高中數(shù)學(xué)-斐波那契數(shù)列與黃金分割教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)——斐波那契數(shù)列與黃金分割教學(xué)設(shè)計(jì)

目錄

1.教學(xué)內(nèi)容解析................................................................1

2.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置...............................................................2

2.1.目標(biāo)....................................................................2

2.2.目標(biāo)解析.................................................................2

3.學(xué)生學(xué)情分析...............................................................3

4.教學(xué)策略分析...............................................................3

5.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)...............................................................4

5.1.課前預(yù)習(xí)、閱讀探究.....................................................4

5.2.課堂展示，盤點(diǎn)收獲.....................................................5

5.3.課堂展示，盤點(diǎn)收獲.....................................................6

5.4.合作探究，證明等式.....................................................6

5.5.合作探究，課堂釋疑.....................................................7

5.6.課堂展示，盤點(diǎn)收獲.....................................................9

5.7.歸納總結(jié)，構(gòu)建體系.....................................................9

5.8.作業(yè)布置，拓展外延.....................................................9

6.自然界中的斐波那契數(shù)列與黃金分割.........................................10

1.教學(xué)內(nèi)容解析

斐波那契數(shù)列與黃金分割是人教A版2019版選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列

第10-11頁(yè)中閱讀與思考內(nèi)容。“閱讀與思考”欄目作為教材正文內(nèi)容的補(bǔ)充，

它篇幅短、內(nèi)容新、閱讀性強(qiáng)。集知識(shí)性、科學(xué)性、趣味性、教育性于一體，

且根植于學(xué)生知識(shí)與能力的最近發(fā)展區(qū)，是教材的重要組成部分，是數(shù)學(xué)傳統(tǒng)

課堂教學(xué)內(nèi)容的延伸，是浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化的重要載體。

本節(jié)教材設(shè)置的目的是使學(xué)生了解斐波那契數(shù)列及斐波那契數(shù)列與黃金分

割的關(guān)聯(lián)，激發(fā)學(xué)生思考與探究的興趣，拓展學(xué)生的知識(shí)面，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)

學(xué)的能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。依托大單元教學(xué)設(shè)計(jì)理念，教師布置閱

讀任務(wù)，學(xué)生根據(jù)“閱讀提綱”，經(jīng)歷“自主閱讀一資料收集一質(zhì)疑思辨一合

作交流一資料精選一制作課件”等一系列課前自主學(xué)習(xí)活動(dòng)，新授課內(nèi)容在完

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成等比數(shù)列教學(xué)的基礎(chǔ)上，再開展本節(jié)課的課堂教學(xué)活動(dòng)。目的是通過(guò)學(xué)生自

主閱讀喚醒學(xué)生臨淵羨魚之意，激發(fā)學(xué)生退而結(jié)網(wǎng)之志。讓學(xué)生有充分時(shí)間完

成探究式閱讀，高度參與探究式閱讀，達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、自學(xué)能力、

合作能力的教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)使課堂結(jié)構(gòu)更加完善。

教學(xué)內(nèi)容從兔子繁殖問題情境引入，分析其蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，得出相關(guān)的數(shù)學(xué)模型一一遞

推公式。事實(shí)上，由遞推公式可以推演出斐波那契數(shù)列很多有趣的性質(zhì)。教科書選擇斐波

那契數(shù)列滿足的一個(gè)等式予以介紹，用幾何圖形直觀地呈現(xiàn)這個(gè)等式，由此引出“斐波那

契螺旋弧線”。斐波那契螺旋在由內(nèi)往外延伸的過(guò)程里會(huì)越來(lái)越接近“黃金比例螺旋”，

既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，又進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生探尋美的本質(zhì)：“斐波那契螺旋的外矩形的寬長(zhǎng)比工+1

會(huì)無(wú)限地趨近于黃金分割比值?！币忉屍鋽?shù)學(xué)原理，離學(xué)生思維發(fā)展區(qū)最近的是利用數(shù)

歹的通項(xiàng)公式?引導(dǎo)學(xué)生從研究比值的角度將遞推公式轉(zhuǎn)化為構(gòu)造等比數(shù)列，從而推導(dǎo)

工

出｛4｝的通項(xiàng)公式，利用｛用｝的通項(xiàng)公式學(xué)生可以從數(shù)學(xué)運(yùn)算的角度考察工+1無(wú)限地趨近

于黃金分割比值。挖掘它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和思維共性時(shí)，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和思維的養(yǎng)

成。因此斐波那契數(shù)列與黃金分割是學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、極限思想

的合適素材；是學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)和諧美、理性美與完善的結(jié)構(gòu)美的合適素材；是滲透數(shù)學(xué)文

化的合適素材。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：“斐波那契數(shù)列與黃金分割”蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)內(nèi)涵、美學(xué)價(jià)

值、科學(xué)價(jià)值；數(shù)列作為研究對(duì)象的基本路徑(定義、表示、性質(zhì)、應(yīng)用)。

難點(diǎn)：建立斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)模型；斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)聯(lián)；

斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

2.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

2.1.目標(biāo)

(1)了解斐波那契數(shù)列相關(guān)數(shù)學(xué)文化；引導(dǎo)學(xué)生從兔子繁殖問題建立斐波那

契數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；

(2)掌握斐波那契數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)：耳2+瑪一+...+工2=工.Fn+i；

(3)了解斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)聯(lián)；

(4)了解斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程；

(5)了解大自然中和“斐波那契數(shù)列與黃金分割”相關(guān)的現(xiàn)象。

2.2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

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(1)學(xué)生通過(guò)課前自主查閱數(shù)學(xué)史料，課堂展示意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的生

平及“兔子繁殖問題”中的相關(guān)規(guī)律，得到斐波那契數(shù)列的遞推公式；

(2)能利用圖形的結(jié)構(gòu)特征探究耳？+鳥？+…+居2=居,工+],并且給出證明，體會(huì)數(shù)形結(jié)

合、化歸與轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；

(3)能從“斐波那契螺旋”與“黃金比例螺旋”兩個(gè)圖形高度吻合的幾何特

征，即從形的角度直觀想象斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)聯(lián)；

(4)教師依據(jù)學(xué)生思維的一般規(guī)律適當(dāng)引導(dǎo)，使學(xué)生能在復(fù)雜的問題情境中

把握事物之間的關(guān)聯(lián)，將不熟悉的問題情境轉(zhuǎn)化為熟悉的問題情境，通過(guò)構(gòu)造

等比數(shù)列解決問題，在生生、師生合作交流下利用斐波那契數(shù)列遞推公式推導(dǎo)

出其通項(xiàng)公式，并能依據(jù)通項(xiàng)公式進(jìn)一步探究斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)聯(lián);

(5)通過(guò)學(xué)生課前預(yù)習(xí)的資料收集及學(xué)生代表展示斐波那契數(shù)列與黃金分割

的應(yīng)用鑒賞，讓學(xué)生整體獲得和諧與優(yōu)美的美學(xué)享受。

3.學(xué)生學(xué)情分析

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律安排教學(xué)過(guò)程。學(xué)生已

經(jīng)掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)，能用相關(guān)知識(shí)解決問題；也能在實(shí)際問題

情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列所蘊(yùn)含的等差或等比關(guān)系。學(xué)生舉一反三的能力，應(yīng)用意識(shí)、

創(chuàng)新能力并不強(qiáng)，數(shù)列的一般思路和方法應(yīng)用還不夠靈活，需要教師適時(shí)引導(dǎo)，

這是本節(jié)教學(xué)的第一個(gè)難點(diǎn)。通過(guò)斐波那契數(shù)列的趣味激發(fā)學(xué)生的探究興趣，

讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)列作為研究對(duì)象的基本路徑：事實(shí)一定義一性質(zhì)一應(yīng)用。

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)建模的能力。

二階線性遞推式求通項(xiàng)是本節(jié)的第二個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，如何引導(dǎo)學(xué)生立足代數(shù)

變換，將這個(gè)數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決問題，過(guò)程需要較多的數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗(yàn)，

教師可結(jié)合具體計(jì)算結(jié)果的觀察加強(qiáng)引導(dǎo)。

4.教學(xué)策略分析

為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)斐波那契數(shù)列與黃金分割的整體感受，采取素養(yǎng)導(dǎo)航、推理定位、文化引

領(lǐng)、應(yīng)用落實(shí)的“四位一體”教學(xué)設(shè)計(jì)，教學(xué)情境從《算盤書》中“兔子繁殖問題”展開，

采用歷史線索和問題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式教學(xué)法。策略一，通過(guò)學(xué)生

展示引入斐波那契所提出的著名數(shù)學(xué)問題“兔子問題”，感受數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知過(guò)程，培養(yǎng)

學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感、推理能力。策略二，借助信息技術(shù)動(dòng)態(tài)演示用圖形表示等式：

耳一+用+...+Fn=工?耳山，歸納猜想并證明。借助希沃展示學(xué)生的小組合作學(xué)習(xí)成果,

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讓學(xué)生經(jīng)歷探索、嘗試、總結(jié)與提煉，完善證明過(guò)程。策略三，是借助信息技術(shù)動(dòng)態(tài)演示

““斐波那契螺旋”與“黃金比例螺旋"，通過(guò)形狀的高度接近，感知斐波那契數(shù)列中所

F,,

蘊(yùn)含的黃金分割美，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究與思考斐波那契螺旋的外矩形的寬長(zhǎng)比6M,借助

教師引導(dǎo)幫助，立足通項(xiàng)公式與極限思想解釋其數(shù)學(xué)原理。

5.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

5.1.課前預(yù)習(xí)、閱讀探究

斐波那契數(shù)列與黃金分割閱讀提綱

【閱讀方式】

(1)閱讀教材：普通高中教科書《數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)》(人民教育出版社

A版遂10-11頁(yè)，“閱讀與思考”；

(2)利用互聯(lián)網(wǎng)、圖書館查找收集資料，并閱讀相關(guān)文獻(xiàn)。

【閱讀目標(biāo)】

(1)查找與意大利數(shù)學(xué)家斐波那契相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，了解數(shù)學(xué)家斐波那契的

