2023八年級數(shù)學(xué)上冊 第十三章 軸對稱13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題教案（新版）新人教版

2023八年級數(shù)學(xué)上冊第十三章軸對稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題教案（新版）新人教版授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教材分析《2023八年級數(shù)學(xué)上冊第十三章軸對稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題》是新人教版八年級數(shù)學(xué)教材中的一個重要部分，本章節(jié)內(nèi)容緊承軸對稱知識，通過實際生活中的最短路徑問題，引導(dǎo)學(xué)生運用軸對稱性質(zhì)和幾何作圖方法，求解線段和曲線的最短距離。這不僅鞏固了學(xué)生對軸對稱的理解，而且培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，突出了數(shù)學(xué)學(xué)科的實用性和工具性。教學(xué)內(nèi)容與課本緊密關(guān)聯(lián)，符合教學(xué)實際，有助于學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識體系。教學(xué)目標(biāo)分析《最短路徑問題》一課的教學(xué)目標(biāo)立足于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，著重于以下方面：

1.理解并掌握軸對稱的性質(zhì)及其在實際問題中的應(yīng)用，能夠運用軸對稱知識分析并解決最短路徑問題，提升幾何直觀和空間想象能力。

2.通過探究最短路徑的求解過程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)論證能力，培養(yǎng)他們從數(shù)學(xué)角度觀察、分析現(xiàn)實問題的思維方式。

3.激發(fā)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的興趣，增強他們對數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，提高解決復(fù)雜情境中數(shù)學(xué)問題的能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生的團隊協(xié)作意識，通過小組討論、合作探究，學(xué)會傾聽他人意見，尊重他人思考成果，共同解決問題，提升交流與表達能力。

本章節(jié)教學(xué)目標(biāo)與課本內(nèi)容緊密相連，旨在引導(dǎo)學(xué)生將軸對稱知識內(nèi)化為解決實際問題的工具，促進數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的全面發(fā)展，符合新課程改革的要求，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了軸對稱的基本概念、性質(zhì)和判定方法，能夠識別并繪制簡單的軸對稱圖形。他們在前幾章節(jié)的學(xué)習(xí)中，對軸對稱的應(yīng)用有了初步的認識，為本節(jié)課探究最短路徑問題提供了知識基礎(chǔ)。

2.八年級的學(xué)生普遍對數(shù)學(xué)學(xué)科有一定的興趣，特別是在解決實際問題時表現(xiàn)出較高的積極性。他們具備一定的邏輯思維能力和空間想象力，但學(xué)習(xí)能力和風(fēng)格存在差異。部分學(xué)生善于觀察和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，喜歡通過動手操作來解決問題；而另一些學(xué)生則更傾向于理論學(xué)習(xí)，需要更多的引導(dǎo)和啟發(fā)。

3.在學(xué)習(xí)最短路徑問題時，學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)模型的能力不足，對軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用不夠熟練，以及在求解過程中可能會忽略某些特殊情況。此外，學(xué)生在合作探究過程中可能存在溝通不暢、分工不明確等問題。

針對以上分析，教師在教學(xué)過程中應(yīng)關(guān)注學(xué)生的個體差異，采用多樣化的教學(xué)策略，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)他們克服困難，提高解決問題的能力。同時，注重培養(yǎng)學(xué)生的團隊協(xié)作能力，使他們相互學(xué)習(xí)、共同進步。教學(xué)資源1.硬件資源：

-交互式電子白板

-學(xué)生用計算機或平板

-實物模型或教具（如直尺、圓規(guī)、剪刀等）

2.軟件資源：

-數(shù)學(xué)教學(xué)軟件（幾何畫板、MathType等）

-課堂管理系統(tǒng)（如教室管理系統(tǒng)）

3.課程平臺：

-學(xué)校局域網(wǎng)教學(xué)平臺

-電子書包平臺

4.信息化資源：

-電子教材

-課件（PPT、動畫等）

-微課視頻

-在線習(xí)題庫

5.教學(xué)手段：

-探究式教學(xué)

-小組合作學(xué)習(xí)

-課堂討論與分享

-實物操作與演示教學(xué)實施過程1.課前自主探索

-教師活動：發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)，提供電子教材和預(yù)習(xí)指導(dǎo)，通過校園網(wǎng)教學(xué)平臺布置探究性問題。

