高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)習(xí)題【講解】

高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)習(xí)題及詳解

一、選擇題

―““3+2,

1?復(fù)數(shù)2—3j=（）

A.i

B.~i

C.12-13;

D.12+13/

［答案］A

［解析］錯誤!=錯誤！=錯誤！=i.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i,-2+3i對應(yīng)的點分別為A,B.若C為線段48的中點，則

點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A.4+8i

B.8+2i

C.2+4i

D.4+i

［答案］C

［解析］由題意知A（6,5）,B（—2,3）4B中點C（x,y）,則》=錯誤！=2,y=錯誤!

=4,

.?.點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i,故選C.

3.若復(fù)數(shù)（加一3"?-4）-F（m2—5m—6），表示的點在虛軸上，則實數(shù)，"的值是（）

A.-1

B.4

C.一1和4

D.一1和6

［答案］C

［解析］由加—3m—4=0得"?=4或一1,故選C.

［點評］復(fù)數(shù)z=a+歷（a、對應(yīng)點在虛軸上和z為純虛數(shù)應(yīng)加以區(qū)別.虛軸上

包括原點（參見教材104頁的定義），切勿錯誤的以為虛軸不包括原點.

4.（文）已知復(fù)數(shù)2=錯誤!，則錯誤!d在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

［答案］B

［解析］2=錯誤！，錯誤！=錯誤！+錯誤!，錯誤!”=一錯誤！+錯誤!i.實數(shù)一錯誤!,

虛部錯誤！，對應(yīng)點錯誤!在第二象限，故選B.

(理)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在單位圓上，則復(fù)數(shù)錯誤!()

A,是純虛數(shù)

B.是虛數(shù)但不是純虛數(shù)

C.是實數(shù)

D.只能是零

［答案］C

［解析］解法1:...z的對應(yīng)點P在單位圓上，

.?.可設(shè)尸(cos。,sin?),；.z=cosO+isin。.

則錯誤！=錯誤！=錯誤！

=2cos6為實數(shù).

解法2：設(shè)2=。+萬(4、b&R),

的對應(yīng)點在單位圓上，.?./+序=1,

:.(a-bi)(a+bi)=?+扶=1,

.,.錯誤！=z+錯誤！=(a+bi)+(a-bi)=2a^R.

5.(2010.廣州市)復(fù)數(shù)(3z-l)i的不胡復(fù)鰲是()

A.-3+/

B.-3~i

C.3+z

D.3~i

［答案］A

［解析］(3/-l)/=-3-z,其共匏復(fù)數(shù)為-3+i。

6.已知x?eR,i是虛數(shù)單位，且(x-l)i—y=2+i,則(1+。廠＞'的值為()

A.-4

B.4

C.-1

D.1

［答案］A

［解析］由(x—l)i—y=2+i得小=2,y=—2,所以(1+i)。=(1+。4=(2/)2=-4,

故選A.

7.(文)復(fù)數(shù)窈=3+5=1一，；則2=21口在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一-象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

［答案］D

［解析］：Z=ZIZ2=（3+z）（l-z）=4-2z,??.選D。

（理）現(xiàn)定義:理=cos8+isin”其中i是虛數(shù)單位，e為自然對數(shù)的底，。仁氏且實數(shù)指數(shù)

523244

幕的運算性質(zhì)對那都適用，若a=C5°COS0-C5cos0sin<9+C5cos<9sin0,8=C51cos%sin。

—C53cos20sin30+C55sin50,那么復(fù)數(shù)a+bi等于（）

A.cos50+isin5。

B.cos50—isin50

C.sin59+icos59

D.sin50—icos50

［答案］A

522323323

［解析］a+bi=C50COS6>+iC51cos,Osin。+iC5cos0sin<9+iC5cos<9sin<9+

i4C54cos0sin40+i5C55sin50=（cos0+isin0）5=（ei0）5=e2伊=cos56+isin56,選A。

8.（文）已知復(fù)數(shù)。=3+2訪=4+xi（其中i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)錯誤！WR,則實數(shù)x

的值為（）

A-6

B6

8

C-

3

D.一錯誤！

［答案］C

［解析］錯誤！=錯誤！=錯誤！

=16+x2+錯誤'?,?錯誤！=0,，^^錯誤！。

（理）設(shè)Z=1—d是虛數(shù)單位），則z2+：=（）

A.-l-i

B.-1+i

C,1—i

D.1+z

［答案IC

［解析］???z=l-i,??.z2=-2i,錯誤！=錯誤！=l+i,

7

2_選

/.z+z=l—f,C.

9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)錯誤!對應(yīng)的點到直線y=x+l的距離是（）

A。錯誤！

B?錯誤！

C.2

D.2錯誤！

［答案］A

［解析］?.?錯誤!=錯誤！=l+i對應(yīng)點為（1,1）,它到直線x-y+l=0距離d=錯誤!

=錯誤！，故選A。

10.（文）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z+I錯誤！I=2+1,則z等于（）

A.

