初中數(shù)學特殊角的三角函數(shù)強化練習

初中數(shù)學特殊角的三角函數(shù)強化練習

學校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.如圖，四邊形ABCD是。。的內接四邊形，AD^BC,若N84C=45。，NB=75。,

則下列等式成立的是（）

3

A.AB=2CDB.AB=辰口c.AB=jCDD.AB=6CD

2.及cos45。的值等于（）

A.\B.也C.星D,1

222

3.如圖，在AABC中，NC=45。，tanNB=6,AOLBC于點。，AC=2>/6，若E、F

分別為AC、BC的中點，則EF的長為（）

A.—B.2c.73D.-Je

3

4.如圖，有等間距的四條平行線且相鄰兩條平行線間的距離是3,含30。角的直角三

角板三個頂點4、B、C,分別在平行線上，則tanN3AD=（）

C

AD

5.如圖，在正六邊形A88E廠的內部以8為邊作正方形CDGT,連接87,則

A.-B.-C.~D.1

432

6.如圖，AB是。0的直徑，C。垂直平分08交。。于C、。兩點，ZABC=60°,

CD=2y/3,則圖中陰影部分的面積為（）

7.如圖，已知的兩條弦AC,80相交于點E,ABAC=70°,ZACD=50°,連接

OE,若E為AC中點，那么sinNQ￡B的值為（）

2口G

-L---l_z?--

A，aB-1:23

8.下列各數(shù)是有理數(shù)的是（)

A.&B.-；-C.tan30°D.27V

7

9.計算sin300-tan45。（)

Lc,且一也D,2

A-B，

2222

10.如圖，在矩形AfiCQ中，AB=4,對角線AC,BD交于點0,sinZCOD=—,

2

產為上一動點，PELAC于點E,PFLBD于點F,分別以尸￡,PF為邊向外作

正方形PEG"和PR0N,面積分別為邑.則下列結論：①80=8；②點尸在運

動過程中，PE+P尸的值始終保持不變，為26；③的最小值為6；④當

PH:PN=5:6時,則ZW:AG=5:6.其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

11.(乃-3)。-11-|2cos45.

12.計算：歷-(g)-3tan60°+(^--2)°=.

13.如圖，圓0的半徑為1,A45C內接于圓0.若NA=60。，NB=75。，則A3=

14.計算：6tan300-2cos30°=.

15.計算：-12+2COS3（T=.

16.如圖，△ABC和AAOE均是等邊三角形，其中點E是AABC的內心，以E為圓心,

OE長為半徑畫弧交8c于點B,再將弧08繞點A逆時針旋轉60。至弧EC處，已知

AB=1,則圖中陰影部分面積是一.

A

三、解答題

17.計算：（-2022）。+卜闋-6cos45。+我

計算：(￡)+V27+l^-l|-2sin60°.

18.

19.i十算：6sin45°-11-V21x(^-2021)°-(^)-2.

20.計算：2sin600+(-2)-3-V12+.

O

21.計算：(2022-7r)0+^-^j-2cos30°+卜制.

22.(1)計算6cos3O”-(-2)-'+gx(^557-l『.

(2)解方程：4N=(3x+l)2.

23.計算：(2022+7)°+(-!)"，夜一2|-2s比45°

24.計算：2一1+4cos45°-而+(萬-2022)"

25.計算：|-5|-(萬-2021)0+2cos60°+(1)-*.

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

連接08、0C,過。作4B的垂線，垂足為E,交CQ于點立由已知可得A8〃C。，則

OFLCD,且NBOC=90。，E、尸分別是AB、CO的中點；易證△BOE^ZkOC凡從而BE

與CF的關系，即可得AB與CQ的關系.

【詳解】

如圖，連接08、0C,過。作AB的垂線，垂足為E,交CD于點F.

"：AD=BC,

??AD=BC,

；?ZACD=ZBAC=45°.

：.AB//CD.

OELAB,

：.AB=BEfOFLCD.

：.CD=2CF.

VZBAC.NBOC對著同一弧，

：.ZBOC=2ZBAC=900.

：.ZEOB+ZCOF=90°.

■:NEOB+/OBE=90°,

/OBE=/COF.

ZOEB=Z"0=90。,OB=OC,

:?△B0EQ40CF.

:.OE=CF.

???OB=OC,

：.ZOBC=45°.

?.,ZABC=75°,

JZOBE=AABC-ZOBC=30°.

?BE_

??=tan/OBE=—.

OE3

答案第1頁，共16頁

，BE=y/3OE=s/3CF.

,:AB=2BE,CD=2CF,

?*.AB=0>CD.

故選：B.

