高中數(shù)學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（人教A版選擇性必修1-4章）（學(xué)生版+解析版）

高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（選擇性必修1-4章）

一、項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的，請(qǐng)將答案涂在答題卡上.

1.（5分）直線/垂直于直線y=x+l,且/在y軸上的截距為我，則直線/的方程是（）

A.x4-y—V2=0B.x+y+l=0C.x+y-1=0D.%4-y+V2==0

TT

2.（5分）已知向量。=(2,1,3),b=Cj2,1-x),若a_Lb,貝ijx=()

A.-5B.5C.4D.-1

X2y2

3.（5分）已知雙曲線C：我—記="心°,心°）的離心率為遍，則雙曲線C的漸近線方程為（

1

A.y=±-xB.y=±2xC.y=±y/6xD.y=±V5x

J2

4.（5分）已知圓Cl：x2+y2-2x+12y+33=0與圓C2：x2+y2+10x-4y-52=0,則兩圓公切線條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

5.（5分）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛珈｝中，首項(xiàng)m=3,前三項(xiàng)和為21,則03+“4+。5=（）

A.33B.72C.84D.189

x2y2_

6.（5分）已知橢圓下?+次=1短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為4、B,點(diǎn)C為橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，

直線AC與直線BC的斜率之積為則橢圓的離心率為（）

A/3-1V3

A.—B.v3C.一D.—

224

7.（5分）已知三棱柱A8C-A向。中，AB=AC=^AAt=1,/AiAC=NAiAB=奈。點(diǎn)是線段A8上靠

近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，則2）?B；B=（）

2744

A.—B.—□C.—D.一方

3333

8.（5分）已知拋物線C：/=6x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,A是/上一點(diǎn)，B是直線AF與拋物線C的一個(gè)

交點(diǎn)，若易=3而，則|即=（）

75

A.-B.3C."D.2

22

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

%2y2

9.（5分）已知雙曲線C：——---=1的離心率￡=遮，則下列說法正確的是（）

t9—t

A.f=3或-9

B.雙曲線C的漸近線方程為y=±&x

C.雙曲線C的實(shí)軸長等于2百

D.雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于8

10.（5分）在等差數(shù)列｛〃“｝中，a\=-9,as--1.記Tn=a\a2--an（n=L2,則數(shù)列｛%1｝（）

A.75=76B.有最大項(xiàng)看C.無最大項(xiàng)D.無最小項(xiàng)

11.（5分）已知直線/：以-y-3a=0上存在相距為4的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,若圓C：（x+1）2+（y-4）2=4

上存在點(diǎn)P使得△BAB是以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)。的值可以為（）

A.-2B.-1C.0D.1

12.（5分）已知球。為正方體ABCO-4B1。。的內(nèi)切球，平面AiCiB截球。的面積為24TT,下列命題

中正確的有（）

A.異面直線AC與8。所成的角為60°

B.BOil.平面4C1B

C.球。的表面積為36TT

D.三棱錐-AC18的體積為288

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案填在答題卡上.

13.（5分）已知在空間四邊形Q4BC中，OA=a,OB=b,兒'=六點(diǎn)用在線段OA上，且。%=3MA,

N為BC的中點(diǎn)，用之、b,”表示嬴，則嬴=.

%2y2

14.（5分）橢圓丁+三=1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F1,過焦點(diǎn)F1的直線交該橢圓于A,B兩點(diǎn)，若4

ABF2的內(nèi)切圓面積為mA,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（xi,yi）,（X2,*）,則△AB尸2的面積5=,

|>'|-的值為.

15.(5分)過點(diǎn)P(3,4)作圓/+丫2=]0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A,B,則線段AB=.

16.(5分)在aABC中，/BAC=90°,AB=6,AC=8,。是斜邊上一點(diǎn)，以AQ為棱折成60°二面角

C-AD-B,則線段8c最小值為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知四棱錐P-ABC力中，底面ABCD為菱形，PA=PC.

(1)求證：BC〃平面RW；

(2)求證:PB±AC.

18.(12分)已知△ABC三邊所在直線方程：IAB：3x-2.y+6=0,IAC：2x+3y-22=0,IBC：3x+4y-m=0

(/wGR,mW30).