生平及主要成就。

(2)《算盤書》中的兔子繁殖問題，分析初生兔子的對(duì)數(shù)有什么關(guān)系？成熟

兔子的對(duì)數(shù)有什么關(guān)系？兔子總對(duì)數(shù)又有什么關(guān)系？并嘗試建立兔子繁殖問題

的數(shù)學(xué)模型。

⑶斐波那契數(shù)列｛￡)滿足等式：耳2+82+...+居2=工.居M,如何利用幾何圖形呈現(xiàn)

這個(gè)等式？并嘗試證明該等式。關(guān)于斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，你還有其它發(fā)現(xiàn)嗎？

(4)查找與黃金分割相關(guān)資料，了解黃金分割與黃金矩形的基本知識(shí)。

(5)認(rèn)識(shí)“斐波那契螺旋”弧線，思考什么是“黃金比例螺旋”？并探究它

們之間存在的關(guān)系。

(6)依據(jù)所學(xué)知識(shí)，嘗試由遞推公式推導(dǎo)出斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。

(7)查找收集資料，舉例說(shuō)明大自然及生產(chǎn)生活中和“斐波那契數(shù)列與黃金

分割”相關(guān)的現(xiàn)象。

【閱讀收獲】

整理閱讀與思考后的成果。

【閱讀質(zhì)疑】

閱讀與思考后，你有什么疑問嗎？歡迎寫下來(lái)，“問題”是創(chuàng)新的起點(diǎn)！

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【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置課前活動(dòng)，通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦，啟發(fā)學(xué)生思考，知識(shí)

的獲取、問題的來(lái)源不一定局限于課堂。引導(dǎo)學(xué)生帶著問題閱讀材料，基于問

題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式，在學(xué)生開展自主閱讀的過(guò)程中明確“我要做什么，要解決什

么問題，我有什么收獲”。為學(xué)生設(shè)計(jì)適合的學(xué)習(xí)方案，花更多精力指導(dǎo)學(xué)生

在信息海洋中獲得有益的知識(shí)策略和方法，注意個(gè)體差異，幫助每一位學(xué)生參

與到學(xué)習(xí)中，做好學(xué)生學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)者、指導(dǎo)者、幫助者。充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)

性、積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生開展獨(dú)立思考、自主探究、質(zhì)疑

思辨、合作交流，使學(xué)生切實(shí)學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

5.2.課堂展示，盤點(diǎn)收獲

引導(dǎo)語(yǔ)：上一周，我們布置了閱讀任務(wù)，課前大家根據(jù)閱讀提綱都已做好

預(yù)習(xí)。同學(xué)們獲取了大量關(guān)于斐波那契數(shù)列與黃金分割的相關(guān)知識(shí)。今天，我

們一起分享大家的閱讀成果，剖析大家的閱讀質(zhì)疑。

首先我們有請(qǐng)“學(xué)生代表1”，請(qǐng)她介紹斐波那契生平及主要成就。

學(xué)生展示1介紹意大利數(shù)學(xué)家斐波那契。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。學(xué)生

代表1介紹數(shù)學(xué)家斐波那契的生平及主要成就，滲透數(shù)學(xué)文化傳承，激發(fā)學(xué)生

學(xué)習(xí)的興趣。

引導(dǎo)語(yǔ)：相信大家對(duì)斐波那契有了一定的了解，那么他在《算盤書》中提

出的兔子繁殖問題到底有著怎樣的規(guī)律呢？有請(qǐng)“學(xué)生代表2”展示她們的思考。

學(xué)生展示2介紹兔子問題中兔子繁殖規(guī)律。

【設(shè)計(jì)意圖】《算盤書》中提出的兔子繁殖問題所蘊(yùn)含的規(guī)律，能引導(dǎo)學(xué)

生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言觀察、思考、表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，為抽象出遞推公式做準(zhǔn)備。

合作探究，建立模型

問題1如何用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)兔子繁殖規(guī)律？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用表示第71個(gè)月的小兔子對(duì)數(shù)，｛“｝表

示第71個(gè)月的大兔子對(duì)數(shù)，｛&｝表示第n個(gè)月小兔子與大兔子總對(duì)數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型，得出

遞推公式。

因?yàn)槊總€(gè)月的大兔子對(duì)數(shù)等于前兩個(gè)月的大兔子對(duì)數(shù)之和，所以有

%=既-1+—>2），

又因?yàn)槊總€(gè)月小兔子對(duì)數(shù)等于上個(gè)月大兔子的對(duì)數(shù)，所以有

a=

nbn_1.

