適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)檢測四十古典概型新人教A版必修第二冊

PAGE四十古典概型(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分)1．(多選題)下列試驗是古典概型的為()A．從6名同學(xué)中選出4人參與數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性大小相等B．同時擲兩顆骰子，點數(shù)和為6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率【解析】選ABD.A，B，D是古典概型，因為符合古典概型的定義和特點．C不是古典概型，因為不符合等可能性．2．王先生的微信密碼是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的數(shù)字組成的六位數(shù)(數(shù)字可重復(fù))，由于長時間未登錄，遺忘了密碼的最終一個數(shù)字，假如王先生登錄微信時密碼的最終一個數(shù)字隨意選取，那么恰好能登錄的概率是()A．eq\f(1,105)B．eq\f(1,104)C．eq\f(1,102)D．eq\f(1,10)【解析】選D.只考慮最終一位數(shù)字即可，從0至9這10個數(shù)字中隨機(jī)選擇一個作為密碼的最終一位數(shù)字有10種可能，選對只有一種可能，所以選對的概率是eq\f(1,10).3．從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參與演講競賽，則甲、乙都當(dāng)選的概率為()A．eq\f(2,5)B．eq\f(2,10)C．eq\f(3,10)D．eq\f(3,5)【解析】選C.從五個人中選取三人，則試驗的樣本空間Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都當(dāng)選的結(jié)果有3種，故所求的概率為eq\f(3,10).4．一部三冊的小說，隨意排放在書架的同一層上，則第一冊和其次冊相鄰的概率為()A.eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)【解析】選C.試驗的樣本空間Ω＝{(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)}，共6個樣本點，事務(wù)“第一冊和其次冊相鄰”包含4個樣本點，故第一冊和其次冊相鄰的概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).5．一袋中裝有大小相同，且編號分別為1，2，3，4，5，6，7，8的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號之和不小于15的概率為()A．eq\f(1,32)B．eq\f(1,64)C．eq\f(3,32)D．eq\f(3,64)【解析】選D.用(i，j)表示第一次取得球編號i，其次次取得球編號j的一個樣本點(i，j＝1，2，3，…8).則全部樣本點的總數(shù)n＝64，其中取得兩個球的編號和不小于15的樣本點有(7，8)，(8，7)，(8，8)共3個，故所求的概率P＝eq\f(3,64).6．(2024·攀枝花高一檢測)從{1，2，3，4，5}中隨機(jī)選取一個數(shù)為a，從{1，2，3}中隨機(jī)選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是()A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)【解析】選D.設(shè)所取的數(shù)中b>a為事務(wù)A，假如把選出的數(shù)a，b寫成一數(shù)對(a，b)的形式，則試驗的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，共15個，事務(wù)A包含的樣本點有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3個，因此所求的概率P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).二、填空題(每小題5分，共10分)7．從3男3女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等)，則2名都是女同學(xué)的概率等于________．【解析】用A，B，C表示3名男同學(xué)，用a，b，c表示3名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的樣本空間Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，共15個，其中事務(wù)“2名都是女同學(xué)”包含樣本點的個數(shù)為3，故所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8．“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如2578)，在二位的“漸升數(shù)”中任取一數(shù)比37大的概率是________．【解析】十位是1的“漸升數(shù)”有8個，十位是2的“漸升數(shù)”有7個，…，十位是8的“漸升數(shù)”有1個；所以二位的“漸升數(shù)”有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個，以3為十位比37大的“漸升數(shù)”有2個，分別以4，5，6，7，8為十位的“漸升數(shù)”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15個，所以比37大的二位的“漸升數(shù)”共有2＋15＝17個，故在二位的“漸升數(shù)”中任取一數(shù)比37大的概率是eq\f(17,36).答案：eq\f(17,36)三、解答題9．(10分)袋中有2個標(biāo)號分別為1，2的白球和2個標(biāo)號分別為3，4的黑球．這4個球除顏色、標(biāo)號外完全相同，4個人按依次依次從中摸出1個球．(1)求樣本點的個數(shù)；(2)“最終一個人摸到黑球”包含幾個樣本點？【解析】(1)4個人按依次依次從袋中摸出1個球的全部可能結(jié)果用樹狀圖表示如圖所示：共24個樣本點；(2)“最終一個人摸到黑球”包含最終一人摸到3號或4號球，共12個樣本點．【補(bǔ)償訓(xùn)練】拋擲兩枚骰子求：(1)點數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率．(2)點數(shù)之和大于5小于10的概率．【解析】如圖樣本點與所描點一一對應(yīng)，共36個．(1)記“點數(shù)之和是4的倍數(shù)”的事務(wù)為A，從圖中可以看出，事務(wù)A包含的樣本點共有9個，即(1，3)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6).所以P(A)＝eq\f(1,4).