(1)判斷AABC的形狀；

(2)當(dāng)8c邊上的高為1時(shí)，求〃?的值.

19.(12分)在①3a2+歷+刨=0,②。4=匕4,③S3=-27這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若

問題中的人存在，求實(shí)數(shù)人的取值范圍；若問題中的人不存在，請(qǐng)說明理由.

設(shè)等差數(shù)列｛祈｝的前〃項(xiàng)和為S”數(shù)列｛b｝的前〃項(xiàng)和為心，,〃5=打，47；=3bn-l(neN*),

是否存在實(shí)數(shù)入，對(duì)任意“CN*都有人

20.(12分)己知與x=-1相切的圓C的圓心在射線x-3y=0(x>0)上，且被直線/：3x-4y+5=0截

得弦長為4百.

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到與/平行的直線/1的距離為2,求直線/1在x軸上截距的取值范圍.

21.(12分)三棱柱ABC-481cl中，側(cè)面BBiCiC為菱形，NCB8i=60°,AB±AC,AB=AC,BC=

ABi—2.

(1)求證：面ABUL面881clC；

(2)在線段CiAi上是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M-CBi-Ci的大小為2，若存在，求出絆?的值,

6GA]

若不存在，請(qǐng)說明理由.

xyV3

22.(12分)已知橢圓C：—+—=1(a>0,6>0),離心率為一，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P(0,1).

a2b22

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/不經(jīng)過P點(diǎn)且與橢圓C相交于48兩點(diǎn).若直線PA與直線PB的斜率的和為-1,試問:

直線/是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不經(jīng)過請(qǐng)說明理由.

高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（選擇性必修1-4章）

參考答案與試題解析

一、項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的，請(qǐng)將答案涂在答題卡上.

1.（5分）直線/垂直于直線y=x+l,且/在y軸上的截距為則直線/的方程是（）

A.x4-y—V2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x4-y+A/2=0

【解答】解：因?yàn)橹本€/垂直于直線y=x+l,

所以設(shè)直線/的方程為丁=7+b,

又因?yàn)?在），軸上的截距為四，

所以b=V2,

故所求直線/的方程為y=-x+VL即x+y-&=0.

故選：A.

2.（5分）已知向量。=（2,1,3）,b=（x,2,1-x）,若］_Lb,則x=（）

A.-5B.5C.4D.-1

【解答】解：.??向量a=（2,1,3）,b=（x,2,1-x）,a_Lb,

/.a-h=2x+2+3（1-x）=0,

解得x=5.

故選：B.

X2y2

3.（5分）已知雙曲線C：—-77=1（?>0,b>0）的離心率為遙，則雙曲線C的漸近線方程為（）

a2b2

1LL

A.y=±-xB.y=±2xC.y=±V6xD.y=±V5x

%?y2

【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線C：—-77=1（a>0,b>0）的離心率為遮，

a2b2

m.i-fc*28a2+b2..b2_

則有e=-7=5—=1+丁=5,

aLQ/Q/

b2

則有一7=4,即b=2a

a2f

22

又由雙曲線"x—匕y=1的焦點(diǎn)在x軸上，其漸近線方程為y=±br,

a2b2a

則該雙曲線的漸近線方程為：y=±2x；

故選：B.

4.(5分)已知圓Ci：/+y2-2x+12y+33=0與圓Ci-.x2+_y2+10x-4y-52=0,則兩圓公切線條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：圓Ci：f+尸-2x+12)斗33=0,即(x-1)2+(y+6)2=4,圓心Ci(1,-6),半徑r=2,

圓Ci-.f+V+lOx-4y-52=0,即(x+5)2+(y-2)2=81?圓心C2(-5,2),半徑R=9,

所以圓心距d=7(1+5)2+(-6-2)2=10,

因?yàn)?-2<dV9+2,所以兩圓相交，

故兩圓公切線條數(shù)為2.

故選：B.

