差數列，記數列a由題意可得a1=100S9=9a3=aS7=7aS8=8a1故選：B.變式51．《九章算術》是中國古代張蒼?耿壽昌所撰寫的一部數學專著，全書總結了戰(zhàn)國?秦?漢時期的數學成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“今有5人分5錢，各人所得錢數依次為等差數列，其中前2人所得之和與后3人所得之和相等，問各得多少錢？”則第1人比第3人多得錢數為（）A．16錢 B．13錢 C．12錢 D【答案】B【分析】設從前到后的5個人所得錢數構成首項為a1，公差為d的等差數列an，根據題意可得出關于a1、【詳解】設從前到后的5個人所得錢數構成首項為a1，公差為d的等差數列a則有a1+a故2a1+d=3a1故選：B.變式52．《孫子算經》是我國南北朝時著名的數學著作，其中有物不知數問題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二.問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下2個；五個五個地數，會剩下3個；七個七個地數，也會剩下2個，這些物品的數量是多少個？若一個正整數除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數由小到大排列，則前10個數的和為（

）A．754 B．755 C．756 D．757【答案】B【分析】由題意可得除以三余二且除以五余三的正整數是以8為首項，15為公差的等差數列，再根據等差數列的前n項和公式即可得解.【詳解】設除以三余二的正整數為數列an，則a除以五余三的正整數為數列bn，則b除以三余二且除以五余三的正整數為數列cn而3和5的最小公倍數為15，則數列cn是由數列an和數列cn是以8為首項，15則cn所以前10個數的和為10×8+143故選：B.變式53．小方是一名文學愛好者，他想利用業(yè)余時間閱讀《紅樓夢》和《三國演義》，假設他讀完這兩本書共需40個小時，第1天他讀了10分鐘，從第2天起，他閱讀的時間比前一天增加10分鐘，恰好閱讀完這兩本書的時間為（

）A．第20天 B．第21天 C．第22天 D．第23天【答案】C【分析】利用等差數列定義及前n項和公式得前n天閱讀總時間為5n(n+1)，再列不等式求恰好閱讀完這兩本書的時間.【詳解】由題設，每天閱讀時間是首項、公差都為10的等差數列，所以前n天閱讀總時間為n(10+10n)2令5n(n+1)≥40×60=2400?n(n+1)≥480，則n2+n-480≥0，又f(n)=n2+n-480開口向上且對稱軸為n=12f(20)=-60<0，f(21)=-18<0，f(22)=26>0，所以恰好閱讀完這兩本書的時間為第22天.故選：C【方法技巧與總結】在實際問題中，根據題意提取出有關“等差數列”的信息是關鍵，再把其自然語言化為等差數列的符號語言，明確首項a1和公差d，問題轉化為等差數列基本量的計算【題型六：等差數列的綜合運用】例6．已知數列an滿足a(1)求an(2)若數列bn滿足，b1=1,【答案】(1)a(2)證明見解析【分析】（1）構造新數列1an，是等差數列，通過1an（2）由b2n-b2n-1=b【詳解】（1）由an-an+1-anan+1又a1≠0，所以由an-an+1-故1an是首項為2，公差為1的等差數列，所以故an（2）由b2n-b2n-1由b2n+1-b2n①+②可得b2n當n=1時，b2-b所以b==2×=2×2+n所以b2n當n=1時，b2=3也滿足上式，所以由上可知，1b所以1=1即1b變式61．設Sn為數列an的前n項和，若an+an+1=2n+1，且存在k∈A．-20,21 B．-20,20C．-29,11 D．-20,19【答案】A【分析】利用an+an+1=2n+1可證明得數列a2n-1和a2n都是公差為【詳解】因為an所以S2n假設S2n=n2n+1=由存在k∈N*，Sk=S由an+an+1=2n+1當k=20時，有S20=S根據an+2-a所以a21=a當k=19時，有S19=S根據an+2-a所以a20=a由已知得a1+a故選：A.變式62．已知首項為1的數列an的前n項和為Sn，其中Sn+1=Sn+anan+1A．① B．② C．②③ D．