-學(xué)生活動：學(xué)生登錄平臺，下載預(yù)習(xí)資料，獨立探索軸對稱與最短路徑的關(guān)系。

-教學(xué)方法：采用翻轉(zhuǎn)課堂模式，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。

-教學(xué)手段：使用電子教材、預(yù)習(xí)指導(dǎo)、校園網(wǎng)教學(xué)平臺。

-作用和目的：培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，初步感知難點。

例如：讓學(xué)生預(yù)習(xí)后嘗試解決一個簡單的最短路徑問題，如通過軸對稱圖形找到兩點之間的最短距離。

2.課中強化技能

-環(huán)節(jié)一：問題引入

-教師活動：利用交互式電子白板展示實際生活中的最短路徑問題，引導(dǎo)學(xué)生思考。

-學(xué)生活動：觀察并討論軸對稱在問題解決中的作用。

-教學(xué)方法：采用探究式教學(xué)，通過實例分析引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

-教學(xué)手段：使用交互式電子白板、實物模型。

-作用和目的：激發(fā)學(xué)生興趣，建立新舊知識聯(lián)系，突破難點。

-環(huán)節(jié)二：技能訓(xùn)練

-教師活動：指導(dǎo)學(xué)生使用幾何畫板軟件進行作圖，演示軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用。

-學(xué)生活動：分組操作，合作探究，解決最短路徑問題。

-教學(xué)方法：小組合作學(xué)習(xí)，動手操作，交流分享。

-教學(xué)手段：使用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件、實物教具。

-作用和目的：加強學(xué)生對軸對稱性質(zhì)的理解，訓(xùn)練學(xué)生的實際操作能力，鞏固重點。

-環(huán)節(jié)三：鞏固提升

-教師活動：通過電子白板展示典型例題，引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)論證。

-學(xué)生活動：獨立完成例題，小組討論解題策略。

-教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合，注重學(xué)生思維過程的展現(xiàn)。

-教學(xué)手段：使用電子白板、在線習(xí)題庫。

-作用和目的：提升學(xué)生的邏輯推理能力，加深對最短路徑問題解決策略的理解。

3.課后拓展應(yīng)用

-教師活動：布置具有挑戰(zhàn)性的拓展題目，提供相關(guān)學(xué)習(xí)資源。

-學(xué)生活動：學(xué)生自主選擇題目，運用所學(xué)知識解決問題，上傳解題過程和答案。

-教學(xué)方法：采用任務(wù)驅(qū)動法，鼓勵學(xué)生自主探究和創(chuàng)造性思考。

-教學(xué)手段：使用電子書包平臺、微課視頻。

-作用和目的：培養(yǎng)學(xué)生解決問題的綜合能力，拓展學(xué)生的知識視野，實現(xiàn)知識的實際應(yīng)用。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-推薦閱讀：《數(shù)學(xué)故事》系列書籍，特別是與軸對稱及最短路徑相關(guān)的章節(jié)，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識在歷史長河中的應(yīng)用。

-知識拓展：介紹歐幾里得、費馬等數(shù)學(xué)家的生平和成就，特別是他們在幾何學(xué)領(lǐng)域?qū)S對稱和最短路徑問題研究的貢獻。

-實踐活動：組織學(xué)生參觀城市規(guī)劃館，了解城市道路設(shè)計中的數(shù)學(xué)原理，觀察軸對稱在建筑設(shè)計中的應(yīng)用。

-課題研究：鼓勵學(xué)生圍繞軸對稱和最短路徑問題開展小課題研究，如“生活中的軸對稱設(shè)計”、“最短路徑在實際中的應(yīng)用”等。

2.拓展建議：

-閱讀拓展：引導(dǎo)學(xué)生閱讀與軸對稱相關(guān)的數(shù)學(xué)故事和科普文章，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣，同時加深對軸對稱概念的理解。

-研究性學(xué)習(xí)：鼓勵學(xué)生結(jié)合實際情境，如校園布局、社區(qū)規(guī)劃等，發(fā)現(xiàn)并解決其中的最短路徑問題，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和解決實際問題的能力。

-數(shù)學(xué)寫作：要求學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)日記或小論文，記錄他們在學(xué)習(xí)軸對稱和最短路徑過程中的思考、發(fā)現(xiàn)和困惑，促進學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)。

