2025年高考數(shù)學復習核心考點全題型突破（新教材新高考）第04講 雙曲線（含直線與雙曲線的位置關系）（解析版）

第04講雙曲線（含直線與雙曲線的位置關系）目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：雙曲線定義 1題型二：雙曲線中的焦點三角形問題 4題型三：雙曲線的離心率 8題型四：雙曲線中的漸近線問題 14題型五：直線與雙曲線的位置關系判斷 18題型六：雙曲線中點弦問題 21題型七：雙曲線弦長（面積）問題 24題型八：雙曲線中定點、定值問題 30題型九：雙曲線中定直線問題 39題型十：雙曲線中向量問題 45題型一：雙曲線定義典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的下、上焦點分別為，，是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為雙曲線的下、上焦點分別為，，所以設雙曲線的方程為，半焦距為；又因為是雙曲線上一點且，所以，即，則；所以雙曲線的標準方程為.故選：C.例題2．（2023秋·高二課時練習）已知動點滿足，則動點P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左支C．雙曲線右支 D．一條射線【答案】C【詳解】解：因為的幾何意義是動點到點與的距離之差為2，又因為，所以由雙曲線的定義，知動點P的軌跡是雙曲線右支．故選：C例題3．（2023·全國·高二隨堂練習）在相距2000m的兩個觀察站A，B先后聽到遠處傳來的爆炸聲，已知A站聽到的時間比B站早4s，聲速是340m/s．建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，判斷爆炸點可能分布在什么樣的軌跡上，并求該軌跡的方程．【答案】爆炸點在以為焦點的雙曲線上（左半支），軌跡方程為【詳解】如圖，以的中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，則，

設爆炸點為，由題意可得：，所以爆炸點在以為焦點的雙曲線上（左半支），設雙曲線的焦距為，實軸長為，虛軸長為，可得，則，所以爆炸點的軌跡方程為.精練核心考點1．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第一中學校考期末）設橢圓的離心率為，焦點在軸上且長軸長為26，若曲線上的點到橢圓的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】在橢圓中，由題知，解得，所以橢圓的焦點為，，因為曲線上的點到，的距離的差的絕對值等于8，且，所以曲線是以，為焦點，實軸長為8的雙曲線，所以曲線的虛半軸長為，故的標準方程為：.故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線上一點P到焦點的距離為9，則它到另一個焦點的距離為（

）A．15 B．5 C．3或5 D．3或15【答案】D【詳解】由雙曲線的定義可知，而，所以，或，由，雙曲線上的點到焦點的距離最小值為，顯然和都符合題意，故選：D3．（2023·全國·高二課堂例題）已知，動點P滿足，求動點P的軌跡方程．【答案】【詳解】因為，所以根據(jù)雙曲線的定義可知，一定在1，2且焦點在x軸上的雙曲線的右支上，則，這就是說，點P的坐標一定滿足．另一方面，由可知，因此P的橫坐標要大于零，從而可知P的軌跡方程為．題型二：雙曲線中的焦點三角形問題典型例題例題1．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的左焦點為，過原點的直線與的右支交于點，若為等腰三角形，則點到軸的距離為（

）A． B． C．3 D．5【答案】A【詳解】設雙曲線的右焦點為，由題意可得，連接，則有，，若為等腰三角形，則（線段與顯然不相等），所以，又為的中點，所以，則有．由雙曲線的定義得，所以，設點到軸的距離為，則．故選：A．例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線：的左?右焦點分別是，，是雙曲線上的一點，且，，，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設雙曲線的半焦距為.由題意，點在雙曲線的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根據(jù)雙曲線定義得，解得，故雙曲線的離心率.故選：D例題3．（2023·全國·高二隨堂練習）已知雙曲線的焦點為，，點M在雙曲線上，且軸，求到直線的距離.【答案】【詳解】