①②③【答案】B【分析】①通過做差，判斷差值正負，來判斷an和a②通過對an+1=a③通過an+1=anan【詳解】對①，因為Sn+1所以S所以an+1-a故①錯誤，對②，由an+1=a所以1a所以i=1n因為a1所以an+1所以i=1n所以②正確，對③，當n=1時，S2=S所以當n≥1時，an+1-2a所以a2024所以a2024所以③錯誤，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：關鍵是通過找到遞推關系和①②③的形式之間的關系，通過作差法，裂項，放縮分別判斷.變式63．已知函數fx=3(1)求函數fx(2)求數列an的通項公式an及前n項和【答案】(1)周期2，最大值2(2)an=n-【分析】（1）先應用輔助角公式化簡再得出最大值即可；（2）令fx=0可得出x=k-16k∈N*【詳解】（1）由題可得fx因此函數fx的周期T=當πx+π6=π（2）由fx=0得因此函數fx的所有正零點為x=k-∴a1=56，an-∴aS變式64．記等差數列an的前n項和為Sn，已知a1(1)求Sn(2)若對于任意的n∈N*,【答案】(1)S(2)98【分析】（1）根據等差數列基本量的計算可得公差，即可由求和公式求解，（2）代入化簡可得λ≥n22n【詳解】（1）設公差為d，則S3=3a故S（2）由2n+1?λ-6n+S即λ≥n設cn=n當n=1,2時，cn+1-c當n>1+2，即n≥3時，cn+1-所以c1<c2<即實數λ的取值范圍為98變式65．已知正項數列an的前n項和為Sn(1)求數列an(2)求證：i=1n【答案】(1)a(2)證明見解析【分析】（1）已知Sn，求出a（2）先求出Sn，再求出新數列的通項公式1S【詳解】（1）當n=1時，4a1=(當n≥2時，4S又4S兩式相減得4an=又∵an>0，∴∴an是首項為1，公差為2的等差數列，∴a（2）∵Sn∴n=1時，1S1=1a∴i=1∴i=1n一、單選題1．已知等差數列an的前n項和為Sn，若S3=15,aA．3 B．7 C．11 D．23【答案】C【分析】根據等差數列通項公式和求和公式得到方程，求出公差，得到答案.【詳解】S3=3a∴a故選：C2.設Sn為等差數列an的前n項和，若a8+aA．5 B．10 C．252 D．【答案】B【分析】利用等差中項性質得a8+【詳解】若a8+a故-a9=a2故選：B3.已知等差數列an的公差為d，前n項和為Sn，且a2n=2an+10A．1 B．2019 C．2021 D【答案】A【分析】令n=1，求出a1和d的關系，根據S13=【詳解】因為a2n=2a則a2=2a故a1=d-10，因為S13即a7由等差數列的性質可得a7所以a10=0，即a1故選：A.4.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數相同，且上、中、下三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則中層共有扇面形石板（

）A．1125塊 B．1134塊 C．1143塊 D．1152塊【答案】B【分析】由等差數列前n項和的性質求解．【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數為{an}，{an設每層有k環(huán)，則n=3k，Sn{an}所以2(S所以Sn=3(S故選：B．5.已知等差數列an的前n項和為Sn，S3=6，Sn-3=16n≥4,n∈A．16 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】利用等差數列的性質，以及前n項和公式，即可求解.【詳解】由S3=6，得a因為Sn-3=16n≥4,n∈所以Sn-Sn-3①②兩式相加，得a1+a所以a1+an=故選：B.6.設Sn是等差數列an的前n項和，且S6A．S11>0 B．S12<0 C．【答案】A【分析】由等差數列的性質，Sn與an的關系，等差中項的性質，前【詳解】因為Sn是等差數列an的前由S6由S7設公差為d，則d=a對于A：S11=11對于B：S12=12對于C：S13=13對于D：S8-S故選：A.7.已知Sn為等差數列an的前n項和，Sn=3n2+l?n+aA．2600 B．2480 C．1660 D．1460【答案】B【分析】根據等差數列的前n項和的特征，先得出a的值，再由當n≥2時，an=Sn-Sn-1，得出an【詳解】因為an為等差數列，所以a=0當n≥2時，an由a2=2×6-3+l=8所以a1=S1=3-1=2ai+ai+2公差d=a所以i=120故選：B．8.已知正項數列{an}的前n項和為Sn，(an+1)2=4Sn，記bA．-400 B．-200 C．200 D．