高中數(shù)學(xué)必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練 26

必修二第八章第六節(jié)《空間直線'平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(26)

1.如圖，三棱錐P—ABD,Q—BCD均為底面邊長(zhǎng)為2百、側(cè)棱長(zhǎng)為竽的正棱錐，且四邊形ABC。

是邊長(zhǎng)為2百的菱形(點(diǎn)憶Q在平面ABCQ的同側(cè))，AC,8。交于點(diǎn)。.

(1)證明：平面PQO，平面ABCD；

(2)求點(diǎn)P到平面Q8C的距離.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD1平面PDC,AD//BC,PD1PB,AD=1,BC=3,CD=4,

PD=2.

(1)求異面直線AP與8C所成角的余弦值；

(2)求直線4B與平面P8C所成角的正弦值.

3.如圖，在四棱錐P—ZBCD中，底面ABCD是直角梯形，Z.ABC*90。，AB//CD,PA_L平面

ABCD,AB=2,PA=AD=DC=1.

p,

(1)求證：平面P4C1平面P8C；

(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.

4.如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面A8CZ)是正方形，且4D=PD=1,平面PCD1平面ABC。,

NPDC=120。，點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面DEF1平面PBC；

(2)設(shè)二面角C-DE-F的平面角為。，試判斷在線段AB上是否存在這樣的點(diǎn)F,使得sin。=源

若存在，求出黑的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.在邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。中，ABAD=60°,點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)(如圖1),將△4DE沿OE折起

到△公0￡的位置，連接&B,ArC,得到四棱錐4-BCDE(如圖2).

圖1圖2

(1)證明：平面4BE1平面BCDE；

(2)若&EJ.BE,連接CE,求直線CE與平面41co所成角的正弦值.

6.如圖甲，三棱錐P-48。，Q-BC0均為底面邊長(zhǎng)為2舊、側(cè)棱長(zhǎng)為竽的正棱錐，且四邊形ABCZ)

是邊長(zhǎng)為2百的菱形(點(diǎn)尸，Q在平面A8CD的同側(cè))，AC,BD交于點(diǎn)O.

乙

(1)證明：平面PQ01平面ABCD；

(2)如圖乙，設(shè)AP,CQ的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,求二面角4一MB-C的余弦值.

7.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面4BCO是矩形，PDl￥ffiABCD,M是棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)N

在棱PB上，且MNA.PB.

p

(1)求證：PA〃平面BMD；

(2)若4。=2CD,直線尸C與平面ABC。所成的角為60。，求平面OWN與平面PA力所成的銳二

面角的余弦值.

8.如圖，在三棱柱ABC—481G中，441_L平面4816，4B=BC=4C=&a=2,E,尸分別

為&G，BiG的中點(diǎn).

(I)在四邊形4BB14內(nèi)是否存在點(diǎn)G,使平面GEF〃平面ABG?若存在，求出該點(diǎn)的位置；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(II)設(shè)。是QC的中點(diǎn)，求OA與平面ABC1所成角。的正弦值.

9.圖甲是由正方形A8CD,等邊△ABE和等邊ABCF組成的一個(gè)平面圖形，其中4B=6,將其沿

AB,BC,AC折起得三棱錐P-4BC,如圖乙.

I)

(1)求證：平面24cl平面ABC；

(2)過(guò)棱AC作平面ACM交棱PB于點(diǎn)且三棱錐P-4cM和B-ACM的體積比為1:2,求點(diǎn)B

到平面ACM的距離.

10.在如圖所示的幾何體中，平面2CE1平面48C￡>,四邊形48C。為平行四邊形，Z.CAD=90°,

EF//BC,EF=^BC,AC=2,AE=EC=也.

(1)求證：A,D,E,尸四點(diǎn)共面，且平面ADEF_L平面C￡>E；

(2)若二面角E-AC-F的大小為45。，求點(diǎn)D到平面ACF的距離.

11.四面體ABC。中，AaBC是正三角形，△ACD是直角三角形，乙ABD=XBD，AB=BD.