由題可得，，所以,設，則，解得,由于對稱性，不妨取，所以根據(jù)雙曲線的定義可得，，解得，設到直線的距離為，在直角三角形中，，所以.精練核心考點1．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，直線與交于，兩點，，且的面積為，則的離心率是（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【詳解】如圖，若在第一象限，因為，所以，由圖形的對稱性知四邊形為矩形，因為的面積為，所以，又因為，所以，，在中，，解得．

故選：B2．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習）設、分別是雙曲線：的左、右兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的面積為（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【詳解】由，所以是以原點為圓心，為半徑的圓與雙曲線的交點，又，即它們也在點所在的圓上，且為直徑，所以為直角三角形，，

如上圖，，且，所以，則，故的面積為.故選：A3．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中?？茧A段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，為雙曲線右支上一點，且滿足，則的周長為.【答案】/【詳解】由題意可得，，，，，為雙曲線右支上一點，，又，，則的周長為．故答案為：．

題型三：雙曲線的離心率典型例題例題1．（2023秋·四川成都·高三校考階段練習）已知，是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】設，雙曲線的半焦距為c，則有，，，于是，因此，當且僅當時取等號，則，即，離心率，所以雙曲線離心率的最小值為.故選：D例題2．（2023·全國·高三專題練習）設，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，點M在x軸上，，平分，則C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】

可知，，得設，則，由雙曲線的定義可知：.因為平分，所以，故，又，即有，，，，，在，中，由余弦定理可得，，，由，可得.故選：C.例題3．（多選）（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的上焦點為，過焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點，若，則的離心率可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】當時，兩漸近線的斜率為，此時直線與另一漸近線平行，不滿足題意.當時，如圖1所示，

.，又，解得，，，，即漸近線的斜率為，當時，如圖2所示，設與軸交于點P，

，，又，解得，即漸近線的斜率為，綜上，雙曲線的離心率為或.故選：AC.例題4．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線C：，過其右焦點F作直線交雙曲線C的漸近線于A，B兩點，其中點A在第一象限，點B在第四象限.設為坐標原點，若的面積為面積的2倍，且，則雙曲線C的離心率為.【答案】【詳解】雙曲線的焦點為，漸近線方程為，依題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，由解得，即，同理可求得，由于的面積為面積的2倍，所以，，解得，此時，由于，所以①，由于，所以①可化為，兩邊除以得，即.故答案為：精練核心考點1．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點，直線與軸交于點，點在的右支上，且滿足，則的離心率為（

）A． B．2C． D．【答案】D【詳解】由題意知直線的方程為，令，得，所以．又因為，不妨設，所以有，解得，所以，將其代入雙曲線方程，化簡得，解得或（舍去），所以的離心率．故選：D.2．（2023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學?？茧A段練習）已知雙曲線：，是直線上任意一點，若圓與雙曲線的右支沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即，則直線與直線的距離為，因為點是直線上任意一點，且圓與雙曲線的右支沒有公共點，所以，即，得離心率，因為，所以雙曲線的離心率的取值范圍為，故選：A.3．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過雙曲線上一點向軸作垂線，垂足為，若且與垂直，則雙曲線的離心率為.【答案】【詳解】設雙曲線焦距為，不妨設點在第一象限，由題意知，由且與垂直可知，四邊形為菱形，且邊長為，而為直角三角形，，

故，則，則，故，即離心率.故答案為:.4．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，坐標原點為，若在雙曲線右支上存在一點滿足，且，則雙曲線的離心率為.【答案】【詳解】如圖，因為，所以，所以，則，，，解得.故答案為：

題型四：雙曲線中的漸近線問題典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的離心率為，若點與點都在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由點在雙曲線上，得，則，即，整理得，解得或，當時，，此時方程無解，當時，，而，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：B例題2．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習）雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線傾斜角可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于雙曲線的漸近線為，且注意到雙曲線的離心率為，又在雙曲線中有平方關系：，所以離心率為，又由題意，所以有，解得，即雙曲線的漸近線的斜率為，由直線斜率和傾斜角的關系可知此雙曲線的漸近線的傾斜角可以是或.故選：B.例題3．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，已知，為雙曲線的焦點，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且，則雙曲線的漸近線方程為.