5.(5分)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛“”｝中，首項(xiàng)小=3,前三項(xiàng)和為21,則.3+44+45=()

A.33B.72C.84D.189

【解答】解：在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，首項(xiàng)m=3,前三項(xiàng)和為21

故3+3〃+3/=21,

???等比數(shù)列｛“八｝各項(xiàng)都為正數(shù)，，4=2,

.,.43+。4+。5=（。1+。2+〃3）"2=21X22=84

故選：C.

X2y2

6.（5分）已知橢圓丁+三=1（〃>6>0）短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、3,點(diǎn)C為橢圓上異于A、5的一點(diǎn)，

a2bz

直線AC與直線BC的斜率之積為一上,則橢圓的離心率為（）

V3-1V3

A.—B.v3C.—D.—

224

【解答】解：由題意可得A（0,b）,B（0,-b）,設(shè)C（刈，卯），

由C在橢圓上可得笄+岑=1,即有刈2=叭匕聲氏，①

a2b2b

由直線AC與BC的斜率之積為-上，

可得泡.型2=」，

%0%。4

即為刈2=4（序-.2）,②

a2

由①代入②可得7T=4,即〃=24

b2

c=yJa2-b2=學(xué)可得離心率e=三=苧.

故選：A.

7.（5分）己知三棱柱ABC-A向。中，AB=AC=^AAi=1,/4AC=半。點(diǎn)是線段AB上靠

近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，則C3-B；B=()

244

A.B.-C.D.

333

【解答】解：如圖，???A8=AC=1,AA\=2,ZA\AC=ZAMB=J,

???2)?-h)?(-R)=AC-AAr-\AB?^1=lx2x1-ixlx2x1=|.

D。乙KJ乙KJ

故選：A.

8.(5分)已知拋物線C：)?=6x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,A是/上一點(diǎn)，B是直線AF與拋物線C的一個(gè)

交點(diǎn)，若總1=3而，則|Bg=()

75

-3C-2

A.2B.2D.

【解答】解：由題可知，p=3,

如圖所示，過點(diǎn)3作于點(diǎn)C,準(zhǔn)線/與1軸交于點(diǎn)￡設(shè)|3用=機(jī)，則|A3|=2m,

Q

由拋物線的定義可知，\BC\=\BF\=m,：.ZABC=60=ZAFE9

：.\AF]=2\EF\=2p=6,

：.\BF\=扣產(chǎn)|=2?

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得()分.

%2y2

9.(5分)已知雙曲線C：一—上一=1的離心率e=遮，則下列說法正確的是()

t9-t

A.f=3或-9

B.雙曲線C的漸近線方程為y=±&x

C.雙曲線C的實(shí)軸長等于26

D.雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于百

【解答】解：>0,.??0?9,

...雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，a=4l,b=57,c=3,

離心率e=W=得=V3,

.1=3,即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

x2y2

雙曲線的方程為二一一=1,

36

漸近線方程為y=±±=土缶，即選項(xiàng)B正確；

實(shí)軸長為2a=2h，即選項(xiàng)C正確；

焦點(diǎn)(3,0)到漸近線)，=岳的距離為即選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.(5分)在等差數(shù)列｛〃〃｝中，m=-9,〃5=-1.記Tn=a\ai--an(n=l,2,-??),則數(shù)列｛%?｝()

A.75=76B.有最大項(xiàng)看C.無最大項(xiàng)D.無最小項(xiàng)

【解答】解：由題意，設(shè)等差數(shù)列｛板｝的公差為d,則

〃5=m+4d=-9+4d=-1,

解得d=2,

：.an=-9+2(〃-1)=2n-11,HEN*,

..T\=a\=-9,

T2=T\a2=-9X(2X2-11)=63,

n=T2W=63X(2X3-11)=-315,

T4=T3a4=-315X(2X4-11)=945,

75=746/5=945X(2X5-11)=-945,

T6=T5a6=-945X(2X6-11)=-945,

?5=T6，故選項(xiàng)A正確，

???當(dāng)〃27時(shí)，an=2n-11>0,且數(shù)列伍〃｝單調(diào)遞增，

而76=-945<0,

.?.當(dāng)“27時(shí)，數(shù)列｛乙｝均小于0,且單調(diào)遞減，

當(dāng)族N*時(shí),數(shù)列｛￡｝的最大項(xiàng)為四=945,

故選項(xiàng)8正確，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

當(dāng)〃一8時(shí)，數(shù)列｛。｝越來越小，但無最小項(xiàng)，

故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

11.（5分）已知直線/：ar-y-3a=0上存在相距為4的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,若圓C：（x+1）2+（y-4）2=4

