2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題技巧方法第一章第14節(jié)洛必達(dá)法則教師版

洛必達(dá)法則學(xué)問(wèn)與方法在有的問(wèn)題中，我們要探討函數(shù)的圖象，但函數(shù)存在沒(méi)有定義的點(diǎn)，代入解析式計(jì)算函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)諸如、的不定式，從而無(wú)法用初等的方法探討函數(shù)在該點(diǎn)旁邊的圖象走勢(shì).例如，在探討函數(shù)在旁邊的圖象時(shí)，初等代數(shù)的方法就會(huì)顯得手足無(wú)措，此時(shí)，我們須要用到高等代數(shù)中的一個(gè)重要定理：洛必達(dá)法則.1．洛必達(dá)法則：設(shè)函數(shù)與在上存在導(dǎo)數(shù)，，且或，，其中a為有限值或無(wú)窮大，則（其中表示從的右側(cè)無(wú)限靠近，類似的，表示從的左側(cè)無(wú)限靠近）類似的，對(duì)于左側(cè)極限，也有相應(yīng)的結(jié)論：洛必達(dá)法則給了我們一種求極限的簡(jiǎn)便方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)的范疇，一般來(lái)說(shuō)，洛必達(dá)法則的條件都能夠滿意，因此，假如遇到型、型的不定式，就可以把分子分母分別求導(dǎo)，再求極限，所得的結(jié)果與原來(lái)的極限值是相等的.下面我們來(lái)考慮時(shí)，式的極限值，留意到該式的分子，分母，屬于型的不定式，分子分母在旁邊都能求導(dǎo)，所以兩者相除所得的極限值等于分子分母分別求導(dǎo)之后再相除求極限所得值，即.假如我們要作出函數(shù)的圖象，可以先求導(dǎo)探討其單調(diào)性，再作草圖.易求得，令，則，明顯，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，所以在和上均為減函數(shù)，雖然在處沒(méi)有定義，但我們已經(jīng)求出了它在時(shí)的極限，再求出當(dāng)、時(shí)的極限值，，據(jù)此就可以作出函數(shù)的草圖，如下圖所示.洛必達(dá)法則在高等代數(shù)中的應(yīng)用特別廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)里，我們也可以用它來(lái)解決一些簡(jiǎn)潔的求極限問(wèn)題.下面通過(guò)一些實(shí)例來(lái)感受洛必達(dá)法則的作用.提示：①若用了一次洛必達(dá)法則后，仍舊滿意洛必達(dá)法則的運(yùn)用條件，那么可以再用洛必達(dá)法則，直到不滿意洛必達(dá)法則的運(yùn)用條件為止；②在解答題中運(yùn)用洛必達(dá)法則，存在被扣分的風(fēng)險(xiǎn)，所以本節(jié)的例題和強(qiáng)化訓(xùn)練，我們都只選取小題.解答題中運(yùn)用洛必達(dá)法則的方法和小題中類似；③同學(xué)們提前了解洛必達(dá)法則，主要目的是學(xué)習(xí)一個(gè)新的探討函數(shù)的工具，能夠站在更高處，更為透徹地看待問(wèn)題，不應(yīng)當(dāng)是為了用它投機(jī)取巧，反而忽視了中學(xué)數(shù)學(xué)中本該重點(diǎn)學(xué)習(xí)的初等方法.典型例題【例1】若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】明顯，所以0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，從而當(dāng)時(shí)，應(yīng)還有1個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，，設(shè)，則，令，則，，所以，，從而在上，在上，又，所以恒成立，從而在R上，而，所以當(dāng)時(shí)，，從而，當(dāng)時(shí)，，從而，故在和都是增函數(shù)，由洛必達(dá)法則，，，所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)共有2個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【例2】若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)隨意的實(shí)數(shù)a都成立，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于,令，則，令，則，所以在上，又，所以，從而，所以在上，由洛必達(dá)法則，，所以要使恒成立，只需，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★★★）若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是________.【解析】明顯是函數(shù)的1個(gè)零點(diǎn)：當(dāng)且時(shí)，，所以共有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線與函數(shù)（且）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，令（且），則，令，則令，則,所以，，從而在上，在上，又，所以恒成立，從而，故在上，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，從而，所以在上，在上，由洛必達(dá)法則，，，，所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故a的取值范圍是.【答案】2.（★★★★）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】明顯當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)隨意的a都成立，當(dāng)時(shí)，，令，則恒成立，，令，則，，所以在上，又，所以，從而在上，結(jié)合知，故，所以在上，由洛必達(dá)法則，，從而要使恒成立，需滿意.【答案】3.（★★★★）若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】明顯當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)隨意的a都成立，當(dāng)時(shí)，，從而要使恒成立，首先，恒成立，所以①，此時(shí)，，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上，又，所以恒成立，從而，故在上，因?yàn)?，所以恒成立，從而，故在上，由洛必達(dá)法則，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，結(jié)合①可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】4.（★★★★）不等式對(duì)隨意的成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】，令，則，令，則，，易證當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，從而，故在上，又，所以恒成立，故在上，結(jié)合可得恒成立，