【答案】【詳解】設，，則，解得，∴.在中，，則①.由雙曲線的定義，得②.由①②得.∵，∴，即.∴.∴雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.精練核心考點1．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學?？茧A段練習）過原點的直線l與雙曲線E：交于A，B兩點（點A在第一象限），交x軸于C點，直線BC交雙曲線于點D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為直線過原點，所以關于原點對稱，設，因為與軸垂直，所以，設，則，而所以，，所以，所以漸近線方程為.故選：D

2．（2023·全國·高二專題練習）過雙曲線的左焦點F作C的其中一條漸近線的垂線l，垂足為M，l與C的另一條漸近線交于點N，且，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，設雙曲線右焦點為，OM，ON為雙曲線的兩條漸進線.由題意可知，，又，則M為FN中點，則為等腰三角形，則，又，則.所以雙曲線的漸進線方程為：.故選：B

3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】作于點，如圖所示，

因為，所以為的中點，由雙曲線的定義知|，所以，故，因為，所以，即，得，所以，得，故雙曲線的漸近線方程為，即.故選：B題型五：直線與雙曲線的位置關系判斷典型例題例題1．（2023春·福建泉州·高二?？茧A段練習）已知點和雙曲線，過點且與雙曲線只有一個公共點的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．無數(shù)條【答案】A【詳解】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，點是雙曲線的頂點.①若直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，直線與雙曲線只有一個公共點，合乎題意；②若直線的斜率存在，則當直線平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點.若直線的斜率為，則直線的方程為，此時直線為雙曲線的一條漸近線，不合乎題意.綜上所述，過點與雙曲線只有一個公共點的直線共有條.故選：A.例題2．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的交點分別在兩支上，求的范圍．【答案】【詳解】聯(lián)立雙曲線、直線方程，消去整理得，由題意，設方程的兩根為，則，解得．故答案為：

例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線，直線，試確定實數(shù)k的取值范圍，使：(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；(3)直線l與雙曲線沒有公共點．【答案】(1)或或；(2)或(3)或【詳解】（1）聯(lián)立，消整理得，（*）因為直線l與雙曲線C有兩個公共點，所以，整理得解得：或或.（2）當即時，直線l與雙曲線的漸近線平行，方程（*）化為，故方程（*）有唯一實數(shù)解，即直線與雙曲線相交，有且只有一個公共點，滿足題意．當時，因為直線l與雙曲線C僅有一個公共點，則，解得；綜上，或.（3）因為直線l與雙曲線C沒有公共點，所以，解得：或.精練核心考點1．（2023·全國·高二專題練習）已知直線與曲線僅有三個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得曲線，即，可得；當時得到即；當時得到；由以上可得曲線的如圖中所示，易知直線與雙曲線的一條漸近線平行；把直線向上平移到點時，即與曲線有兩個交點，此時；繼續(xù)向上平移至與半橢圓相切前有3個交點．當直線與橢圓的上半部分相切時，聯(lián)立直線與橢圓的方程代入整理得即或（舍），由圖示可得；綜上可知.故選：C2．（2023·河南·開封高中?？寄M預測）已知雙曲線的方程為，點、分別在的左支和右支上，則直線斜率的取值范圍是．【答案】【詳解】設點、，則，則直線的斜率為存在，設直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，解得.因此，直線的斜率的取值范圍是.故答案為：.題型六：雙曲線中點弦問題典型例題例題1．（2023秋·高二課時練習）設A，B為雙曲線右支上的兩點，若線段AB的中點為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，則有，兩式相減，得，因為線段AB的中點為，所以，因此由，即直線AB的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因為，所以線段AB存在，故選：C例題2．（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】B【詳解】由F、N兩點的坐標得直線l的斜率．∵雙曲線一個焦點為(-2，0)，∴c=2．設雙曲線C的方程為，則．設，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．例題3．（2023·全國·高二隨堂練習）已知雙曲線，過點的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？為什么？【答案】不能，證明見解析.【詳解】當直線l垂直x軸時，因為過點，所以直線l方程為x=1，又雙曲線，右頂點為（1,0）在直線l上所以直線l與雙曲線只有一個交點，不滿足題意；當直線l不垂直x軸時，斜率存在，設，且，因為A、B在雙曲線上，所以，兩式相減可得，所以，若點為線段AB的中點，則，即，代入上式，所以，則直線l的斜率，所以直線l的方程為，即，將直線l與雙曲線聯(lián)立，可得，，故方程無解所以不存在這樣的直線l，綜上，點P不能是線段AB的中點.精練核心考點1．（2023·全國·高二專題練習）過點作斜率為1的直線，交雙曲線于A，B兩點，點M為AB的中點，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設點，則有，兩式做差后整理得，由已知，，又，，得故選：B2．（2023·全國·高三專題練習）已知傾斜角為的直線l與雙曲線C：交于A，B兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求直線l的方程．【答案】【詳解】設，，中點的坐標為，則①，②，②－①得，，即，又，所以，所以直線l的方程為，即.聯(lián)立，得，則，綜上，直線l的方程為.3．（2023·全國·高二隨堂練習）已知雙曲線，過點作直線交雙曲線于，，若線段的中點在直線上，求直線的斜率．【答案】【詳解】由題意可設的方程為，聯(lián)立，消去整理得．顯然，設，，則，解得，由解得，顯然不適合，適合，所以．