-創(chuàng)新設(shè)計：鼓勵學(xué)生運用軸對稱原理進行藝術(shù)創(chuàng)作或設(shè)計，如剪紙、繪畫等，將數(shù)學(xué)知識融入藝術(shù)作品中，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的美學(xué)價值。

-交流分享：組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)社團或小組活動，分享各自在拓展學(xué)習(xí)中的收獲和體驗，通過討論和交流，互相啟發(fā)和借鑒。板書設(shè)計①重點知識點：

-軸對稱性質(zhì)

-最短路徑問題

-軸對稱與線段、曲線的最短距離關(guān)系

②關(guān)鍵詞與句：

-軸對稱：圖形、點、線、面的對稱性質(zhì)

-最短路徑：線段、曲線的最短距離求解

-應(yīng)用實例：實際生活中的軸對稱最短路徑問題

③藝術(shù)性與趣味性：

-采用圖示法，以軸對稱圖形為背景，突出顯示最短路徑。

-使用不同顏色粉筆，區(qū)分關(guān)鍵信息，如對稱軸、最短路徑等。

-設(shè)計有趣的軸對稱圖案，如蝴蝶、心形等，引發(fā)學(xué)生對軸對稱的興趣。

-創(chuàng)設(shè)情境，如“尋找寶藏”游戲，讓學(xué)生在游戲中體驗最短路徑的求解過程。

板書設(shè)計條理清楚、重點突出，簡潔明了，便于學(xué)生理解和記憶；同時注重藝術(shù)性和趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性，使學(xué)生在愉快的氛圍中掌握本節(jié)課的知識點。典型例題講解例題1：

給定一個矩形ABCD，其對角線交點為E，點F在BC上，且EF垂直于BC。求證：EF是矩形ABCD中任意一點到BC的最短路徑。

解答：

由于ABCD是矩形，所以對角線AC和BD相等且交于點E，E是AC和BD的中點。

設(shè)任意一點P在矩形ABCD內(nèi)，連接FP和EP。

由于EF垂直于BC，根據(jù)點到直線的距離公式，F(xiàn)P的長度為點P到BC的垂線段長度。

而EP是矩形對角線的一半，是固定的。

根據(jù)勾股定理，F(xiàn)P的長度最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)P與E重合時。

因此，EF是矩形ABCD中任意一點到BC的最短路徑。

例題2：

在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點A(1,2)和B(5,6)，求點A到直線y=3x+1的最短距離。

解答：

首先，求直線y=3x+1上與點A(1,2)的垂線段長度。

直線y=3x+1的斜率為3，所以垂線的斜率為-1/3。

將垂線方程與直線y=3x+1聯(lián)立，解得交點C的坐標(biāo)為(3,4)。

利用距離公式，計算AC的長度，即為點A到直線y=3x+1的最短距離。

距離d=√[(3-1)2+(4-2)2]=√[22+22]=√8=2√2。

例題3：

在等腰三角形ABC中，AB=AC，點D是AB上的一個動點，且AD=BD。求證：CD是三角形ABC中任意一點到BC的最短路徑。

解答：

由于AB=AC，且AD=BD，可以得出∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°。

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，AD垂直于BC。

設(shè)任意一點P在三角形ABC內(nèi)，連接DP和CP。

由于AD垂直于BC，DP的長度為點P到BC的垂線段長度。

而CD是固定的，根據(jù)點到直線的距離公式，CD的長度為點A到BC的垂線段長度。

因此，CD是三角形ABC中任意一點到BC的最短路徑。

例題4：

在圓O中，給定弦AB，點C在弦AB上，且OC垂直于弦AB。求證：OC是圓中任意一點到弦AB的最短路徑。

解答：

連接OA、OB和OC。

由于OC垂直于弦AB，且通過圓心O，根據(jù)圓的性質(zhì)，OC為弦AB的垂直平分線。

設(shè)任意一點P在圓內(nèi)，連接OP和CP。

由于OC是弦AB的垂直平分線，CP的長度等于點P到弦AB的垂線段長度。

而OC是固定的，所以O(shè)C是圓中任意一點到弦AB的最短路徑。

例題5：

在橢圓中，給定焦點A和B