2023-2024學(xué)年北京市通州區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年北京市通州區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A(1,?2)所對應(yīng)復(fù)數(shù)的虛部為(

)A.1 B.?2 C.i D.?2i2.樣本數(shù)據(jù)3，5，7，2，10，2的中位數(shù)是(

)A.7 B.6 C.4 D.23.已知向量a=(?1,2)，a⊥b，那么向量b可以是A.(2,1) B.(2,?1) C.(?2,1) D.1,?24.在三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知A=π6,a=1,b=2A.π3 B.π4 C.π4或3π4 5.已知圓錐的底面半徑是1，高為3，則圓錐的側(cè)面積是(

)A.π B.3π C.4π 6.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，則AA.π6 B.π4 C.π37.在下列關(guān)于直線l、m與平面α、β的命題中，真命題是(

)A.若l?β，且α⊥β，則l⊥α B.若l⊥β，且α//β，則l⊥α

C.若α//β，l?α，m?β，則l//m D.若l⊥β，且α⊥β，則l//α8.一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、黃色和綠色小球各2個(gè)，不放回地逐個(gè)取出2個(gè)小球，則與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對立的事件有(

)A.2個(gè)小球恰有一個(gè)紅球 B.2個(gè)小球至多有1個(gè)紅球

C.2個(gè)小球中沒有綠球 D.2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球9.一個(gè)長為22，寬為2的長方形，取這個(gè)長方形的四條邊的中點(diǎn)依次為A，B，C，D，依次沿AB，BC，CD，DA，DB折疊，使得這個(gè)長方形的四個(gè)頂點(diǎn)都重合而得到的四面體，稱為“薩默維爾四面體”，如下圖，則這個(gè)四面體的體積為(

)

A.12 B.23 C.1 10.達(dá)?芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，把六片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成下圖的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成幾何體，則需要10個(gè)正方體疊落而成，若一個(gè)小球從圖中陰影小正方體出發(fā)，等概率向相鄰小正方體(具有接觸面)移動(dòng)一步，則經(jīng)過兩步移動(dòng)后小球又回到陰影小正方體的概率為(

)

A.14 B.13 C.512二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z1?i=2i(i為虛數(shù)單位)，則z的模為

．12.從寫有數(shù)字1,2,3,4,5的5張卡片中有放回的抽取兩次，兩次抽取的卡片數(shù)字和為5的概率是

．13.已知a,b,c分別是?ABC的角A,B,C的對邊，若b=5，c=4，AB?AC=?10，則A=

，?ABC的面積為

14.在正方形ABCD中，E是DC邊上一點(diǎn)，且DE=2EC，點(diǎn)F為AE的延長線上一點(diǎn)，寫出可以使得AF=λAB+μAD成立的λ，μ的一組數(shù)據(jù)λ,μ為15.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A①直線D1D與直線②當(dāng)0<CF<12時(shí)，③當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面AEF截正方體所得的截面面積為④當(dāng)CF=34時(shí)，截面S與A1D1，C1三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.（12分）已知向量a=(?1,0)，b=(2,?1)(1)求|a(2)若AB=a+b，BC=2a?b，CD17.（12分）在中小學(xué)生體質(zhì)健康測試中，甲、乙兩人各自測試通過的概率分別是0.6和0.8，且測試結(jié)果相互獨(dú)立，求：(1)兩人都通過體質(zhì)健康測試的概率；(2)恰有一人通過體質(zhì)健康測試的概率；(3)至少有一人通過體質(zhì)健康測試的概率．18.（12分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1(1)BD//平面C1(2)EF⊥平面ACC(3)求三棱錐B1?19.（13分）某地區(qū)高考實(shí)行新方案，規(guī)定：語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科目，考生還要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目．為了解某校學(xué)生選科情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表，用頻率估計(jì)概率．選考情況第1門第2門第3門第4門第5門第6門物理化學(xué)生物歷史地理政治高一選科人數(shù)807035203560高二選科人數(shù)604555404060高三選科人數(shù)504060404070(1)已知該校高一年級有400人，估計(jì)該學(xué)校高一年級學(xué)生中選考?xì)v史的人數(shù)；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)年級中選擇歷史學(xué)科的5名學(xué)生組成興趣小組，再從這5人中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加知識問答比賽，求這2名參賽同學(xué)來自不同年級的概率；(3)假設(shè)三個(gè)年級選擇選考科目是相互獨(dú)立的．為了解不同年級學(xué)生對各科目的選擇傾向，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機(jī)選取1名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，設(shè)這3名學(xué)生均選擇了第k門科目的概率為Pk(k=1,2,3,4,5,6)，當(dāng)Pk取得最大值時(shí)，寫出k的值．20.（13分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c，△ABC的面積為S，且S=a2(1)求角C；(2)若c?b=2bcosA，試判斷△ABC21.（13分）如圖，七面體ABCDEF中，菱形ABCD所在平面與矩形ACEF交于AC，平面CDF與平面ABF交于直線l．(1)求證：AB//l；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，試求當(dāng)BDAF為何值時(shí)，平面DEF⊥平面BEF條件①：平面ABCD⊥平面ACEF；條件②：CE⊥AB．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