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用與替換bn,有

an+l=an+an-l'

可得

an=an-i+an_2（n>2），

故有

Fn=an+bn=an-l+an-2+bn+bn-2

=Fn-1+Fn-2O>2）。

【設(shè)計(jì)意圖】（1）從兔子繁殖問題中抽象出斐波那契數(shù)列，將文本的自然語(yǔ)

言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)世界；（2）擺脫數(shù)學(xué)兔子繁殖問題具體形

態(tài)的影響，獲得數(shù)列的一般規(guī)律。

5.3.課堂展示，盤點(diǎn)收獲

引導(dǎo)語(yǔ)：通過(guò)閱讀，我們知道｛&｝滿足等式：+B+…?6+i,如何通過(guò)圖

形來(lái)表示這個(gè)等式呢？我們請(qǐng)“學(xué)生代表3”展示他們組的成果。

學(xué)生展示3用圖形來(lái)表示等式：大一+瑪2+...+居2=居.居

【設(shè)計(jì)意圖】利用圖形表示這個(gè)等式，發(fā)展學(xué)生直觀想象數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，

并因此而引出斐波那契螺旋線，是與黃金分割關(guān)聯(lián)的重要銜接點(diǎn)。

5.4.合作探究，證明等式

問題2證明等式尸+U+…+F；=F”.居+1。

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生利用定義解決問題。

思路1迭代

由斐波那契數(shù)列的遞推公式可知：

片+1=工+F”_i,

所以‘

工—2+加.工

將工=￡I+E,-2代入得

居，居+1=Fn+?（耳1+工-2）

=+FJ+F?_2-小

重復(fù)上述步驟，可得

F「F"F：+Fj+Fj+…+F2.F]

又因?yàn)?/p>

月=6=19

故

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居?工+1=居2+工/+工_22+-+瑪2+耳2

O

即等式62+g2+-?+工2=居.居+1成立。

思路2裂項(xiàng)相消

由斐波那契數(shù)列的遞推公式可知

工=￡,+1—工-I,

所以

—工一"，

故有

邛+―+..+居2=k+（，由一月式）+（%片一鳥鳴）

+（居?居一K?居）+…+（用由+i-工-I?居）

=F^-Fl-F2+F?-Fn+i,

又因?yàn)?/p>

耳=鳥=1

故

r-^=F2+F_2F^-F2+F2

illni+n++2]O

即等式片2+招2+…+工2=居,工+1成立。

【設(shè)計(jì)意圖】（1）“推理是數(shù)學(xué)的命根子，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的童子功?！睆臄?shù)的

角度論證公式，在活動(dòng)過(guò)程中，提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)；（2）在證明

的過(guò)程中提升學(xué)生的思維品質(zhì)，讓學(xué)生從感性的發(fā)現(xiàn)上升到理性的認(rèn)識(shí)。

5.5.合作探究，課堂釋疑

問題3什么是“斐波那契螺旋”弧線？“黃金比例螺旋”呢？如何理解

“斐波那契螺旋”弧線與“黃金比例螺旋”弧線之間的形狀會(huì)越來(lái)越接近？

師生活動(dòng)：從等式F'~+U+…+E：=EJ居+i的圖形表示中發(fā)展出斐波那契螺旋弧線,

教師介紹黃金螺旋，并將斐波那契螺旋與黃金螺旋疊放一起對(duì)比。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)猜測(cè)、計(jì)

算歸納出*的值會(huì)趨近黃金分割比.

【設(shè)計(jì)意圖】引出斐波那契螺旋與黃金螺旋，并引導(dǎo)學(xué)生從疊放一起的兩

個(gè)圖形的高度吻合，由形的角度直觀想象斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)聯(lián)。

問題4依據(jù)所學(xué)知識(shí)，如何由遞推公式推導(dǎo)出斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公

式？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，自主探究，教師引導(dǎo)學(xué)生從研究比值的角度將

遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，生生合作、師生合作解決問題。

第7頁(yè)共43頁(yè)

解：由工=EI+K”2,

設(shè)居+幾工一1=〃（/T+幾工.2）,即（=（〃-Mi+入陽(yáng)一,

,T=111土布

對(duì)比系數(shù)知：［”〃二1,即〃，解得2。

1+>/51-1+>/5

LI—--------%=----------

當(dāng)2時(shí)，2,

r—1+VS_1+>/5+甘仁

F“-F”_[=---（居_]

此時(shí)22

:-1+V5廣'1+石

,乙+―3—h1+后

故數(shù)列IJ是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列。

則

r1+A/5l—y/s\+

Fn---------El=-（工-I-------丁工-2）

此時(shí)222

1+石耳一>1-石1-布

■工

故數(shù)列I一J是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

則

小-與F.=W?（W）"1=（W）"

2222②

E,=%（￥）"-（與即

-②得：,522.