上存在點(diǎn)尸使得△附8是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)。的值可以為（）

A.-2B.-1C.0D.1

【解答】解：根據(jù)題意，若AABP為等腰直角三角形，其中P為直角頂點(diǎn)，且［48|=4,

則P到AB的距離為幽=2,

2

若圓C：（x+1）2+4）2=4上存在點(diǎn)P,使得AABP為等腰直角三角形，

則圓心C到直線/的距離4W4,即有!吉^<4,

Va2+1

解得：aWO,

結(jié)合選項(xiàng)可得，實(shí)數(shù)a的值可以為-2,-1,0.

故選：ABC.

12.（5分）己知球。為正方體4BCO-4BICIOI的內(nèi)切球，平面AiCiB截球。的面積為24m下列命題

中正確的有（）

A.異面直線AC與3。所成的角為60°

B.B￡h_L.平面4C1B

C.球0的表面積為36n

D.三棱錐Bi-4C1B的體積為288

【解答】解：由正方體圖形可知,

A

對(duì)于4,連接4C1,A\B,可知AiCi〃AC,即異面直線AC與BCi所成的角為角Z4C1B,又因三角形

A1CB為正三角形，所以異面直線4c與BC所成的角為60°,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于8,由圖形可知BO1與8。不垂直，故選項(xiàng)B不正確，

對(duì)于C,設(shè)正方體的棱長為“，則AiCi=V^a,內(nèi)切圓的半徑為右設(shè)內(nèi)切圓的球心。在平面A1C1B上

的投影為。，由等邊三角形的性質(zhì)可知。I為等邊三角形4OB的重心，則。4=叁梟。=梟

又04=鳧所以球心。到平面A\C\B的距離為JO42-O]42=%

又球心與截面圓心的連線垂直于截面，所以截面圓的半徑為J?-雷以=2小

又截面圓的面積為n(―?)2=24TT,解得“=12,

6

則內(nèi)切球的半徑為6,內(nèi)切球表面積5=471X62=14411,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由等體積法知/iMQB==6x^x12X12X12=288,故。正確，

故選：AD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案填在答題卡上.

13.(5分)已知在空間四邊形O4BC中，OA=a,OB=b,左=2點(diǎn)M在線段OA上，且0%=3MA,

N為BC的中點(diǎn)，用a、b、c表示MN,則MN=-初+3+".

【解答】解：如圖空間四邊形0ABe中，0A=a,OB=b,0C='c,

?.?點(diǎn)M在OA上，且。％=3而，N為BC的中點(diǎn)，：.0N(OB+0C),

???MN=0N_0M=/0B+0C)-10A=一1。+和+>.

故答案為：一|2+*2+2二

B

x2y2

14.(5分)橢圓3+、=1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,過焦點(diǎn)力的直線交該橢圓于4,B兩點(diǎn)，若4

ABF2的內(nèi)切圓面積為mA,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xi,)，i),(X2,”)，則△ABF2的面積S=6,|yi

XV—

【解答】解：..?橢圓與?+、■=1的左右焦點(diǎn)分別為Fl,尸2,a=3,b=痘,c=2,

過焦點(diǎn)尸1的直線交橢圓于A(xi,yi),B(%2,>'2)兩點(diǎn)，

△ABF2的內(nèi)切圓的面積為m

△A8尸2內(nèi)切圓半徑「=1.

△ABF2面積S=4xlX(AB+AF2+BF2)=2a=6；

：.ABF2面積S=如一”|X2c=如-"1X2義2=6,

得僅1-”1=3.

故答案為：6；3.

15.(5分)過點(diǎn)P(3,4)作圓，+丁=10的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A,B,則線段AB=2甚.

