2024年福建省中考+專用數(shù)學一輪知識點梳理復習5.2-特殊的平行四邊形課件

PPT下載http:///xiazai/第5章四邊形5.2特殊的平行四邊形

矩形1.矩形的定義有一個角是

的平行四邊形叫做矩形.直角

2.矩形的性質(zhì)（1）邊：兩組對邊分別

且

?；（2）角：四個角都是

?；（3）對角線：對角線互相

且

?；（4）對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有

?

條對稱軸，兩條對稱軸是過對角線交點且與邊平行的直線；平行

相等

直角

平分

相等

兩

（5）面積：矩形的面積等于相鄰兩邊的乘積，即S＝ab.注意點①矩形的四個角都是直角，一條對角線將矩形分成兩個直角

三角形，用勾股定理或三角函數(shù)求線段的長；②當已知條件中有一個角為30°時，應聯(lián)想到“在直角三角形

中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”這一性質(zhì).③矩形中的特殊三角形與面積問題圖形

延伸一60°（或AB

＝AO）

結(jié)論一對全等的

直角三角形S1

S2兩對全等的等腰三

角形：S1

S2

S3

?

S4△AOB和△DOC是

一對全等的等邊三

角形＝＝＝

＝

3.矩形的判定（1）有一個角是直角的

?叫做矩形；（2）對角線

?的平行四邊形是矩形；（3）有三個角是直角的

是矩形.平行四邊形

相等

四邊形

（4）具體如下：

注意點判定矩形時首先明確判定的前提是四邊形還是平行四邊形，

再選擇合適的判定定理.比如：對角線相等的四邊形不一定是

矩形，還可能是等腰梯形.

菱形1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.菱形的性質(zhì)（1）邊：兩組對邊分別

，四條邊都

?

?；（2）角：兩組對角分別

?；（3）對角線：對角線互相

?，且每一條對角線平

分一組對角；平行且相等

相

等

相等

垂直平分

2

3.菱形的判定（1）一組

?相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的

?是菱形；（3）四條邊都相等的

是菱形.（4）具體如下：

鄰邊

平行四邊形

四邊形

注意點菱形中的特殊三角形與面積問題圖形

延伸一：60°延伸二：60°（AE＝BF）結(jié)論一對全等的等腰三角形：S1

?

S2四個全等的

直角三角

形：S1

S2

?

S3

?

S4△ABD和

△CBD是

一對全等

的等邊三

角形△AED≌△BFD；△BED≌△CFD；△ABD≌△CBD＝

＝

＝＝

注：菱形中連接一邊的中點與兩條對角線的交點可構(gòu)成直角

三角形斜邊上的中線或三角形的中位線。

正方形1.正方形的定義有一組鄰邊相等且一個角是直角的

?叫做正

方形.平行四邊形

2.正方形的性質(zhì)（1）邊：對邊

，四條邊都

?；（2）角：四個角都是

?；（3）對角線：對角線

且互相

?；平行且相等

相等

直角

相等

垂直平分

4

3.正方形的判定（1）一組

?的矩形是正方形；（2）有一個角是直角的

?是正方形；（3）有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是

正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線相等的菱形是正方形；（6）對角線

?且相等的四邊形是正方形；鄰邊相等

菱形

互相垂直平分

（7）四條邊都相等且四個角都是直角的四邊形是正方形.（8）具體如下：

圖形

（人教八下P58例5）延伸：巧用45°

EF是平行于邊AD的任意

一條直線結(jié)論一對全等的

等腰直角三

角形；S1

S2四個全等的等腰

直角三角形：S1

S2

?

S3

S4△AEG和△CFG都是等

腰直角三角形＝＝＝

＝特別地，①45°＋直角三角形＋斜邊中線可得到很多相等線段；

②注意兩條對角線的對稱性的應用.

平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)對比邊角對角線對稱性平行四邊形對邊平行

且相等對角相等對角線互相

平分中心對稱圖形矩形對邊平行

且相等四個角都

是直角對角線互相

平分且相等軸對稱圖形；中心對稱圖形邊角對角線對稱性菱形對邊平

行、四條

邊都相等對角相等對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一

組對角軸對稱圖形；中心對稱圖形正方形對邊平

行、四條

邊都相等四個角都是

直角對角線互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角軸對稱圖形；中心對稱圖形2.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們之間的關系

如下：

中點四邊形1.定義：依次連接任意一個四邊形各邊中點所得到的四邊形叫做

中點四邊形.2.常見結(jié)論注意點（1）不管原四邊形的形狀如何改變，中點四邊形的形狀始終是

平行四邊形；（2）中點四邊形的周長是原四邊形兩條對角線的長度之和；（3）中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半；注意點（4）如圖，點E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點，點G，H分別為

線段CD，BD的中點，則①四邊形EFGH一定為

?