題型七：雙曲線弦長（面積）問題典型例題例題1．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國語學校?？茧A段練習）已知雙曲線，焦點到漸近線的距離為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于兩點，若，求的值．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由雙曲線方程知：漸近線方程為，設焦點坐標為，焦點到漸近線的距離，又離心率，，解得：，雙曲線的方程為：.（2）由得：，則，解得：且，設，則，，，即，解得：或，均滿足且，或.例題2．（2023·全國·高二專題練習）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，是上一點，線段與交于點.(1)證明：；(2)若的面積為8，求直線的斜率.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意在雙曲線左支上，在右支上，令且，而，則線段中點為，又，則，所以，則中點在雙曲線上或外部，即，僅當重合時等號成立，故.（2）若，則，令，，聯(lián)立雙曲線，則，而，則，，所以，故，可得（負值舍），所以，故直線斜率為.例題3．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學?？奸_學考試）已知雙曲線C：的左右焦點分別為，，右頂點為，點，，．(1)求雙曲線的方程；(2)直線經(jīng)過點，且與雙曲線相交于，兩點，若的面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或.【詳解】（1）解：由題意可得：，，，解得，，，所以雙曲線的方程為.（2）解：由題意可知，直線的斜率不為0，設：，設，，聯(lián)立，消，得，由，解得，則.所以，所以的面積，由，整理得，解得，，所以直線的方程為或.精練核心考點1．（2023秋·山東青島·高三統(tǒng)考開學考試）已知為坐標原點，，，直線，的斜率之積為4，記動點的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線經(jīng)過點，與交于，兩點，線段中點為第一象限，且縱坐?為，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設點的坐標為，因為，，所以，化簡得：所以的方程為：.（2）當直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；

設，，直線方程為，與聯(lián)立得：，由且，解得且，由韋達定理得，因為線段中點在第一象限，且縱坐標為，所以，解得或（舍去），所以直線為，所以，所以，點到直線的距離，所以.2．（2023·全國·高一專題練習）已知雙曲線與有相同的漸近線，為上一點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)設雙曲線的左、右焦點分別為、，過且傾斜角為的直線與相交于、兩點，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設雙曲線的方程為，將點代入方程中得，所以雙曲線的方程為，即雙曲線的方程為.（2）解：在雙曲線中，，，則，則，所以直線的方程為，設點、，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，則，所以，.3．（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？计谀┮阎p曲線：與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點.(1)求雙曲線的方程；(2)已知雙曲線的左?右焦點分別為，，直線經(jīng)過，傾斜角為，與雙曲線交于兩點，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，設所求雙曲線方程為，代入點得，即，所以雙曲線方程為，即．（2）由（1）得，則，，，又直線傾斜角為，則，故直線的方程為，設，，聯(lián)立，消去，得，則，，，由弦長公式得，又點到直線的距離，所以．題型八：雙曲線中定點、定值問題典型例題例題1．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學校?？茧A段練習）已知點在雙曲線上．(1)點，為的左右頂點，為雙曲線上異于，的點，求的值；(2)點，在上，且，，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．【答案】(1);(2)證明見解析.【詳解】（1）解：因為點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線，則．設點坐標為，則，所以．因為點在曲線上，所以，所以，所以的值為．（2）證明：依題意，直線的斜率存在，故設其方程為，設，聯(lián)立，消得，顯然，否則不可能有兩個交點，，由韋達定理得，因為直線的斜率之積為，所以，所以，即，所以有，將韋達定理代入化簡得，而當，此時直線為，易知恒過定點，故舍去，所以，此時滿足且直線過定點，（如圖所示）