【點睛】

本題考查了圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質，三角函數(shù)等知識，構造輔

助線并證明△80E絲△OCF是問題的關鍵.

2.D

【解析】

【分析】

三角函數(shù)計算，只要牢記cos45°=變代入計算即可.

2

【詳解】

解：原式==1.

2

故選：D.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)計算，牢記特殊角三角函數(shù)值是解題關鍵.

3.B

【解析】

【分析】

由勾股定理求得4。的長，進而通過特殊三角函數(shù)值求得角B的大小，進而求得AB長，進

而可得到EF的長.

答案第2頁，共16頁

【詳解】

解：VZC=45°,ZADC=90°

.?.ZC4￡)=ZC=45°,A￡>=CD

*/AD2+CD:=AC2,AC=276

；?AD=2>/3

VtanB=A/3

：.ZB=60°

...48=上=2=4

sinZ.Bsin60°

又,：E、尸分別為AC、BC的中點

/.EF=-AB=2

2

故選：B.

【點睛】

本題考查解直角三角形、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

4.D

【解析】

【分析】

過點8作E尸垂直于平行線，過點A作垂直于平行線交于點G,根據(jù)N4CG+ZBCF=90°,

ZACG+NC4G=90°,證明出A4CG-ACBF,利用NCB4=30°,得4￡=且，求出

BC3

CG=BCF=9也,GF=1073.AE=10>/5即可求解.

【詳解】

解：如圖，過點B作所垂直于平行線，過點A作垂直于平行線交于點G,

GCF

ADE

ZACG+NC4G=90°,

:.ZCAG=ZBCF,

答案第3頁，共16頁

.-.AACG^ACBF,

???ZCBA=30°,

.AC=%

.CGAGAC

"7B-CF-fiC-V

:.CG=6，CF=96,

:.GF=CG+CF=IQ6，

AE=1OG

BE66

..tan/BAD-----=-----^=-=—.

AE10>/35

故選：D.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定及性質、直角三角形的性質，銳角三角函數(shù)的定義，解題的

關鍵是作輔助線構造出相似三角形.

5.D

【解析】

【分析】

由題意可知，ZBCD=ZABC=(6~2)X18°=120°,120°-90°=30°,所以

1QQO_30。

NCBT=——--=75。，推出ZABT=ZABC-Na?T=120o-75o=45。，即可求出tan/ABT的

值.

【詳解】

解：由題意可知，(fi2)xl80

ZSCD=ZABC=-°=120°,

6

???N7W=90°,

.?.BCT=120°-90°=30o,

?.?BC=CT,

1800-30°

NCBT==75°

2

.ZABT=ZABC-NCBT=120°-75°=45°,

/.tanZABT=tan45°=1.

故選:D.

答案第4頁，共16頁

【點睛】

本題考查了正多邊形與圓以及特殊角的正切值，正確利用正多邊形內角和公式是解題的關

鍵.

6.A

【解析】

【分析】

陰影面積等于扇形0BO的面積，根據(jù)垂徑定理，勾股定理計算圓的半徑，利用扇形的面積

公式計算判斷即可.

【詳解】

如圖，連接OC,BD,設48、的交點為E,

是。。的直徑，C。垂直平分。8交。。于C、。兩點，

J.CDLOB,OE=EB,CE=DE,

...四邊形ODBC是菱形，

/.OC//BD,N800=60。，

??S〉ODB~SeCDB，

S陰影=S扇形08。?

VZABC=60°,OC=OB,

L.OBC是等邊三角形，

：.ZOCE=ZBCE=30°9

,:CD=20

CE=y/3,

CE_V3

???OC=cosZ.0ED-G=2，

~2

_60x;rx4_2

??3陰影=白扇形so。=-K—二丁

答案第5頁，共16頁

故選A.

【點睛】

本題考查了菱形的判定和性質，垂徑定理，勾股定理，扇形的面積公式，特殊角的三角函

數(shù)，熟練掌握菱形的判定，垂徑定理和扇形的面積公式是解題的關鍵.

7.A

【解析】

【分析】

由圓周角定理可知NABO=NACO=50。，再在△ABE中求出/4EB=60。；因為E為AC中

點，由垂徑定理的逆定理可知OELAC,即4出。=90。，進而計算出NOEB=30°,然后求

sinNQEB的值即可.

【詳解】

解：；ZAC￡>=50。，

NAB￡)=ZAC￡>=50。，

ZBAC=70°,

ZAEB=180°-ZABD-ABAC=180°-50°-70°=60°,

為AC中點，

AOELAC,即NAEO=90。，

ZOEB=ZAEO-ZAEB=90°-60°=30°,

sinZOEB=sin3()0=-.

