2025版新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)五十二數(shù)學(xué)建模案例三周期問(wèn)題湘教版必修第二冊(cè)

課時(shí)作業(yè)(五十二)數(shù)學(xué)建模案例(三)：周期問(wèn)題海水受日月的引力，在肯定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常狀況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深(單位：m)記錄表．時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深5.07.55.02.55.07.55.02.55.0(1)選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似地描述這個(gè)港口的水深值與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)水深的近似數(shù)值；(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4m，平安條例規(guī)定至少要有1.5m的平安間隙(船底與海底的距離)，該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能停多久？(3)某船的吃水深度為4m．平安間隙為1.5m，該船在2：00起先卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3m的速度減小，那么該船在什么時(shí)間必需停止卸貨，將船駛向較深的水域？課時(shí)作業(yè)(五十二)數(shù)學(xué)建模案例(三)：周期問(wèn)題解析：(1)將這個(gè)港口的水深值與時(shí)間的關(guān)系表用Excel作出散點(diǎn)圖，以時(shí)間為x軸，以水深值為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如下圖所示．經(jīng)視察，發(fā)覺(jué)散點(diǎn)的改變規(guī)律比較符合正弦型函數(shù)圖象改變規(guī)律．設(shè)y＝Asin(ωx＋φ)＋h，明顯A＝2.5，ω＝eq\f(π,6)，φ＝0，h＝5，所以函數(shù)解析式為y＝2.5sineq\f(πx,6)＋5，所以整點(diǎn)時(shí)水深的近似數(shù)值如下表所示．時(shí)間0：001：002：003：004：005：006：00水深值5.006.257.177.507.176.255.00時(shí)間7：008：009：0010：0011：0012：0013：00水深值3.752.832.502.833.755.006.25時(shí)間14：0015：0016：0017：0018：0019：00水深值7.177.507.176.255.003.75時(shí)間20：0021：0022：0023：0024：00水深值2.832.502.833.755.00(2)貨船的吃水深度為4m．加上平安間隙1.5m，水深值要大于5.5m，即y＝2.5sineq\f(πx,6)＋5>5.5，用軟件作出函數(shù)y＝2.5sineq\f(πx,6)＋5和y＝5.5的圖象，找到四個(gè)交點(diǎn)A，B，C，D，如下圖所示．通過(guò)菜單度量四個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為xA＝0.38，xB＝5.62，xC＝12.38，xD＝17.62，即分別對(duì)應(yīng)的時(shí)刻約為00：23，5：37，12：23，17：37.因此，該船在00：23至5：37或12：23至17：37能平安進(jìn)港．若欲于當(dāng)天平安離港，每次在港內(nèi)最多停留5h14min.(3)設(shè)在時(shí)刻x該船平安水深為z，則z＝4＋1.5－0.3(x－2)(x≥2)，這時(shí)水深y＝2.5sineq\f(πx,6)＋5.若使該船平安，則4＋1.5－0.3(x－2)≤2.5sineq\f(πx,6)＋5，即6.1－0.3x≤2.5sineq\f(πx,6)＋5.如下圖所示，由Excel畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，得到