又因為為垂足，所以為直角三角形，為直角，所以當點為斜邊的中點時，為定值．綜上所述，存在定點，使得為定值．例題2．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開學考試）如圖，已知點和點在雙曲線上，雙曲線的左頂點為，過點且不與軸重合的直線與雙曲線交于，兩點，直線，與圓分別交于，兩點.

(1)求雙曲線的標準方程；(2)設直線，的斜率分別為，，求的值；(3)證明：直線過定點.【答案】(1)(2)(3)直線過定點,證明見解析.【詳解】（1）因為點和點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線的標準方程為.（2）由題可知，直線的斜率不等于零，故可設直線的方程為，設，聯(lián)立，整理得，若，即，直線的斜率為，與漸近線平行，此時直線與雙曲線有且僅有一個交點，不滿足題意，所以，所以，，因為,所以，所以.（3）（i）當軸時，且，所以，則，聯(lián)立，整理得，即，解得或，當時，，所以，由于對稱性，，此時直線過定點；（ii）當不垂直于軸時，以下證明直線仍過定點設為，因為，所以聯(lián)立，即，所以，解得或，當時，，所以,同理，將上述過程中替換為可得，所以，，因為，所以，所以，所以三點共線，即此時直線恒過定點，綜上直線過定點.例題3．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的左、右頂點分別為、，為雙曲線上異于、的任意一點，直線、的斜率乘積為．雙曲線的焦點到漸近線的距離為1．(1)求雙曲線的方程；(2)設不同于頂點的兩點、在雙曲線的右支上，直線、在軸上的截距之比為．試問直線是否過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)過定點，定點坐標為【詳解】（1）設，由可得，又，，又焦點到其一條漸近線的距離為，解得：．所以雙曲線的方程：.（2）設直線的方程為，如圖，

由得，，，直線，則直線在軸上的截距為，直線，則直線在軸上的截距為，由題得：，又，所以．所以，則，，，，化簡得：或．若，直線過頂點，舍去．．則直線的方程為，所以直線過定點．精練核心考點1．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學校?？茧A段練習）已知雙曲線的焦距為，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的標準方程；(2)點是雙曲線上異于點的兩點，直線與軸分別相交于兩點，且，求證：直線過定點，并求出該定點坐標.【答案】(1)(2)證明見解析，定點【詳解】（1）由題意知，解得，，，雙曲線的方程為.（2）證明：設直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，得，則，，所以直線方程為，令，則，同理直線方程為，令，則，由，可得，即，即，即，即，即，即，即，當時，，此時直線方程為，恒過定點，不符合題意；當時，直線方程為，恒過定點符合題意，綜上所述，直線過定點.