(1)證明：平面4CD1平面ABC；

(2)過(guò)AC的平面交8。于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCC分成體積相等的兩部分，求二面角D-

4E-C的平面角的余弦值.

12.如圖，在正方體48C。一中，E,尸分別為441，CC］的中點(diǎn),

(1)求證：四邊形BFQE是平行四邊形.

(2)BE與CQ所成的角的正切值：

13.如圖所示，在四棱錐P-ABCD^,PD1底面ABCD,四邊形ABCD為矩形，CD=2,PD=4。=

y/2,E為0c的中點(diǎn).

(I)求證：AE1平面PBZ)；

(n)求二面角C-PB-E的余弦值.

14.在多面體ABCGABi中，四邊形ZBB/i為菱形，乙B隹A=60°,平面Ju平面ABC,BC=

泊。；,AC1BC,AB1BrC.

(1)若0是線段AB的中點(diǎn)，證明：平面ABC1平面/0C；

(2)求二面角G-AC-B的正弦值.

15.如圖，在山△ABC中，乙4cB=90。，NB=30。，D,E分別為AB,CO的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交

CB于F.現(xiàn)將△力CD沿CO折起，折成二面角A-CD-B,連接AF.

(/)求證：平面AEF1平面CBD-.

(〃)當(dāng)二面角A-CD-B為直二面角時(shí)，求直線A8與平面CBO所成角的正切值.

16.三棱柱48。-公8?被平面截去一部分后得到如圖所示幾何體，88—平面ABC,

^ABC=90°,BC=BBi，E為棱B1C上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，平面A8E交41c于點(diǎn)F.

(I)求證：AB，平面當(dāng)"；

(H)求證：EF//AB-,

(ID)試問(wèn)是否存在點(diǎn)E,使得平面4BE_L平面&B1C?并說(shuō)明理由.

17.四棱錐P-ABC。中，PC=4B=1,BC=a,448c=60。，底面A8CC為平行四邊形，PC_L平

面ABC。，點(diǎn)M,N分別為A。，PC的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面「48；

(2)若4PAB=90。，求二面角B-4P—D的正弦值.

p

18.如圖，在四棱錐P-4BC0中，△H4D為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2,LABC

為等腰直角三角形，AB1BC,AC1,A.DAC=90°,平面PAD1平

面ABCD.

(1)證明：4CJ■平面PAD；

(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值;

(3)棱P。上是否存在一點(diǎn)E,使得AE〃平面PBC?若存在，求出言的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.如圖，在直四棱柱4BCD-4B1GD1中，底面4BCC是菱形，且4B="4=1,E是棱人兒的

中點(diǎn)，EC=V3.

(1)求證：平面EO%_L平面EQC；

(2)求三棱錐&-DEC的體積.

20.如圖，已知梯形ABCO中，AD//BC,=90。，AB=BC=2AD=2,四邊形E￡?C5為矩

形，DE=2,平面EOCFL平面ABCD.

(1)求證：。/7/平面A8E；

(2)求平面ABE與平面8EF所成二面角的正弦值;

(3)若點(diǎn)尸在線段EF上，且直線AP與平面8EF所成角的正弦值為4,求線段AP的長(zhǎng).

14

【答案與解析】

1.答案：（1）證明：如圖，連接PO,OQ,PQ,

?：PB=PD,。為8。的中點(diǎn)，

???PO1DB.

同理，QOLDB,

又PODOQ=。，PO,OQa5）2?POQ,

BD1平面POQ.

又BDu平面ABCD,

二平面POQ_L平面4BCD.

（2）解：如圖，分別過(guò)P,Q作平面ABC。的垂線，垂足分別為Oi，02,

則01，。2在AC上，且01，4分別為40,OC的三等分點(diǎn)，

且POlAQOz，

.??四邊形為矩形，?,?PQ〃AC.

且PQ=01。2=2x/o=|ao=|xyx2A/3=2,

???P01=」AP2一A0]2=dAP2_0@=J（竽）2一4=等，

取BC的中點(diǎn)E,^\QE=y/QB2-BE2=

又由(1),平面POQ_L平面4BCD,

而平面POQCI平面ABC。=",BO1AC,B。u平面ABC。，

BO_L平面PQC.