經(jīng)檢驗(yàn)知："=1,"=2時(shí)均滿足上式，

Fn=~7Z［（".）"-Af）”1

因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為*22

【設(shè)計(jì)意圖】要解釋為什么比值會(huì)隨著n的增大而趨近黃金分割比，離學(xué)生思維發(fā)展區(qū)最

近的是｛4｝的通項(xiàng)公式.通項(xiàng)公式是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).引導(dǎo)學(xué)生按照思維的一般規(guī)律，在比

較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的情境，通過(guò)構(gòu)造等比

數(shù)列解決問題，從而突破難點(diǎn)。培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力，發(fā)展學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的

核心素養(yǎng)。

問題5得到斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式后，你能說(shuō)明為什么鄉(xiāng)會(huì)趨近黃金分割比嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，自主探究，師生合作解決問題。

9=避二1工=白（9尸—（一夕）”］

設(shè)2，則45,所以有

第8頁(yè)共43頁(yè)

專［”)-"一(一。力

F.

工M小(夕)”(-0嚴(yán)］

當(dāng)〃一＞+oo時(shí)，(一8)"-0,＞。

F.

二9

-/J+1

于)

F

--——＞(p

故"一＞+oo時(shí)，工+1。

F.

【設(shè)計(jì)意圖】從數(shù)學(xué)運(yùn)算的角度考察工M值，分析斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)聯(lián)。培養(yǎng)

學(xué)生理性思維能力。

5.6.課堂展示，盤點(diǎn)收獲

引導(dǎo)語(yǔ)：我們分別從形和數(shù)的角度研究了斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)聯(lián),

它們有哪些應(yīng)用呢？有請(qǐng)“學(xué)生代表4”為我們解惑。

學(xué)生展示4斐波那契數(shù)列與斐波那契螺旋線的應(yīng)用。

【設(shè)計(jì)意圖】斐波那契數(shù)列與黃金分割鑒賞：黃金分割擁有可再生性，而

斐波那契數(shù)列與斐波那契螺旋則詮釋了生命活動(dòng)的自我衍生性，是長(zhǎng)期自然選

擇的結(jié)果，用數(shù)學(xué)的方式觀察、思考、表達(dá)世界。

5.7.歸納總結(jié)，構(gòu)建體系

問題6通過(guò)本節(jié)課的數(shù)學(xué)活動(dòng)，你有哪些收獲？

師生活動(dòng)：老師引導(dǎo)學(xué)生合作交流，依據(jù)整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行小結(jié)，用聯(lián)系

的觀點(diǎn)從新知識(shí)的獲取路徑進(jìn)行歸納總結(jié)。

【設(shè)計(jì)意圖】總結(jié)探究的過(guò)程、思路及方法，獲得知識(shí)、能力及意志力的

共同進(jìn)步，建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生提煉、總結(jié)、概括的能力。

5.8.作業(yè)布置，拓展外延

對(duì)于同學(xué)們的“閱讀質(zhì)疑”，還有以下兩個(gè)問題未得到解決：

(1)斐波那契數(shù)列還有其它性質(zhì)嗎？如:“前n項(xiàng)和怎么求？相鄰幾項(xiàng)會(huì)不會(huì)

有什么規(guī)律？……”

(2)與黃金分割類比，會(huì)有白銀分割、青銅分割嗎？符合黃金分割比的事物，

第9頁(yè)共43頁(yè)

給人以美的感受，那不符合的是不是就不美了？

請(qǐng)選擇一個(gè)話題（或依據(jù)本堂所學(xué)另?yè)裨掝}），繼續(xù)你的研究，將發(fā)現(xiàn)寫成數(shù)

學(xué)小論文。

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課課堂活動(dòng)是基于學(xué)生的“閱讀成果”及“閱讀質(zhì)疑”

為前提設(shè)計(jì)，針對(duì)學(xué)生部分未得到解答的困惑，設(shè)置作業(yè)，提升學(xué)生“反思、

求解、實(shí)證”等高階思維，開拓學(xué)生視野。

6.自然界中的斐波那契數(shù)列與黃金分割

十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契（LeonardodaFibonacci）,寫了

一本數(shù)學(xué)書《計(jì)算之書》影響了歐洲人的思想。菲波那契在《計(jì)算之書》中提出

了一個(gè)極為有趣的“兔子問題”。這就是本篇討論問題的開端。

44

.皿4皿

JOLJUkdUL??

一小山一44林叢

菲波那契在“計(jì)算之書”中提出了一個(gè)極為有趣的“兔子問題”?

用一個(gè)數(shù)列來(lái)描述如下情況的兔子生長(zhǎng)數(shù)目：

-第一個(gè)月初有一對(duì)剛誕生的兔子.

?第二個(gè)月之后（第三個(gè)月初）它們可以生育.

?每月每對(duì)可生育的兔子會(huì)誕生下一對(duì)新兔子.

斐波那契數(shù)列、以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列"，指的是這

樣一個(gè)數(shù)列：

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、619、987........