2

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理的逆定理、特殊角的三角函數(shù)值以及三角形內角和

定理等知識，解題關鍵是熟練運用圓周角定理和垂徑定理的逆定理.

8.B

【解析】

【分析】

回330。,2乃，都是無限不循環(huán)小數(shù)，都是無理數(shù)，只有是無限循環(huán)小數(shù)，是有

理數(shù)，B選項符合題意

【詳解】

答案第6頁，共16頁

A.我是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，..?A選項不符合題意；

B.是無限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)，，B選項正確；

C.tan30°=立，是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，，C選項不符合題意；

3

D.2萬是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，；.D選項不符合題意

故選：B

【點睛】

本題考查了有理數(shù)的概念，熟練掌握有理數(shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，是解決此類問

題的關鍵

9.B

【解析】

【分析】

把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可.

【詳解】

解：sin300-tan45°

4-'

1

=一萬，

故選：B.

【點晴】

本題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵.

10.C

【解析】

【分析】

①由矩形ABC。的性質和特殊角三角函數(shù)可得AAOB和△(%>￡>是等邊三角形，進而可以判

斷；

②連接OP.由￡.8=SAAQP+%.求得答案；

③利用完全平方公式變形，當且僅當尸E=PF=b時，等號成立，即可判斷；

④根據(jù)已知條件證明ZXAPE~ADPF，對應邊成比例即可判斷.

答案第7頁，共16頁

【詳解】

解：0vsinZCOD=—,

2

A"00=60。，

丁四邊形ABC。是矩形，

???OA=OC=OD=OB,

???aAOB和△COD是等邊三角形，

BD=2OA=2AB=S,故①正確；

②連接0P,由①知80=8,

??,矩形的兩邊AB=4,BC=46，

**?S矩形45coz=AB.BC=16百,

*?*SJOD=aS矩形A88=46，OA=OD=4,

())

■-S^OD=S^OP+S^OP=^OAPE+^ODPF^^OAPE+PF=^4x(PE+PF=4^3.

，PE+PF=2^，故②正確；

@'：(PE-PFy^PE2+PF2-2PEPF>0,

?*-PE2+PF2>2PE-PF，

，，+S2=PE1+PF2=^(PE2+PF2+PE2+PF2)

>^PE2+PF2+2PEPF)=^(PE+PFy=6,

當且僅當PE=尸尸=行時，等號成立，故③正確；

④：ZAEP=ZDFP,APAE=APDF,

/-/\APE~^DPF,

：.AE：DF=PE：PF=EG：FM=PH：PN=5：6,

"：AE:DF=(AG+GE):(DM+FM),

：.AG：DM=5：6?故④錯誤.

綜上所述，其中正確的結論有①②③，3個.

故選：C.

【點睛】

答案第8頁，共16頁

本題考查了矩形的性質，特殊角的三角形，三角形的相似，完全平方公式，等邊三角形的

判定與性質，靈活運用矩形的性質，特殊角的函數(shù)值，相似三角形的判定和性質是解題的

關鍵.

11.11-2&##-20+11

【解析】

【分析】

先計算零次累，絕對值，負整數(shù)指數(shù)幕，銳角三角函數(shù)，再合并即可.

【詳解】

解：(%夜|+(-1)N-2COS45°

3

=1+1-^+9-2?—

2

=11-20

故答案為：11-2收

【點睛】

本題考查的是零次幕的含義，化簡絕對值，負整數(shù)指數(shù)幕的意義，二次根式的加減運算，

特殊角的三角函數(shù)，掌握以上基礎運算是解本題的關鍵.

12.-2

【解析】

【分析】

先根據(jù)二次根式、負整數(shù)指數(shù)累、特殊三角函數(shù)值、0指數(shù)基進行化簡，再計算即可.

【詳解】

原式=3g-3-3G+l=-2.

故答案為：一2.

【點睛】

本題考查實數(shù)的混合運算，解題的關鍵是根據(jù)二次根式、負整數(shù)指數(shù)累、特殊三角函數(shù)

值、0指數(shù)塞進行化簡.

13.72

【解析】

【分析】

先根據(jù)圓的半徑相等及圓周角定理得出/480=45。，再根據(jù)垂徑定理構造直角三角形，利

答案第9頁，共16頁

用銳角三角函數(shù)解直角三角形即可

【詳解】

解：連接。8、0C、作。。

ZA=60°

，/8OC=2/A=120°

OB=OC

...NOBC=30°又N8=75°

，/ABO=45。

在RAOB。中，OB=1

.\BD==—

2

??ODLAB

：.BD=AD=—

2

:.AB=g

故答案為：母

【點睛】

本題考查垂徑定理、圓周角定理，正確使用圓的性質及定理是解題關鍵

14.出

【解析】

【分析】

先求出特殊角的三角函數(shù)值，再計算即可.