；②若AD＝BC，則四邊形EFGH為

；③若

AD⊥BC，則四邊形EFGH為

；④若AD＝BC且

AD⊥BC，則四邊形EFGH為

?.平行四邊

形

菱形

矩形

正方形

（5）如圖，點E，G分別為邊AD，BC的中點，點F，H分別為

線段BD，AC的中點，則①四邊形EFGH一定

?；

②若AB＝CD，則四邊形EFGH為

；③若AB⊥CD，則

四邊形EFGH為

；④若AB＝CD且AB⊥CD，則四邊形

EFGH為

?.平行四邊形

菱形

矩形

正方形

類型一

矩形的性質(zhì)及判定1.下列命題正確的是（A）A.有一個角是直角的平行四邊形是矩形B.四條邊相等的四邊形是矩形C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形D.對角線相等的四邊形是矩形A2.（2023·株洲）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC與BD

相交于點O，下列說法正確的是（A）A.點O為矩形ABCD的對稱中心B.點O為線段AB的對稱中心C.直線BD為矩形ABCD的對稱軸D.直線AC為線段BD的對稱軸第2題圖A3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，過對角線交點O作

EF⊥AC交AD于點E，交BC于點F，則DE的長是（B）A.1C.2第3題圖B4.（2023·岳陽）如圖，點M在?ABCD的邊AD上，BM＝CM，請

從以下三個選項中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，選

擇一個合適的選項作為已知條件，使?ABCD為矩形.（1）你添加的條件是

?（填序號）；解：（1）①當∠1＝∠2時，

?

ABCD為矩形；②當AM＝DM時，?ABCD為矩形，故答案為：①或②；第4題圖①或②

（2）添加條件后，請證明?ABCD為矩形.

第4題圖

第4題圖5.（2023·威海）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片.將其按如

圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點A落在點H處，折

痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點B落在點G處，折痕為CF.若

矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長為

（C）第5題圖C類型二

菱形的性質(zhì)及判定6.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，O（0，

0），A（4，0），∠AOC＝60°，則對角線交點E的坐標為

（D）第6題圖D7.（2023·吉林）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，剪兩張對邊平行的紙

條，隨意交叉疊放在一起，使重合的部分構(gòu)成一個四邊形

EFMN.轉(zhuǎn)動其中一張紙條，發(fā)現(xiàn)四邊形EFMN總是平行四邊形.

其判定的依據(jù)是

?

?.兩組對邊分別相平行的四邊形是平行四

邊形

第7題圖解：【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖①，四邊形EFMN總是平行四邊形.其

判定的依據(jù)是兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；故答案為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；【探究提升】取兩張短邊長度相等的平行四邊形紙條ABCD和

EFGH（AB＜BC，F(xiàn)G≤BC），其中AB＝EF，∠B＝∠FEH，將

它們按圖②放置，EF落在邊BC上，F(xiàn)G，EH與邊AD分別交于點

M，N.求證：?EFMN是菱形.第7題圖【探究提升】

證明：∵四邊形紙條ABCD和EFGH是平行

四邊形，∴MN∥EF，EN∥FM，∴四邊形EFMN是平行四邊形，∵∠B＝∠FEH，∴AB∥NE，∵AN∥BE，∴四邊形ABEN

是平行四邊形，∴AB＝EN，∵AB＝EF，∴EN＝EF，∴?EFMN是菱形.8.（2023·十堰）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是

AB，BC，CD，AD上的點，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的

面積等于24，BD＝8，則EF＋GH＝

?.第8題圖6

9.如圖，△ABC中，點D是AB上一點，點E是AC的中點，過點C

作CF∥AB，交DE的延長線于點F.（1）求證：AD＝CF；解：（1）證明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝

∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵點E是AC的中點，∴AE＝CE，

∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；第9題圖（2）連接AF，CD.如果點D是AB的中點，那么當AC與BC滿足

什么條件時，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論.

第9題圖10.（2023·日照）如圖，平行四邊形ABCD中，點E是對角線AC

上一點，連接BE，DE，且BE＝DE.（1）求證：四邊形ABCD是菱形；第10題圖

第10題圖（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四邊形ABCD的面積.

第10題圖

第10題圖類型三

正方形的性質(zhì)及判定11.（2023·棗莊）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交

于點O，E為BC上一點，CE＝7，F(xiàn)為DE的中點，若△CEF的

周長為32，則OF的長為

?.第11題圖

12.下列命題為假命題的是（C）A.對角線相等的平行四邊形是矩形B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形C.有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形C

第13題圖8

14.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)

在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求證：四邊形AECF是

正方形.第14題圖證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形.第14題圖

第15題圖

第15題圖（2）請說明當?ABCD的對角線滿足什么條件時，四邊形

BPCO是正方形？

第15題圖16.如圖，線段AB＝8，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點，以AP

為邊作正方形APCD，且點C、D與點B在AP兩側(cè)，在線段DP

上取一點E，使∠EAP＝∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F

（點F與點A、B不重合）.（1）求證：△AEP≌△CEP；第16題圖解：（1）證明：∵四邊形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝

∠CPD＝45°，又∵PE＝PE，∴△AEP≌△CEP（SAS）；第16題圖（2）判斷CF與AB的位置關系，并說明理由；解：（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，∵∠EAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠FCP，∵∠FCP＋∠CMP＝90°，∠AMF＝

∠CMP，∴∠AMF＋∠PAB＝90°，∴∠AFM＝90°，

∴CF⊥AB；第16題圖（3）求△AEF的周長.解：（3）過點C作CN⊥PB.∵CF⊥AB，BG⊥