與黃金分割關(guān)系有趣的是，這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式卻是

用無(wú)理數(shù)來(lái)表達(dá)的。

在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：

第10頁(yè)共43頁(yè)

F(0)=0,F(l)=l,F(n)=F(n-l)+F(n-2)[n>=2,n@N*)

這個(gè)數(shù)列有下列特性(1)當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越到

后面越來(lái)越逼近黃金分割率

即f(n)/f(n-l)f0.618?-(2)任何相鄰三個(gè)數(shù)，其中前兩個(gè)數(shù)之和等于第三個(gè)

數(shù)，如1+2=3,2+3=5,3+5=8,依此類推。(3)任何相鄰三個(gè)數(shù),其中第一個(gè)數(shù)

和第三個(gè)數(shù)的乘積與第二個(gè)數(shù)的平方相差lo

如圖所，本?每條斜線I:的數(shù)的和就構(gòu)成更波那奧數(shù)列.

OnesInteaenTriangle%SquarePowenof2FibonacciPrime*

Addingthenumbersalong

shallowdgonahgives

theFibonocaNumbers

3

6a

21353521

828S6705628

36a412612684%

451202102522101204510

551653304624623301655511

662204957929247924952206612

137828671512871716171612877152867813

1491364100120023003343230032002100136491

110545511653003500564356435SOOS30031365455105

116120560182043688008114401287011440800843681820560120161

如圖所示每條斜線上數(shù)的和就構(gòu)成斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列。

斐波那契數(shù)列的f(n)/f(n-l)會(huì)趨近于黃金比例6=(l+J5)/2,近似值卷

1.618o

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斐波那契數(shù)列中的斐波那契數(shù)會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些工關(guān)的花褥散、黃

金矩形、黃金分割、等角螺線等。

黃金分割是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)方法，首次提出是，公元前6世紀(jì)古希臘的畢

達(dá)哥拉斯及其學(xué)派在五角星內(nèi)發(fā)現(xiàn)的，公元前4世紀(jì)古希臘的數(shù)學(xué)家歐多克索

斯第一次用幾何的方法給出黃金分割率的計(jì)算，并建立起比例理論，公元前300

年歐幾里得《幾何原本》進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分

割的論著.中世紀(jì)后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數(shù)學(xué)帕喬利稱之為神

圣比例，并專門為此著書立說(shuō).德國(guó)天文學(xué)家開普勒稱之這一神圣分割為“中外比

”,13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家菲波那契，寫了《計(jì)算之書》之后，對(duì)黃金分割的認(rèn)識(shí)

才從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)，自然界的變化規(guī)律已經(jīng)觸手可及了。15世紀(jì)末期，法蘭西

教會(huì)的傳教士路卡?巴喬里發(fā)現(xiàn)金字塔之所以能屹立數(shù)千年不倒，且形狀優(yōu)美，

原因在于其高度與基座每邊的結(jié)構(gòu)比例為“5:8"。有感于這個(gè)神秘比值的奧妙與

價(jià)值，他使用了黃金比率一詞。

古往今來(lái)，這個(gè)數(shù)字一直被后人奉為科學(xué)和美學(xué)的金科玉律成為世代相傳

的審美經(jīng)典規(guī)律，造就了人類潛意識(shí)中根深蒂固的審美模式，對(duì)它的各種神奇

的作用和魔力，數(shù)學(xué)上至今還沒有明確的解釋，只是發(fā)現(xiàn)它屢屢在實(shí)際中發(fā)揮

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我們意想不到的作用。

不僅是藝術(shù)，在大自然、宇宙、甚至人體構(gòu)造中，藝術(shù)中也存著的黃金比

例。從低等的動(dòng)植物到高等的人類，從數(shù)學(xué)到天文現(xiàn)象中，許多優(yōu)美的事物中，

幾乎都暗含著這種比例結(jié)構(gòu)。

在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列都有直接的應(yīng)用。

黃金矩形：

K0.618*—1.()T

黃金矩形：它的長(zhǎng)寬比為1.618,以一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，矩形的較短邊為半

徑作一個(gè)四分之一圓，交較長(zhǎng)邊于一點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)，作一條直線垂直于較長(zhǎng)邊,

這時(shí)，生成的新矩形(不是那個(gè)正方形)仍然是一個(gè)黃金矩形，這個(gè)操作可以無(wú)限

重復(fù)，產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)黃金矩形。

AFD

這種長(zhǎng)方形有許多奇怪的性質(zhì)。從黃金長(zhǎng)方形ABCD的一端把小正方形

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ABEF去掉，剩下的CDEF還是一個(gè)黃金長(zhǎng)方形。用同樣的方法，可逐步去掉

許多正方形而得到愈來(lái)愈小的黃金長(zhǎng)方形，而黃金分割點(diǎn)F,H,I,J,K,L,…都排在

一值1等角螺線上，螺線的心正好是雨虛線AC和DE的交點(diǎn)。

平是定角

所謂等角螺線就是向彳英和切線的交角永遠(yuǎn)不變的曲線。因?yàn)槭歉鶕?jù)斐波那

契數(shù)列畫出來(lái)的螺旋曲線，也稱斐波那契螺旋線或黃金螺旋線。

這些發(fā)散曲線的螺旋角一般在137.5度，更為精確的數(shù)字應(yīng)該是137.50776

度，因?yàn)?37.5=360-360*0.618,所以這個(gè)角度又被稱為黃金角度。

黃金角度十分特別，是因?yàn)闆]有任何360度的簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)能加以表達(dá)；360度