2．（2023·全國·高二專題練習）雙曲線C：的左頂點為A，焦距為4，過右焦點F作垂直于實軸的直線交雙曲線C于B，D兩點，且是直角三角形．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)M，N是C右支上的兩動點，設直線AM，AN的斜率為k1，k2，若，試問：直線MN是否經(jīng)過定點？證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)過定點，理由見解析【詳解】（1）根據(jù)題意可得，，半焦距，則當時，，，所以，所以，由，得，所以，，解得或（舍去），所以，所以雙曲線方程為，（2）由題意可知直線的斜率不為零，所以設直線為，設，由，得，由，得，所以，由（1）知，所以，因為，所以，所以，所以，化簡得，所以，所以，化簡得，解得或，因為M，N是C右支上的兩動點，所以，所以，所以直線的方程為，所以直線恒過定點

3．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知直線與雙曲線的右支交于不同的兩點和，與軸交于點，且直線上存在一點滿足（不與重合）．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：當變化時，點的縱坐標為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1）將直線方程代入雙曲線方程，化簡整理得，，要使直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點A和B，則應滿足，解得；（2）設，

則由（1）知：.由，得：，所以.又，所以點D的縱坐標為定值.題型九：雙曲線中定直線問題典型例題例題1．（2023春·黑龍江·高三校聯(lián)考開學考試）已知雙曲線Γ：，，為Γ的左、右頂點，為Γ上一點，的斜率與的斜率之積為．過點且不垂直于x軸的直線l與Γ交于M，N兩點．(1)求Γ的方程；(2)若點E，F(xiàn)為直線上關于x軸對稱的不重合兩點，證明：直線ME，NF的交點在定直線上．【答案】(1)；(2)詳見解析.【詳解】（1）由題意得，又為Γ上一點，的斜率與的斜率之積為，所以，解得，所以雙曲線Γ的標準方程為；（2）設直線MN的方程為，由，可得，則，，設，，，，，所以，直線：，：，聯(lián)立兩方程，可得：，解得，當直線與x軸重合時，則，：，：，聯(lián)立可得，綜上，直線ME與NF的交點在定直線上.例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線過點，離心率為，直線交軸于點，過點作直線交雙曲線于兩點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若是線段的中點，求直線的方程；(3)設是直線上關于軸對稱的兩點，直線與的交點是否在一條直線上？請說明你的理由.【答案】(1)(2)或(3)直線PM與QN的交點在定直線，理由見解析【詳解】（1）由題意得：，，.解得，，所以雙曲線的標準方程為.（2）方法1：設，則依題意有解得，所以直線的方程為或.方法2：設直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得：.當時設，，得，.又因為，所以，，解得.此時，所以直線MN的方程為或.（3）方法1：設，，直線PM的方程為，直線ON的方程，聯(lián)立兩方程，可得①結(jié)合（2）方法2，可得代入①得故.所以直線PM與QN的交點在定直線上.方法2設直線MN的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得：.設，，，，由根與系數(shù)的關系，得，.：，：，聯(lián)立兩方程，可得：，解得所以直線PM與QN的交點在定直線上.精練核心考點1．（2023春·云南紅河·高三開遠市第一中學校?？茧A段練習）設雙曲線，其虛軸長為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點的動直線與雙曲線的左右兩支曲線分別交于點、，在線段上取點使得，證明：點落在某一定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：設雙曲線，其虛軸長為，且離心率為，∴，，∵，∴，，∴雙曲線的方程為．（2）解：設點，A，的坐標分別為，，，且，∵，∴，即，①設直線的方程為，②將②代入中整理，得，∴，，代入①，整理可得，得，聯(lián)立②消得，∴點落在某一定直線上．2．（2023秋·全國·高二期中）已知點A為圓上任意一點，點的坐標為，線段的垂直平分線與直線交于點．(1)求點的軌跡的方程；(2)設軌跡E與軸分別交于兩點（在的左側(cè)），過的直線與軌跡交于兩點，直線與直線的交于，證明：在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由得，其半徑為4，因為線段的垂直平分線與直線交于點，

故，則,而，故點的軌跡為以為焦點的雙曲線，則，故點的軌跡的方程為.（2）證明：由題意知，

若直線l斜率為0，則其與雙曲線的交點為雙曲線的兩頂點，不合題意；故直線l的斜率不能為0，故設其方程為，聯(lián)立，得，，故，設，則直線的方程為，直線的方程為，故，則，即，解得，故直線與直線的交點在定直線上