【詳解】

解：原式=6x@—2xW=26一百二6

32

故答案為：百

答案第10頁，共16頁

【點睛】

本題考查了特殊角三角函數(shù)值的計算，解題關鍵是熟記特殊角三角函數(shù)值.

15.-1+百

【解析】

【分析】

先將特殊角銳角三角函數(shù)值代入，再根據(jù)實數(shù)的運算順序“先算乘方，再算乘除，最后算加

減，如果有括號，先算括號里面的”進行計算即可得.

【詳解】

解：原式=-l+2x且=-1+括，

2

故答案為：-1+6.

【點睛】

本題考查了實數(shù)的運算，特殊角的三角函數(shù)，解題的關鍵是掌握這些知識點.

16.3#

66

【解析】

【分析】

連接EC,DB,證明AAOB絲△AEC,得證E、C三點共線，繼而得到陰影面積為

-O8.8C計算即可.

2

【詳解】

連接EC,DB,

ABC和AAOE均是等邊三角形，

：.AD=AE,AB=AC=BC=\,ZDAE=ZBAC=60°,ZAED=ZACB=ZABC=60°

：.NDAB=NEAC,

：.ZXAOB四△AEC,

：.BD=EC,ZABD=ZACE,

?.?點E是AABC的內心，

平分N8AC,CE平分NACB,

ZEAC=ZECA=ZABD=30°,

NAEC=120°,

答案第II頁，共16頁

???ZAEC+ZAED=180°,

:?D、E、C三點共線,

工NDBC=NA8D+NABC=90°,

?/弧DB繞點A逆時針旋轉60。至弧EC處,

???拱形BD的面積等于拱形EC的面積，

??.陰影面積等于直角三角形Q5C的面積，

VZDCB=30°,BC=1,

：.DB=BCtan30°=^-9

3

陰影面積為：-DB.BC=lxlx^=2/1,

2236

故答案為：XL

6

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，直角三角形的性質，特殊角的

三角函數(shù)，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)和三角形全等的判定是解題的關鍵.

17.1

【解析】

【分析】

根據(jù)零指數(shù)基的運算法則、去絕對值符號法則、特殊角的三角形函數(shù)值、開平方運算及實

數(shù)的混合運算，即可求得結果.

【詳解】

解：（-2022）。+卜囪-6cos45。+我

答案第12頁，共16頁

=l+V2-6x—+2^

2

=1+0-3應+20

=1

【點睛】

本題考查了零指數(shù)塞的運算法則、去絕對值符號法則、特殊角的三角形函數(shù)值、開平方運

算及實數(shù)的混合運算，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關鍵.

18.1+36

【解析】

【分析】

根據(jù)負指數(shù)塞運算，二次根式化簡，絕對值計算以及特殊角的三角函數(shù)值即可求得.

【詳解】

解：原式=2+36+石-I-2?立

2

=1+373.

【點睛】

本題考查了負指數(shù)幕的運算，最簡二次根式的化簡，絕對值的代數(shù)意義以及特殊角的三角

函數(shù)值，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

19.-3

【解析】

【分析】

根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，絕對值的意義，零指數(shù)累，負整數(shù)指數(shù)累，二次根式等運算法則

計算即可.

【詳解】

解：原式=6x也-（夜-1）-2及xl-4

2

=3夜-夜+1-2近-4

=—3.

【點睛】

本題考查了特殊角三角函數(shù)值，絕對值的意義，零指數(shù)幕，負整數(shù)指數(shù)幕，二次根式等知

識點，熟知相關運算法則是解題的關鍵.

答案第13頁，共16頁

20.-G

【解析】

【分析】

根據(jù)60。的正弦值、負整數(shù)指數(shù)基運算法則、化簡二次根式、絕對值的性質求解即可.

【詳解】

解：原式=2x且一：-2G+1

288

=一￡.

【點睛】

本題考查實數(shù)的混合運算，涉及特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)幕、二次根式的化簡、

絕對值等知識，熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握運算法則是解答的關鍵.

21.-2

【解析】

【分析】

根據(jù)零指數(shù)累，負指數(shù)累，特殊角度的三角函數(shù)值，絕對值化簡規(guī)則依次計算即可得到答

案.

【詳解】

解：原式=l+(-2)-2x正一(1-6)

2

=1-2-73-1+73

=-2

【點睛】

本題主要考查了實數(shù)運算，零指數(shù)塞：