新教材適用2024-2025學年高中數(shù)學第8章立體幾何初步8.2立體圖形的直觀圖素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第二冊

第8章8.2A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，則在直觀圖中∠A′＝(D)A．45° B．135°C．90° D．45°或135°[解析]在直觀圖中，由斜二測畫法知∠x′O′y′＝45°或∠x′O′y′＝135°，即∠A′＝45°或∠A′＝135°，故選D.2．AB＝2CD，AB∥x軸，CD∥y軸，已知在直觀圖中，AB的直觀圖是A′B′，CD的直觀圖是C′D′，則(C)A．A′B′＝2C′D′ B．A′B′＝C′D′C．A′B′＝4C′D′ D．A′B′＝eq\f(1,2)C′D′[解析]∵AB∥x軸，CD∥y軸，∴AB＝A′B′，CD＝2C′D′，∴A′B′＝AB＝2CD＝2(2C′D′)＝4C′D′.3．如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，則以下說法正確的是(C)A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等邊三角形[解析]將其還原成原圖，設A′C′＝2，則可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，從而AB＝BC＝eq\r(2)，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形．故選C.4．如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，△A′B′C′為等腰直角三角形，其中O′與A′重合，A′B′＝4，則△ABC的面積是(B)A．8 B．8eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)[解析]∵A′B′＝4，O′C′⊥B′C′，O′C′＝B′C′，∴O′C′＝2eq\r(2)，則△ABC如圖所示，其中AB⊥AC，AB＝4，AC＝4eq\r(2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝8eq\r(2).5．(多選題)如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，則關于平面四邊形OABC有(BD)A．圖形為矩形 B．周長為8cmC．邊OC的長度為2cm D．面積為2eq\r(2)cm2[解析]把直觀圖O′A′B′C′還原為原圖形OABC，如圖所示，所以原圖形OABC為平行四邊形，故A錯誤；依據題意，OA＝O′A′＝1cm，OB＝2O′B′＝2eq\r(2)cm，AB＝OC＝eq\r(1＋8)＝3cm，平面四邊形OABC的周長為3＋3＋1＋1＝8cm，故B正確，C錯誤；所以平行四邊形OABC的面積S＝2eq\r(2)×1＝2eq\r(2)cm2，故D正確．二、填空題6.如右圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實際長度是_10__.[解析]由斜二測畫法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，則AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.7．如圖所示，一個水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標系xOy中，點B的坐標為(2,2)，則用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為eq\f(\r(2),2).[解析]如圖，B′C′＝1，B′到x′軸的距離為1×sin45°＝eq\f(\r(2),2).故答案為eq\f(\r(2),2).8．如圖，平行四邊形O′P′Q′R′是四邊形OPQR的直觀圖，若O′P′＝3，O′R′＝1，則原四邊形OPQR的周長為_10__.[解析]由四邊形OPQR的直觀圖可知原四邊形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四邊形OPQR的周長為2×(3＋2)＝10.三、解答題9.如圖所示，四邊形ABCD是一個梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD為等腰直角三角形，O為AB的中點，試求梯形ABCD水平放置的直觀圖的面積．[解析]在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直觀圖仍為梯形，且上底CD和下底AB的長度都不變，在直觀圖中，O′D′＝eq\f(1,2)OD，梯形的高D′E′＝eq\f(\r(2),4)，于是梯形A′B′C′D的面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8).10．用斜二測畫法畫出底面邊長為1.4cm高為0.9cm的正四棱錐的直觀圖．