B.錯誤！T

Co錯誤!+i

D.一錯誤!一i

［答案］C

［解析］由z=2—I錯誤!|+i知z的虛部為1,設(shè)z=a+i（“CR）,則由條件知a—2

一錯誤！，...〃=錯誤！，故選C。

（理）若復(fù)數(shù)z=錯誤！"GR,i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則|〃+2i|等于（）

A.2

B.2錯誤！

C.4

D.8

［答案］B

［解析］z=錯誤!=錯誤！=錯誤！+錯誤!i是純虛數(shù),.?.錯誤！，."=2,

：.\a+2i\=|2+24=2錯誤！。

二、填空題

11.規(guī)定運算錯誤!=以/一反，若錯誤！=1-2人設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=.

［答案］1-/

［解析］由已知可得錯誤！=2Z+F=2Z—1=1-2z,z—1—io

12.若復(fù)數(shù)zi=4—i,Z2=1+i（i為虛數(shù)單位），且Z「Z2為純虛數(shù),則實數(shù)a的值為.

［答案］T

［解析］因為Z「Z2=（?—i）（1+i）=a+1+（＜7—1）i為純虛數(shù)，所以a=-1。

13.（文）若。是復(fù)數(shù)4=3的實部力是復(fù)數(shù)Z2=（1一萬的虛部，則仍等于.

［答案］—錯誤！

［解析］；z嚴(yán)錯誤!=錯誤！=錯誤!+錯誤!i,

，4=錯誤!。

又Z2=(1-/)3=1—3Z+3J2一尸=—2—2i,：.b=-2。

于是，必=一錯誤！。

(理)如果復(fù)數(shù)錯誤!(i是虛數(shù)單位)的實數(shù)與虛部互為相反數(shù)，那么實數(shù)人等于.

［答案J一錯誤！

［解析］錯誤！=錯誤!?錯誤！=錯誤！一錯誤!i,

2—2/?

由復(fù)數(shù)的實數(shù)與虛數(shù)互為相反數(shù)得，一―=錯誤！，

解得匕=一錯誤!.

14.(文)若復(fù)數(shù)z=sina—i(l—cosa)是純虛數(shù)，則a=.

［答案J(2&+1)兀(&GZ)

I解析］依題意，錯誤！，即錯誤！，所以a=(2k+im(MZ).

［點評］新課標(biāo)教材把《復(fù)數(shù)》這一章進行了精簡，不再要求復(fù)數(shù)的三角形式以及復(fù)

雜的幾何形式和性質(zhì);對于復(fù)數(shù)的模的要求很低，了解概念就行.主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

以及復(fù)數(shù)的四則運算，這是我們復(fù)習(xí)的重點，不要超過范圍.

(理)設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(12+5i)(cos0+isin。),若zGR,則tan。的值為.

［答案］一錯誤！

［解析］z=(12cos6?-5sin6?)+(l2sin6>+5cos61)zGR,

.?.12sin0+5cos6=0,.?.tan9=一錯誤！。

三、解答題

15.已知復(fù)數(shù)2=錯誤！+(a2—5a—6)i(a￡R).

試求實數(shù)“分別為什么值時，z分別為：

(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).

［解析］(1)當(dāng)z為實數(shù)時，錯誤！，

：.a=6,...當(dāng)”=6時，z為實數(shù).

(2)當(dāng)z為虛數(shù)時，錯誤！，

二。關(guān)一1且

故當(dāng)“GR,aW—1且“W6時,z為虛數(shù).

(3)當(dāng)z為純虛數(shù)時，錯誤！

.,.67=1,故。=1時，Z為純虛數(shù).

16.求滿足錯誤！=1且z+錯誤！GR的復(fù)數(shù)z.

I解析］設(shè)z=a+6i(a、6GR),

由錯誤！=10|z+lI=Iz—1I,

由|(a+l)+bi|=|(a-l)+WI,

，(a+1)2+Z>2=(a—l)2+fe2,#a=0,

，z=bi,又由Z?i+錯誤！GR得，

匕一錯誤!=0=>方=士錯誤!,，z=±錯誤!i。

17.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，記

第一次出現(xiàn)的點數(shù)為“，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為從

(1)設(shè)復(fù)數(shù)z=a+〃(i為虛數(shù)單位)，求事件“z—3i為實數(shù)”的概率；

(2)求點P(a力)落在不等式組錯誤!表示的平面區(qū)域內(nèi)(含邊界)的概率.

［解析］(1)z=a+bi”?為虛數(shù)單位)，z—3i為實數(shù)，則。+加―3i=a+(匕-3)i為實

數(shù)，則b=3。

依題意得力的可能取值為1,2,3,456,故6=3的概率為錯誤!。即事件“z-3i為實數(shù)”

的概率為錯誤！。

(2)連續(xù)拋擲兩次骰子所得結(jié)果如下表：

123456

1(1,1)(1,2)(1,3)