【解答】解：由切線的性質(zhì)可知，切點(diǎn)A,B在以P。為直徑的圓上，

3

因?yàn)槭?的中點(diǎn)坐標(biāo)為(12),尸0的長度為|尸0|=5,

所以以P。為直徑的圓的方程為(x-|)2+(k2)2=竽，

叩x2-3x+/-4y=0,

又切點(diǎn)A,B在圓/-3x+)2-4y=0,也在圓/+)2=10上，

兩式相減可得直線AB的方程為3x+4y-10=0,

因?yàn)閳A/+)?=10的圓心到直線3x+4y-10=0的距離為d=2,

所以線段AB的長度為2,產(chǎn)一統(tǒng)=2所0-4=2通.

故答案為：2傷.

16.(5分)在△ABC中，N84C=90°,AB=6,4c=8,。是斜邊上一點(diǎn)，以A力為棱折成60°二面角

C-AD-B,則線段BC最小值為2夕.

【解答】解：如圖，過C,3作的垂線，垂足分別為E,F,

故BF_LEF,ECVEF,所以而?還=0,FE-EC=O,

以AD為棱折疊后，則有/'=晶+港+R,

故BC?=(BF+FE+EC)2=BF2+FE2+EC2+2BF-EC+2BF-FE+2FE-EC,

=\BF\2+\FE\2+訪2+2BF-EC,

因?yàn)橐訟O為棱折成60°二面角C-AD-8,所以法與R的夾角為120°,

令4BAD=a,則/C4E=90°-a,

在中，SF=?AS,sina=6sina,AF=ABcosa=6cosa,

在RtZ\ACE中，EC=AC?sin(90°-a)=8cosa,AE=AC?cos(90°-a)=8sina,

故FE=AE-AF=8sina-6cosa,

T1

所以18cl2=(6sina)2+(8sina—6cosa)2+(8cosa)2+2-6sina-Scosax(一力

=36(sin2a+cos2a)+64(sin2a+cos2a)-I44sinacosa=100-72sin2a,

故當(dāng)a=45°時(shí)，|盛產(chǎn)有最小值28,

故線段BC最小值為2位.

故答案為：2夕.

c

c

四、解答題：本大題共6小題，共7()分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知四棱錐P-ABCQ中，底面ABCD為菱形，PA=PC.

(1)求證：8c〃平面PAD-.

(2)求證：PBLAC.

J.BC//AD,

PAD,AOu平面BW,

.?.8C〃平面PAD.

(2)設(shè)ACQB￡>=。，連結(jié)OP,?.?底面ABC。為菱形,

：.AC±BD,

；B4=PC,40=C0,

：.AC1PO,

VBDQPO=O,BOu平面PBO,POu平面PBO,

，AC_L平面PBD,

又P3u平面PBD,

J.PBLAC.

18.(12分)已知△ABC三邊所在直線方程：IAB：3X-2)+6=0,IAC：2x+3y-22=0,IBC：3x+4y-m=0

(/nGR,mW30).

(1)判斷AABC的形狀；

(2)當(dāng)BC邊上的高為1時(shí)，求〃?的值.

【解答】解：⑴直線AB的斜率為心=|，直線AC的斜率為k4c=一|，

所以kAB?kAC=-1.

所以直線AB與AC互相垂直，

因此，為直角三角形；

⑵解方程組鼠柔滑0,得1；晨，即從(2,6).

由點(diǎn)到直線的距離公式得d=I3x2+4x6-m|=嗎皿

5

,,|30-m|?

當(dāng)d=l時(shí)，-------=1,即|30-刑=5,

解得m—25或m=35.

19.(12分)在①3及+例+方4=0,②”4=匕4,③S3=-27這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若

問題中的人存在，求實(shí)數(shù)人的取值范圍；若問題中的人不存在，請(qǐng)說明理由.