[解析](1)畫軸，如圖1畫x′軸，y′軸，z′軸使得∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.(2)畫底面以點O′為中心，在x′軸上畫MN＝1.4cm，在y′軸上畫PQ＝0.7cm，分別過點M，N作y′軸的平行線，過點P，Q作x′軸的平行線，設它們的交點分別為A、B、C、D，則四邊形ABCD就是該棱錐的底面．(3)畫高確定頂點，在z′軸上截取O′S＝0.9cm.(4)連線成圖，連接SA，SB，SC，SD(留意區(qū)分實線和虛線)，去掉協(xié)助線，就得到了正四棱錐的直觀圖，如圖2所示．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．下圖甲所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是圖乙中的(C)[解析]按斜二測畫法規(guī)則，平行于x軸或x軸上的線段的長度在新坐標系中不變，平行于y軸或在y軸上的線段在新坐標系中變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)，并留意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，將圖形還原成原圖形知選C.2．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖A′B′C′D′是邊長為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長為(B)A．4eq\r(2)＋4 B．4eq\r(6)＋4C．8eq\r(2) D．8[解析]由題可知O′D′＝A′D′＝2，∠A′O′D′＝45°，∴O′A′＝2eq\r(2)，還原直觀圖可得原平面圖形，如圖，則OD＝2O′D′＝4，OA＝O′A′＝2eq\r(2)，AB＝DC＝2，∴AD＝eq\r(OA2＋OD2)＝eq\r(2\r(2)2＋42)＝2eq\r(6)，∴原平面圖形的周長為4eq\r(6)＋4.故選B.3．(多選題)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下述結論正確的是(AC)A．梯形的直觀圖照舊是梯形B．若△ABC的直觀圖是邊長為2的等邊三角形，那么△ABC的面積為eq\r(6)C．△ABC的直觀圖如圖所示，A′B′在x′軸上且A′B′＝2，B′C′與x′軸垂直，且B′C′＝eq\r(2)，則△ABC的面積為4D．菱形的直觀圖可以是正方形[解析]由于斜二測畫法平行關系不變，故梯形的直觀圖照舊是梯形，故A正確；直觀圖面積為eq\f(\r(3),4)×4＝eq\r(3)，依據直觀圖與原圖面積關系可得eq\r(3)＝eq\f(\r(2),4)S，解得S＝2eq\r(6)，故B錯誤；直觀圖中S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)，則△ABC的面積S＝eq\f(\r(2),\f(\r(2),4))＝4，故C正確．由于平行于y軸的線段長度減半，故菱形的直觀圖肯定是鄰邊不等的平行四邊形，故D錯誤．故選AC.二、填空題4.如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二測畫法得到的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是_AC__.[解析]畫出原圖形如圖所示，△ABC為直角三角形，明顯，AC邊最長．5．如圖所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC用斜二測畫法得到的直觀圖，A′B′在x′軸上，B′C′與x′軸垂直，且B′C′＝3，則△ABC的邊AB上的高為6eq\r(2).[解析]作線段C′D∥y′，交x′軸于點D，則C′D＝eq\f(B′C′,sin45°)＝eq\f(3,\f(\r(2),2))＝3eq\r(2)，所以邊AB上的高為2C′D＝6eq\r(2).故答案為6eq\r(2).三、解答題6．一個幾何體，它的下面是一個圓柱，上面是一個圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3cm，高為4cm，圓錐的高為3cm，畫出此幾何體的直觀圖．[解析](1)畫軸．如圖1所示，畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫圓柱的兩底面，在x軸上取A、B兩點，使AB的長度等于3cm，且OA＝OB.選擇橢圓模板中適當?shù)臋E圓過A，B兩點，使它為圓柱的下底面．在Oz上截取點O′，使OO′＝4cm，過O′作Ox的平行線O′x′，Oy的平行線O′y′類似圓柱下底面的作法作出圓柱的上底面．(3)畫圓錐的頂點．在Oz上截取點P，使PO′等于圓錐的高3cm.(4)成圖．連接A′A、B′B、PA′、PB′，整理得到此幾何體的直觀圖．如圖2所示．C組·探究創(chuàng)新如圖，四邊形A′B′C′D′是邊長為1的正方形，且它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖，請畫出該四邊形的原圖形，并求出原圖形的面積．[解析]畫出平面直角坐標系x