答案解析1.B

【解析】復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A(1,?2)所對應(yīng)復(fù)數(shù)為1?2i，其虛部為?2．故選：B2.C

【解析】解：先對這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序重新排序：2，2，3，5，7，10．位于最中間的數(shù)是3，5，所以這組數(shù)的中位數(shù)是3+52故選：C．3.A

【解析】因?yàn)閍⊥b，所以對于A，若b=(2,1)，則a?b對于B，若b=(2,?1)，則a?b對于C，若b=(?2,1)，則a?b對于D，若b=(1,?2)，則a?b故選：A4.C

【解析】由題意，A=π因?yàn)閎>a，所以B>A，由正弦定理得asin即sinB=因?yàn)锽∈0,π所以B=π4或故選：C．5.D

【解析】因?yàn)閳A錐的底面半徑是1，高為3所以圓錐的母線長為(所以圓錐的側(cè)面積為π×2×1=2π．故選：D6.C

【解析】如圖所示：連接AC,AB

由正方體的性質(zhì)可得，AC//A1C1，則∠ACB又AC=B1C=A故選：C．7.B

【解析】對于A，α⊥β，當(dāng)平面α,β的交線為l時(shí)，滿足l?β，此時(shí)l?α，A錯(cuò)誤；對于B，由l⊥β，得存在過直線l的平面γ,δ，γ∩β=a,δ∩β=b，由于α//β，則平面γ,δ與平面α必相交，令γ∩α=a′,δ∩α=b′，于是a′//a,b′//b，顯然l⊥a,l⊥b，而l,a,a′?γ，則l⊥a′，同理l⊥b′，又a′,b′是平面α內(nèi)的兩條相交直線，因此對于C，α//β，l?α，m?β，l//m或l,m異面，C錯(cuò)誤；對于D，α⊥β，令α∩β=c，當(dāng)直線l在平面α內(nèi)，且l⊥c時(shí)，滿足l⊥β，此時(shí)l//α不成立，D錯(cuò)誤．故選：B8.A

【解析】2個(gè)小球恰有一個(gè)紅球包括2個(gè)小球1個(gè)紅球1個(gè)黃球和2個(gè)小球1個(gè)紅球1個(gè)綠球，與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對立，符合題意，故A正確；2個(gè)小球至多有1個(gè)紅球包括2個(gè)小球都不是紅球和2個(gè)小球恰有1個(gè)紅球，則2個(gè)小球至多有1個(gè)紅球與事件“2個(gè)小球都為紅色”是對立事件，故B錯(cuò)誤；2個(gè)小球中沒有綠球包括2個(gè)小球都為紅色，2個(gè)小球都為黃色和2個(gè)小球1個(gè)紅球1個(gè)黃球，則事件“2個(gè)小球都為紅色”是2個(gè)小球中沒有綠球的子事件，故C錯(cuò)誤；2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球包括2個(gè)小球都是紅球和2個(gè)小球1個(gè)紅球1個(gè)不是紅球，則事件“2個(gè)小球都為紅色”是2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球的子事件，故D錯(cuò)誤；故選：A9.B

【解析】由題意可得，BC=CD=AD=AB=3，取BD中點(diǎn)E，連接AE,CE，又AB=AD，所以AE⊥BD，且AE=AB則AE2+CE2=AC2，所以所以AE⊥平面BCD，則VA?BCD故選：B10.D

【解析】由題意可得，一個(gè)小球從圖中陰影小正方體出發(fā)，可以向上，向下或水平移動(dòng)，設(shè)小球向上移動(dòng)為事件A，小球水平移動(dòng)為事件B，小球向下移動(dòng)為事件C，小球回到陰影為事件D，則PA則P=1故選：D11.2【解析】z=2i故答案為：212.425【解析】用(x,y)中的x表示第一次取到的卡片數(shù)字，y表示第一次取到的卡片數(shù)字，由題知，樣本空間為Ω=(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)，共25記事件B：兩次抽取的卡片數(shù)字和為5，事件B包含的樣本點(diǎn)為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4個(gè)，所以兩次抽取的卡片數(shù)字和為5的概率是425故答案為：42513.2π3

；

；

；

；

；；5【解析】依題意，cosA=AB?AC|所以A=2π3；?ABC的面積故答案為：2π3；14.2,3(答案不唯一)【解析】由題意知DC=AC?故DE=則AE=又點(diǎn)F為AE的延長線上一點(diǎn)，故AF=t可取t=3，則AF=3(故使得AF=λAB+μAD成立的λ,μ的一組數(shù)據(jù)故答案為：2,3．15.②③④

【解析】①，因?yàn)镕為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，所以AF?平面ACC1A1，由正方體可知D1D//平面②，當(dāng)0<CF<12時(shí)，截面S與正方體的另一個(gè)交點(diǎn)落在線段所以截面為四邊形；又A1G?面A1MG，故A1③，連接AD