的5/8相當(dāng)接近，8/13更為接近，13/21則算是最接近的了，但沒有任何一個(gè)

分?jǐn)?shù)能準(zhǔn)確地表達(dá)出黃金角度跟360度的比例。

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正五邊形的黃金比例特性：正五邊形內(nèi)含五角星，五角星內(nèi)含正五邊形，

重重?zé)o盡。正五邊形的任一對(duì)角線與邊長(zhǎng)的比為黃金比例。

五角星古人稱五芒星在許多文化中被看作是神圣而神奇的。五角星中線段

的比率都符合黃金分割率，被作為美麗與完美的象征。

1、生命現(xiàn)象

率先使用斐波那契數(shù)列的，是法國(guó)數(shù)學(xué)家埃杜瓦爾?盧卡斯。從那時(shí)起，

科學(xué)家開始注意到自然界中這樣的例子，譬如，向日葵花盤和松果的螺線、植

物莖干上的幼芽分布、種子發(fā)育成形和動(dòng)物椅角的生長(zhǎng)定式。人類從胚胎、嬰

兒、孩童到成年的發(fā)育規(guī)律，也遵循著黃金分割率。

羅馬在數(shù)學(xué)上，定義菲波那契數(shù)列的方法叫遞歸(Recursion),寶塔花椰菜

是一個(gè)很明顯的遞歸例子。每一棵花椰菜，都是由形狀相同的小花椰菜組成的，

而每一簇花椰菜又是由更小些的同形狀花椰菜組成的。

第15頁(yè)共43頁(yè)

植物與黃金分割

植物葉子，千姿百態(tài)，生機(jī)盎然，盡管葉子形態(tài)隨種而異，但莖上的葉序

是極有規(guī)律的。從植物莖的頂端向下看，上下層中相鄰的兩片葉子之間約成

137.5°角.如果每層葉子只畫一片來(lái)代表，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的

角度差約是137.5°,以后二到三層，三到四層，四到五層……兩葉之間都成這

個(gè)角度.植物學(xué)家經(jīng)過(guò)計(jì)算表明：這個(gè)角度對(duì)葉子的采光、通風(fēng)都是最佳的。

這個(gè)137.5°角，藏有什么"密碼"呢?一周是360°,360°-137.5°

=222.5°,137.5°：222.5°心0.618.

葉子的精巧而神奇的排布中，竟然隱藏著0.618。

從分生組織長(zhǎng)出來(lái)的新生部分，按這個(gè)固定的黃金角度相繼生長(zhǎng)，新生部

分就永不會(huì)跟任何已長(zhǎng)成的部分朝同一方向生長(zhǎng)。

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各種植物葉子的生長(zhǎng)規(guī)律中自然隱藏著黃金角度。

植物葉子中黃金分割

同樣在一片葉子中也有黃金分割的現(xiàn)象存在。主葉脈與葉柄和主葉脈的長(zhǎng)

度之和比約為0.618。

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長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長(zhǎng)出一

條新枝；第二年新枝"休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過(guò)一年的枝同

時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年"休息"。這樣，一株樹木各個(gè)年份的枝梗數(shù)，便構(gòu)

成斐波那契數(shù)列。這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律，

植物莖干上的幼芽分布、種子發(fā)育成形和動(dòng)物情角的生長(zhǎng)定式，遵循著黃金

分割率。

葉片排列是沿對(duì)數(shù)螺旋上升，這也保證了葉與葉之間不會(huì)重合，下面的葉

片正好在從上面葉片間漏下陽(yáng)光的空隙地方，這是采光面積最大的排列方式。

可見，沿對(duì)數(shù)螺旋按圓的黃金分割盤旋而生，是葉片排列的最優(yōu)良選擇。

葉、枝、花瓣也可以成螺旋式生長(zhǎng)。

第18頁(yè)共43頁(yè)

許多呈螺旋圖案的植物，花瓣數(shù)目往往是斐波那契數(shù)列中的數(shù)。有些人觀

察到，毛葭的花有5塊花瓣，美洲血根草有8塊，柳蘭有13塊，紫苑有21塊，

春白菊有34塊，美國(guó)紫苑則有55塊或89塊。在水果和蔬菜中也可以找到跟斐

波那契數(shù)列有關(guān)的數(shù)字。例如，香蕉的橫切面是一個(gè)五邊形。

向日向日葵花盤和松果的螺線,遵循著黃金分割率。葵花有89個(gè)花辮，是斐

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波那契數(shù)列。

向日葵的花盤中有2組螺旋線，一組順時(shí)針方向盤繞，另一組則逆時(shí)針方

向盤繞，并且彼此相嵌。雖然不同的向日葵品種中，這些順逆螺旋的數(shù)目并不

固定，但這每組數(shù)字都是斐波那契數(shù)列中相鄰的2個(gè)數(shù)。

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風(fēng)梨

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松果

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多肉植物：甚至像蘆薈這樣的多肉植物也會(huì)呈現(xiàn)出“黃金螺旋”的形狀。植物以“黃金螺旋”的

形式生長(zhǎng)出新的細(xì)胞，然后就會(huì)呈現(xiàn)出這種形狀。這種方式讓植物的新生葉子與舊葉子互相之

間不會(huì)相互遮擋太多，能最大程度地享用陽(yáng)光和雨露.