400【答案】C【分析】利用an,Sn關系及等差數列的定義求{an}的通項公式，進而可得S【詳解】由題設(an-1+1)2=4所以(an-1)2=由(a1+1)所以{an}是首項為1，公差為2的等差數列，則a當n=4k且k∈N*，當n=4k-1且k∈N*，當n=4k-2且k∈N*，當n=4k-3且k∈N*，則b4k由T100故選：C二、多選題9．數列an的前n項和Sn=11n-A．a1=10 BC．數列Sn有最小項 D．S【答案】AD【分析】根據an=S1,n=1Sn-Sn-1【詳解】對于A：因為Sn=11n-n2，當n=1時對于B：當n≥2時Sn-1所以an經檢驗n=1時an=12-2n也成立，所以所以a2=8，a3=6，則對于C：因為Sn=11n-n2=-n-1122即數列Sn有最大項，故C對于D：因為Snn=11-n，則S所以Snn是首項為10，公差為-1的等差數列，故D故選：AD10.等差數列an的前n項和為Sn,A．a8=0 BC．S7<S9 D．當Sn<0【答案】ABD【分析】對于A，由等差數列性質即可判斷；對于B，由公差的定義即可判斷；對于C，作差結合公差小于0即可判斷；對于D，只需注意到a1>?>【詳解】對于A，由題意a8=a對于B，d=an+1-an=a對于C，S7-S9=-對于D，由題意a1從而當n≤15,n∈N*，Sn≥0，且S故選：ABD.11.已知等差數列an的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn，若SA．a1>d B．使得SC．a8+a9<【答案】ACD【分析】A選項，根據題目條件得到a9>0，a10<0，從而得到d=a10-a9<0，a1=a9-8d>0，A正確；B選項，S17=17a9>0，S18=9a9+【詳解】A選項，S10<S8<故d=a10-a9<0，故B選項，S17=17故使得Sn>0成立的最大正整數n=17，C選項，由于a8故a8則a8故a8+aD選項，由于a9故當n≤9時，an>0，當n≥10時，當n≤17時，Sn>0，當n≥18時，故當n≤9時，Snan>0，當10≤n≤17時，Sn由0>a10>-1由不等式的同向可乘性可得，-S10a故Snan中最小項為S10故選：ACD三、填空題12．記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3+【答案】95【分析】利用等差數列通項公式得到方程組，解出a1,d【詳解】因為數列an為等差數列，則由題意得a1+2d+則S10故答案為：95.13.如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，?.球數構成一個數列an，滿足an=an-1+n，n>1且n∈【答案】a【分析】依題意可得an-an-1【詳解】因為an=an-1+n，n>1所以當n>1時，a=n+n-1又a1=1，所以當所以an故答案為：a14.已知數列an是等差數列，bn=an-8,n為奇數2an+1,n為偶數，記Sn，Tn【答案】370【分析】根據已知條件得到關于a1、d的二元一次方程組，解方程組，求出a1、d，即可求出數列an的通項公式，an【詳解】設等差數列an的公差為d．由S3=18，得由T2=10得a聯(lián)立①②，3a1+3d=18所以an則bn所以T20=b1=-3+15故答案為：370四、解答題15．記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知(1)求{a(2)求Sn，并求Sn【答案】(1)a(2)Sn=n2【分析】（1）根據題意結合等差數列求和公式求得d=2（2）根據等差數列求和公式可得Sn=【詳解】（1）設等差數列{an}因為a1=-7，可得3×-7+3×2所以an（2）由（1）可得：Sn可知：n=4時，Sn取得最小值S所以Sn的最小值為-1616.已知等差數列an的前n項和為Sn，且(1)求數列an(2)若bn=1Sn-3n【答案】(1)a(2)10【分析】（1）先設等差數列an的公差為d，再根據題干已知條件列出關于首項a1與公差d的方程組，解出a1與d（2）先根據第（1）題的結果計算出Sn的表達式，進一步計算出數列bn的通項公式并進行轉化，最后運用裂項相消法即可計算出數列bn的前【詳解】（1）由題意，設等差數列an的公差為d則S5化簡整理，得a1解得a1∴a（2）由（1）可得，Sn則bn=1Sn-3n=1∴數列bn的前10b=1-=1-=1017.已知Sn是等差數列an的前n項和，且a7(1)求數列an(2)若bn=an，求數列bn【答案】(1)a(2)T【分析】（1）結合等差數列的通項公式，前n項和公式和等差數列的性質，求出a1