設(shè)等差數(shù)列｛知｝的前〃項(xiàng)和為際,數(shù)列｛加｝的前九項(xiàng)和為,a5=bi,4Tn=3bn-l(neN*'),

是否存在實(shí)數(shù)入，對(duì)任意〃eN*都有入WS”？

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d,

當(dāng)〃=1時(shí)，4Ti=3bi-l,得bi=-I,從而。5=-1,

當(dāng)時(shí)，46"=4刀,-4%一1=(3b?-1)-(3/???-1)=3hn-3hn-i,

得尻=-3為一1,所以數(shù)列｛瓦｝是首項(xiàng)為-1,公比為-3的等比數(shù)列，

所以%=-(一3)"-1，由對(duì)任意"6N*,都有入WS”

當(dāng)?shù)炔顢?shù)列｛“”｝的前n項(xiàng)和酣存在最小值時(shí)，

假設(shè)”=左時(shí)，％取最小值.(4分)

(1)若補(bǔ)充條件是①3“2+b2+b4=0,因?yàn)闅v=3,從=27,

1

從而@2=-3(^2+匕4)=-1。，由〃5=〃2+3d得d=3,

所以an=a\+(〃-1)d=〃2+(〃-2)d—-10+3(/?-2)=3〃-16,(8分)

1316

由等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和存在最小值，則，得石Wk4三，

又依N",所以2=5,所以入WS5=-35,故實(shí)數(shù)人的取值范圍為(-8,-35].(12分)

(2)若補(bǔ)充條件是②以=64,

由。4=27,即44=27,又〃5=bi=-1,

所以d=as-。4=-1-27=-28；

所以an=a\+(〃-1)d=〃5+(〃-5)d=-1-28(〃-5)=-28〃+139,(8分)

由于該數(shù)列｛板｝是遞減數(shù)列，所以不存在上使得5〃取最小值，故實(shí)數(shù)人不存在.

(3)若補(bǔ)充條件是③S3=-27,

由53=。1+。2+。3=3。2=-27,得42=-9,

又a5=b\=-l=42+3d,所以d=，53a2=

QA42

所以an=%+(幾一l)d=a2+(n—2)d=-94-(n—2)=n--y,(8分)

由等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和S〃存在最小值，則，

3543

得yk4=又依N*,所以k=5,所以存在人=5,使得S?取最小值，

88

所以;IW55=-羊，故實(shí)數(shù)入的取值范圍為(一8,一象.(12分)

20.(12分)己知與x=-1相切的圓C的圓心在射線x-3)，=0(x>0)上，且被直線/：3x-4)，+5=0截

得弦長為4g.

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到與/平行的直線/1的距離為2,求直線，在x軸上截距的取值范圍.

【解答】解：(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=J(「2())，

此時(shí)圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為八

把圓心坐標(biāo)代入直線x-3y=0中得：a=3b,①

又圓。與x=-1相切，.」=|a+l|,②

又圓被直線/：3x-4y+5=0截得弦長為4百，

.?.(3*+5)2+(2回2=",③

將①②代入③，得(6+1)2+12=(36+1)2,

解得6=-楙(舍去)，或6=1.

??.4=3X1=3,r=4.

.??圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-I)2=16；

(2)與直線/平行，，設(shè)/'：3x-4y+f=0,

I'與圓心的距離r-2=2時(shí)，到/'距離為2有3個(gè)點(diǎn)；

I'與圓心的距離汁2=6時(shí)，到/'距離為2有1個(gè)點(diǎn)；

?、7za.|3x3-4+t||5+t|

..2<arl<6,a—J------g------L=

即2V叵翼V6,解得5V/V25,或-35W-15.

y=0時(shí)，3x+r=0,即x=-「，

,3

nrr?5

.?.直線/在x軸上截距的取值范圍是(-等，-1)U(5,y).

21.(12分)三棱柱ABC-4BC1中，側(cè)面BBICIC為菱形，NC8Bi=60°,ABLAC,AB=AC,BC=

AB\=2.

(1)求證:面A3C_L面33C1C；

(2)在線段CiAi上是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M-CBL。的大小為；若存在，求出值■的值,

6QAi

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】（1）證明：取8c的中點(diǎn)0,連AO,BiO,

'：AB=AC,ABLAC,BC=2,

."0=1,AOIBC,

又BC=BBi,ZCBBi=60°,

：.0B\LBC,0B\=V3,

又ABi=2,

22

：.0A+0Bl=ABr,即A0J_0Bi,

,：BCC\0B\=0,BC、OBiu平面8B1C1C,

.\AO±?BB\C\C,

又AOu面ABC,

.?.面