多肉植物

蝴蝶

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鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧

神工。

螺旋形鸚鵡螺身上的同心弧圈，每圈羅紋的直徑與相鄰羅紋直徑之比為

"PHI.黃金分割。1.618."

2、神秘的人體比例

第24頁(yè)共43頁(yè)

?■■

達(dá)?芬研碼

DANBROWN

黃金分割不是達(dá)芬奇發(fā)現(xiàn)，但是達(dá)芬奇將黃金分割運(yùn)用在創(chuàng)作中，通過(guò)他

的畫，后人可以發(fā)現(xiàn)，他發(fā)現(xiàn)了黃金分割最適合人體的比率。

第25頁(yè)共43頁(yè)

維特魯威人是列奧納多達(dá)芬奇在1487年前后創(chuàng)作的世界著名素描。它是鋼

筆和墨水繪制的手稿，規(guī)格為34.4cmX25.5cm。根據(jù)約1500年前維特魯威

在《建筑十書》中的描述，達(dá)芬奇努力繪出了完美比例的人體。這幅由鋼筆和

墨水繪制的手稿，描繪了一個(gè)男人在同一位置上的"十"字型和"火”字型的姿態(tài),

并同時(shí)被分別嵌入到一個(gè)矩形和一個(gè)圓形當(dāng)中。這幅畫有時(shí)也被稱作卡儂比例

或男子比例。肚臍到地面的高度=1.618；肩膀到指尖的距離：肘關(guān)節(jié)到指尖的

距離=1.618；臀部到地面的距離：膝蓋到地面的距離=1.618。

第26頁(yè)共43頁(yè)

《達(dá)?芬奇密碼》的故事始于盧浮宮，終于盧浮宮。館長(zhǎng)被謀殺，為了把

他知道的重大秘密傳給后人，這位編制密碼的高手臨死前把自己的身體擺成了

達(dá)?芬奇的畫作《維特魯威人》的樣子，并留下一行數(shù)字，兩行莫名其妙的詩(shī)

句：

13-3-2-21-1-1-8-5

啊，嚴(yán)酷的魔王(0,Draconiandevil)

噢，腐腿的圣徒(oh,lamesaint)

小說(shuō)的男女主人公很快破譯了這個(gè)密碼，數(shù)字按升序排列后是數(shù)學(xué)史上著

名的斐波那契數(shù)列，前兩個(gè)數(shù)相加等于相鄰的第三個(gè)數(shù)，而相鄰的兩個(gè)數(shù)相除

第27頁(yè)共43頁(yè)

約等于黃金分割的數(shù)字1.618；至于那兩句詩(shī)，將字母打亂重新排列后竟然是:

列奧那多?達(dá)?芬奇(LeonardodaVinci)!蒙娜麗莎(TheMonaLisa)!

人體黃金分割是指人體經(jīng)臍部，下、上部量高之比，小腿與大腿長(zhǎng)度之比，

前臂與上臂之比，以及雙肩與生殖器所組成的三角形等都符合黃金分割定律，

即1：0.618的近似值。人體美學(xué)觀察受到種族、社會(huì)、個(gè)人各方面因素的影響，

牽涉到形體與精神、局部與整體的辯證統(tǒng)一，只有整體的和諧、比例協(xié)調(diào)，才

能稱得上一種完整的美。

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黃金分割娩典EE片

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穴位

第30頁(yè)共43頁(yè)

人體的五大黃金穴位，都處于身體各部位的黃金分割點(diǎn)上，經(jīng)常按摩五大

黃金穴位最能養(yǎng)生。

QS

5波贏波群〒波

心房的激動(dòng)心室的激動(dòng)恢復(fù)波

心電圖也是黃金比例

37.5度，它和0.618的乘積為23.175C,在這一環(huán)境溫度中，機(jī)體的新陳代謝、

第31頁(yè)共43頁(yè)

生理節(jié)奏和生理功能均處于最佳狀態(tài)。在動(dòng)物界，禽獸等高級(jí)溫動(dòng)物的體溫介

乎37-39℃,這一溫度正是水的液態(tài)范圍0100%,兩個(gè)黃金點(diǎn)(0.618)之一，即

38%左右。

養(yǎng)生學(xué)家通過(guò)多年觀察發(fā)現(xiàn)，動(dòng)和靜是一個(gè)0.618比例關(guān)系，大致四分動(dòng)

六分靜才是較佳養(yǎng)生之法。醫(yī)學(xué)專家分析后發(fā)現(xiàn)，飯吃六七成飽的人幾乎不生

胃??；人的腦電波圖，若高低頻率