初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）第23講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師版）

第23講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用；2．會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡、求值與恒等式證明一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系1、平方關(guān)系：，文字表述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于12、商數(shù)關(guān)系：，文字表述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切注意以下三點(diǎn)：（1）“同角”有兩層含義：一是“角相同”；二是對“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)形式無關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的簡寫，讀作“sinα的平方”，不能將sin2α寫成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫．（3）注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，sin2α＋cos2α＝1對一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)僅對α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．二、已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的步驟第一步：由已知三角函數(shù)的符號，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限分類討論；第三步：利用同角三角函數(shù)關(guān)系及其變形公式，求出其余三角函數(shù)值。三、三角函數(shù)式的化簡技巧①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡的目的．②對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的．③對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造＋＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的．四、三角函數(shù)恒等式證明證明三角恒等式的過程，實(shí)質(zhì)上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立．考點(diǎn)一：sina、cosa、tana知一求二例1．已知，在第二象限，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由及是第二象限角，得，所以.故選：C【變式訓(xùn)練1】已知，且為第四象限角，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)闉榈谒南笙藿牵裕蔬x：D.【變式訓(xùn)練2】已知是第二象限角，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵為第二象限角，，∴．故選：B．考點(diǎn)二：正、余弦齊次式的應(yīng)用例2．已知，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故選：C．【變式訓(xùn)練1】若，則的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A【變式訓(xùn)練2】已知，求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以原式?）因?yàn)?，所?考點(diǎn)三：sinacosa、sina±cosa知一求二例3．的三個(gè)內(nèi)角為，若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以為，，故可得，故，則.故選：D.【變式訓(xùn)練】已知，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，，，所以.故選：C考點(diǎn)四：三角函數(shù)化簡求值問題例4．（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：B【變式訓(xùn)練】化簡：（是第二、三象限角）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】．當(dāng)是第二、第三象限角時(shí)，原式．故選：C．考點(diǎn)五：三角恒等式的證明問題例5．求證：＝.【答案】證明見解析【解析】證明：∵右邊＝＝＝＝＝＝左邊，∴＝.【變式訓(xùn)練】求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）.所以原式成立.（2）.所以原式成立.1．若且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，.故選：B．2．已知，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，則，又，即，所以.故選：A3．已知，則的值為（）A．B．C．6D．【答案】B【解析】.故選：B.4．已知在中，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，則，可得，又，則，即，可得，又因?yàn)?，所?故選：B.5．已知，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)棰伲瑑蛇吰椒降茫?，所以與異號，又，所以，，所以②，由①②解得，所以．故選：C6．若，化簡：（）A．B．C．D．【答案】D【解析】且，所以，所以故選：D7．已知，，則______【答案】【解析】因?yàn)?，可得，故答案為?8．已知，則_______．【答案】/【解析】.故答案為：9．（1）已知，且為第四象限角，求和的值；（2）已知，若是第二象限角，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)闉榈谒南笙藿牵瑒t，，.（2），所以，所以，所以.又因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，，所?10．（1）若，化簡：；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）原式，因?yàn)椋?，原?（2）證明：.1．已知角，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，可得在第二象限，∴，∴故選：D.2．若，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)榍遥?，所以；故選：A3．已知α是第四象限角，，則sinα等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)閠anα=，所以，所以cosα=sinα，代入sin2α+cos2α=1，得sin2α=，又α是第四象限角，所以sinα=.故選：D4．求（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，又，則，所以.故選：C5．已知，則()A．B．3C．6D．7【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，故選：D．6．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)大正方形的邊長為，則直角三角形的兩直角邊分別為，故，則，所以，又為銳角，則，所以.故選：A.7．（多選）已知，則下列選項(xiàng)正確的是()A．B．C．D．【答案】ABD【解析】兩邊平方，得，即，則，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，選項(xiàng)B正確，因?yàn)?，故D正確，C錯(cuò)誤，故選：ABD．8．（多選）已知,且和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則=（）A．B．