(2)記“點數(shù)之和大于5小于10”的事務(wù)為B，從圖中可以看出，事務(wù)B包含的樣本點有20個，即(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3).所以P(B)＝eq\f(5,9).(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)【解析】選C.如圖可知，從5個點中選取2個點的全部狀況有(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10種，選取的2個點的距離不小于該正方形邊長的狀況有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6種，故所求概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).2．假如3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A．eq\f(3,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,10)D．eq\f(1,20)【解析】選C.從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，共有如下10個不同的結(jié)果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中構(gòu)成一組勾股數(shù)只有(3，4，5)，所以概率為eq\f(1,10).3．一個袋子中裝有編號分別為1，2，3，4的4個小球，現(xiàn)有放回地摸球，規(guī)定每次只能摸一個球，若第一次摸到的球的編號為x，其次次摸到的球的編號為y，構(gòu)成數(shù)對(x，y)，則全部數(shù)對(x，y)中滿意xy＝4的概率為()A．eq\f(3,16)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,18)D．eq\f(1,6)【解析】選A.由題意可知樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，所以n(Ω)＝16.滿意xy＝4為事務(wù)A，則樣本點為(1，4)，(2，2)，(4，1)，所以n(A)＝3.故所求事務(wù)的概率為eq\f(3,16).4．(2024·全國甲卷)將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為()A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8【解析】選C.列出全部狀況為：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10種狀況，其中2個0不相鄰的狀況有6種狀況，故所求概率為eq\f(6,10)＝0.6.二、填空題(每小題5分，共20分)5．甲、乙、丙三名奧運志愿者被隨機(jī)分到A，B兩個不同的崗位，且每個崗位至少1人，則甲、乙兩人被分到同一崗位的概率為________．【解析】全部可能的安排方式如表：A甲、乙甲、丙乙、丙甲乙丙B丙乙甲乙、丙甲、丙甲、乙則樣本空間共有6個樣本點，令事務(wù)M為“甲、乙兩人被分到同一崗位”，則事務(wù)M包含2個樣本點，所以P(M)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為__________．【解析】設(shè)袋中紅球用a表示，2個白球分別用b1，b2表示，3個黑球分別用c1，c2，c3表示，則試驗的樣本空間Ω＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，樣本空間的總數(shù)有15個，兩球顏色為一白一黑的樣本空間有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6個，所以其概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)7．有20張卡片，每張卡片上分別標(biāo)有兩個連續(xù)的自然數(shù)k，k＋1，其中k＝0，1，2，…，19.從這20張卡片中任取一張，記事務(wù)“該卡片上兩個數(shù)的各位數(shù)字之和(例如：若取到標(biāo)有9，10的卡片，則卡片上兩個數(shù)的各位數(shù)字之和為9＋1＋0＝10)不小于14”為A，則P(A)＝________．【解析】20張卡片任取一張，有20種取法，即樣本點有20個，所以n(Ω)＝20，其中兩個數(shù)的各位數(shù)字之和不小于14的有(7，8)，(8，9)，(16，17)，(17，18)，(18，19)，所以n(A)＝5.則P(A)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8.(2024·濟(jì)南高一檢測)某城市有8個商場A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H和市中心O排成如圖所示的格局，其中每個小方格為正方形，某人從網(wǎng)格中隨機(jī)地選擇一條最短路徑，欲從商場A前往商場H，則他經(jīng)過市中心O的概率為________．【解析】此人從商場A前往商場H的全部最短路徑有A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6條，其中經(jīng)過市中心O的有4條，所以所求概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)三、解答題(每小題10分，共20分)9．為了對某課題進(jìn)行探討，用分層隨機(jī)抽樣方法從三所高校A，B，C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成探討小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位：人).高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)A18xB362C54y(1)求x，y；(2)若從高校B，C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這2人都來自高校C的概率．【解析】(1)由題意可得eq\f(x,18)＝eq\f(2,36)＝eq\f(y,54)，所以x＝1，y＝3.(2)記從高校B抽取的2人為b1，b2，從高校C抽取的3人為c1，c2，c3，則從高校B，C抽取的5人中選2人作專題發(fā)言的樣本點有：(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10個．設(shè)“選中的2人都來自高校C”的事務(wù)為X，則事務(wù)X包含的樣本點有：(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共3個，因此P(X)＝eq\f(3,10).故選中的2人都來自高校C的概率為eq\f(3,10).10．將一顆質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲2次，視察向上的點數(shù)，并分別記為x，y.(1)若記“x＋y＝5”為事務(wù)A，求事務(wù)A發(fā)生的概率；(2)若記“x2＋