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC則EF//BC1//AD1在Rt?D1C又D1又EF=12B故截面面積S=12EF+A④，當(dāng)CF=34時(shí)，延長DD1至連接AR交A1D1于M，連接RF交C1D取AD的中點(diǎn)S，DD1上一點(diǎn)Q，使DQ=3如圖所示：因?yàn)镾E//DC且SE=DC，QF//DC且QF=DC，所以SE//QF且SE=QF，所以四邊形SEFQ是平行四邊形，則SQ//EF，由D1R=12，則Q為DR中點(diǎn)，則SQ//AR，所以EF//AR，又?RD可得D1所以D1則在Rt?MD1N中MN=故答案為：②③④．16.(1)解：a=(?1,0)，b則a+2故|a(2)證明：AB=a+則AC=CD=?所以CD//所以A，C，D三點(diǎn)共線．

【解析】(1)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量模公式，即可求解；(2)結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解．17.(1)根據(jù)題意，記甲通過體能測試為事件A，乙通過體能測試為事件B，且事件A與事件B相互獨(dú)立，則兩人都通過體能測試的概率P1(2)由事件A與事件B相互獨(dú)立，則恰有一人通過體能測試的概率為P2(3)由事件A與事件B相互獨(dú)立，則至少有一人通過體能測試的概率為P3【解析】根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果．18.(1)證明：∵E，F(xiàn)分別為BB1，DD1的中點(diǎn)，∴BE//DF且BE=DF，∴四邊形BDFE為平行四邊形，∴BD//EF，又EF?平面C1EF，BD不在平面∴BD//平面C1(2)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，∵BD//EF，∴AC⊥EF，∵AA1⊥平面ABCD，BD?∴AA∵BD//EF，AA1⊥EF，又AC?AA1=A，∴EF⊥平面ACC(3)∵F到平面BCC1BS?B故三棱錐B1?C

【解析】(1)先證明四邊形BDFE為平行四邊形，得出BD//EF，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；(2)根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得證；(3)利用F到平面BCC1B19.(1)解：由題意知，樣本中高一學(xué)生共有100人，其中選擇歷史學(xué)科的學(xué)生有20人，故估計(jì)高一年級選歷史學(xué)科的學(xué)生有400×20(2)解：應(yīng)從樣本中三個(gè)年級選歷史的學(xué)生中分別抽取人數(shù)為1，2，2，編號為A1，A2，A3，A從這5名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參加比賽，所有可能的結(jié)果為A1A1,A3，A1,A4，A1,A5，A2設(shè)A為事件“這2名參賽同學(xué)來自不同年級”，則A為事件“這2名參賽同學(xué)來自相同年級”有{A2,A3所以事件A發(fā)生的概率P(A)=1?P(A(3)解：P1P2P3P4P5P6∴當(dāng)Pk取得最大值時(shí)，k=6【解析】(1)樣本中高一學(xué)生共有100人，其中選擇歷史學(xué)科的學(xué)生有20人，由此能估計(jì)高一年級選歷史學(xué)科的學(xué)生人數(shù)．(2)應(yīng)從樣本中三個(gè)年級選歷史的學(xué)生中分別抽取人數(shù)為1，2，2，編號為A1，A2，A3，A4，A5，從這5(3)利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式求解．20.(1)在?ABC中，因?yàn)镾=a2+整理得tanC=1，且C∈0,π(2)由正弦定理得sinC?∵sin∴sin∴sin于是sinA?B又A,B∈0,π，故?π<A?B<π，所以B=π?A?B或B=A?B，因此A=π(舍去)或A=2B，所以∵C=?ABC是等腰直角三角形．【解析】(1)應(yīng)用面積公式及余弦定理得出正切進(jìn)而得出角；(2)先應(yīng)用正弦定理及兩角和差的正弦公式化簡得出A=2B，結(jié)合C=π21.(1)菱形ABCD中，AB//CD，又CD?平面CDF，AB?平面CDF，∴AB//平面CDF，又AB?平面ABF，平面ABF∩平面CDF=l．∴AB//l；(2)若選①當(dāng)BDAF=2時(shí)，平面DEF⊥平面設(shè)AC∩BD=O，取EF的中點(diǎn)M，連結(jié)OM,BM,DM如圖所示，

∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，矩形ACEF中AF⊥AC，∴AF⊥平面ABCD，∵AD?平面ABCD，∴AF⊥AD，同理可得：CE⊥CD，∴∠DCE=∠DAF=90因?yàn)榱庑蜛BCD中CD=AD，矩形ACEF中CE=AF，∴?CDE??ADF，∴DE=DF，∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，∴DM⊥EF，假設(shè)平面DEF⊥平面BEF成立，平面DEF∩平面BEF=EF，且DM⊥EF，∴DM⊥平面BEF，∵BM?平面BEF，∴DM⊥BM，∵矩形ACEF中M是EF的中點(diǎn)，菱形ABCD中O是AC的中點(diǎn)，∴OM//AF,OM=AF，∴OM⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴OM⊥BD，又∵DM⊥BM，O是BD的中點(diǎn)，可知△BDM為等腰直角三角形，∴OM=OB=OD,∴BD=OB+OD=2OM=2AF，∴BDAF=2，故當(dāng)B