北師版九上數(shù)學1.1菱形的性質(zhì)與判定（第一課時） 課件

第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定（第一課時）數(shù)學九年級上冊BS版課前預習典例講練目錄CONTENTS數(shù)學九年級上冊BS版課前預習011.菱形的定義.有一組鄰邊

的平行四邊形叫做菱形.相等

2.菱形的性質(zhì)定理.（1）菱形的四條邊

?；（2）菱形的對角線

?；（3）菱形的兩條對角線互相

，并且每一條對角

線

一組對角；（4）菱形是

，它的

?是它

的對稱軸；菱形也是

，對稱中心是

?

?.注：菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).相等

互相垂直

垂直平分

平分

軸對稱圖形

對角線所在的直線

中心對稱圖形

對角線

的交點

數(shù)學九年級上冊BS版典例講練02

（1）如圖，在菱形

ABC

D中，對角線

AC

，

B

D相交于點O.下列

說法：①

A

D∥

BC

；②O

A

＝O

C

；③

AC

⊥

B

D；④

AC

＝

B

D.

其中正確的是

（填序號）.①②③

【思路導航】利用菱形的性質(zhì)依次判斷即可.【解析】∵四邊形

ABCD

為菱形，∴

AD

∥

BC

，

OA

＝

OC

，

AC

⊥

BD

.

∴①②③的說法正確，④的說法錯誤.故答案為①②③.【點撥】（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊

形的一切特征.具體特征如下：①邊：對邊平行且四條邊相等；

②角：對角相等，鄰角互補；③對角線：互相垂直，互相平

分，每一條對角線都平分一組對角；④對稱性：菱形既是中心

對稱圖形，又是軸對稱圖形，它的對稱中心是對角線的交點，

它的對稱軸是對角線所在的直線.（2）菱形的周長等于邊長的4

倍.（3）如果菱形的一個內(nèi)角為60°，那么這個菱形的兩邊與較

短的對角線可構(gòu)成等邊三角形.（2）菱形的兩條對角線把菱形分成

個全等的

?三

角形.【思路導航】設(shè)四邊形

ABC

D為菱形，由菱形的性質(zhì)結(jié)合全等

三角形的判定方法證明△

A

O

B

≌△

C

O

B

≌△

C

OD≌△

A

OD，

即可得出結(jié)論.四

直角

【解析】如圖，設(shè)四邊形

ABCD

為菱形.∵四邊形

ABCD

是菱形，∴

AB

＝

BC

＝

CD

＝

DA

，

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

，

AC

⊥

BD

.

∴∠

AOB

＝∠

BOC

＝∠

COD

＝∠

DOA

＝90°.

∴△

AOB

≌△

COB

（SSS）.同理，得△

COB

≌△

COD

，△

COD

≌△

AOD

.

∴△

AOB

≌△

COB

≌△

COD

≌△

AOD

.

故答案為四，直角.【點撥】菱形是特殊的平行四邊形，它的“特殊”主要體現(xiàn)在

它的“軸對稱性”.

1.下列性質(zhì)中，菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是

（

C

）A.對邊平行且相等B.對角線互相平分C.每條對角線平分一組對角D.對角互補C2.如圖，在菱形

ABC

D中，已知∠D＝130°，則∠1的度數(shù)

為

?.25°

如圖，已知四邊形

ABC

D是菱形，周長為20cm

，點O是兩條對

角線的交點，

A

O＝3cm

，求菱形兩條對角線的長.【思路導航】由菱形對角線互相垂直平分和勾股定理可以計算

出

B

O的長，繼而得到對角線

B

D的長.

【點撥】菱形的兩條對角線將菱形分成四個全等的直角三角

形，通常將菱形問題中求相關(guān)線段的長轉(zhuǎn)化為求直角三角形中

相關(guān)線段的長，再利用勾股定理計算.

如圖，在菱形

ABC

D中，已知點E是

AB

的中點，且DE⊥

AB

于點

E，

AB

＝4cm

，求對角線

AC

的長.解：如答圖，連接

BD

，與

AC

交于點

O

.

∵四邊形

ABCD

是菱形，∴

AD

＝

AB

，

BD

⊥

AC

，

AO

＝

CO

，

DO

＝

BO

.

∵點

E

是

AB

的中點，∴

AE

＝

BE

.

又∵

DE

⊥

AB

，∴

AD

＝

BD

.

∴

AD

＝

BD

＝

AB

＝4cm

.答圖

在Rt△

AOB

中，由勾股定理，得

答圖答圖

如圖，已知菱形

ABC

D的邊長為6，∠

B

＝60°，點E，F(xiàn)分別是

邊

BC

，

C

D上的動點（不與端點重合），且∠E

A

F＝60°.（1）求證：△

A

EF是等邊三角形.（2）在點E，F(xiàn)的運動過程中，四邊形

A

E

C

F的面積是否變

化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不變，請求出四邊形

A

E

C

F的面積.【思路導航】（1）連接

AC

，證明△

BA

E≌△

CA

F（

ASA

），

推出

A

E＝

A

F，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)△

BA

E≌△

CA

F，將

四邊形

A

E

C

F的面積轉(zhuǎn)化為△

ABC

的面積，從而計算出面積為

定值.（1）證明：如圖，連接

AC

.

∵四邊形

ABCD

是菱形，∴∠

D

＝∠

B

＝60°，

AB

＝

BC

＝

CD

＝

AD

.

∴△

ABC

，△

ACD

都是等邊三角形.∴

AB

＝

AC

，∠

B

＝∠

BAC

＝∠

ACD

＝∠

EAF

＝60°.∴∠

BAE

＝∠

CAF

.

∴△

BAE

≌△

CAF

（

A

S

A

）.∴

AE

＝

AF

.

又∵∠

EAF

＝60°，∴△

AEF

是等邊三角形.（2）解：四邊形

AECF

的面積不發(fā)生變化.理由如下：由（1）

知，△

BAE

≌△

CAF

，

如圖，過點

A

作

AH

⊥

BC

于點

H

.

∵菱形

ABCD

的邊長為6，∠

B

＝60°，∴

BH

＝3.

【點撥】（1）菱形的對角線把菱形分成兩個全等的等腰三角

形.當菱形中出現(xiàn)60°或120°的角時，常常需要連接較短的對角線

構(gòu)造等邊三角形，進而利用全等三角形的性質(zhì)解決問題.（2）

對于動態(tài)非特殊四邊形

AECF

的面積，常常連接對角線，利用

等面積法轉(zhuǎn)化為固定圖形的面積求解.

已知四邊形

ABC

D是菱形，

AB

＝4，∠

ABC

＝60°，∠

MAN

的兩

邊分別與射線

CB

，D

C

相交于點E，F(xiàn)，且∠

MAN

＝60°.（1）如圖1，當點E是線段

CB

的中點時