設(shè)點(diǎn)P到平面QBC的距離為d,

則由%-Q8c=^B-PQC>可得mSgiQBc,d=§S?PQC,BO,

即RE?BE.d=[x?Q?P01.BO,

即WxV5d=，2x速x遍，

323

解得d=竺.

7

解析：【試題解析】

本題考查了面面垂直和空間距離，是一般題.

(1)根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行解答；

(2)根據(jù)由/_QBC=%-PQC等體積原理求出P到平面28c的距離.

2.答案:解：⑴因?yàn)锳D〃BC,

所以NR4P或其補(bǔ)角就是異面直線AP與BC所成的角，

因?yàn)?。平面PDC,PDU平面PDC,

所以AD_LPD,

在Rt△PZM中，AP=y/AD2+PD2=場(chǎng),

故COSND4P=—=―,

AP5

所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為

(2)過(guò)點(diǎn)。作AB的平行線交BC于點(diǎn)F,連接尸F(xiàn),

則。F與平面PBC所成的角等于A8與平面PBC所成的角.

p

H

?：ADLPD,AD〃BC,PDLBC,

又PD1PB,PBCBC=B,

PB.BCU平面PB「，

PD_L平面PBC,

???40FP為直線OF和平面P8C所成的角.

由于4D〃BC,DF//AB,故BF=AD=1,

由已知，得CF=BC-BF=2.

y.AD1DC,故BC1DC,

在RtAOCF中，可得=NDC?+CF2=2通.

在RtAOPF中，siMDFP="=恒.

DF5

所以，直線AB與平面P3C所成角的正弦值為正.

5

解析：本題考查了空間角的計(jì)算，做出空間角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

⑴由4D〃BC可知NDAP或其補(bǔ)角就是異面直線AP與BC所成的角，在Rt△ADP中計(jì)算cos"力。即

可；

(2)證明P。_L平面P2C,過(guò)。作A3的平行線。F,計(jì)算sin/OFP即可.

3.答案：解：(1)證明：由已知得4c=yjAD2+CD2=&，BC=JAD?+(AB-CD)2=a,AB=2,

AC2+BC2=AB2,.-.BC1AC,

???PA_L平面ABCD,BCu平面ABCD,PA1BC,

PACtAC=A,ABCJ_平面PAC,

???BCu平面PBC,；.平面PAC1平面PBC.

(2)解：由(1)得BC1平面PAC,：.BCA.AC,

BC=V2>PC-J]2+(yfz')2—8，

設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為d,

^P-BCD=匕-PBC'

：.-x-xDCxADxPA=-x-xPCxBCxd,

3232

-xixlxlxl=ixixV3x>/2xd,

3232

解得d=漁，，點(diǎn)D到平面PBC的距離為漁.

66

解析：本題考查面面垂直，和利用等體積法求點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題.

(1)利用條件計(jì)算出BC1AC,進(jìn)而證明BC，平面PAC,再用面面垂直的判定定理即可證明；

(2)利用三棱錐中的等體積法：VP_BCD=VD_PBC,求解即可.

4.答案：(1)證明：???四邊形A8C。是正方形，

BC1DC.

???平面PCDJ■平面ABCD,

且平面PC。C平面力BCO=CD,BCu平面ABCD,

BC，平面PCD,

DEu平面PDC,

：.BC1DE,

???40=P0=0C,點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，

PC1DE.

又?：PCCCB=C,PC,C8u平面PBC,

DE1平面PBC.

又：DEu平面DEF,

平面DEF1平面PBC；

(2)解：在平面PC。內(nèi)過(guò)。作DG1DC交PC于點(diǎn)G,

???平面PCDJ■平面ABCD,

且平面PC。n平面4BC0=C。，OGu平面PCD,

DGJ_平面ABCD.

以。為原點(diǎn)，以D4,DC,OG所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D—xyz.

則。(0,0,0),C(0,l,0),p(0,_消),

又E為PC的中點(diǎn)，二后。,3,9)，

假設(shè)在線段A8上存在這樣的點(diǎn)F,使得sin。=源

13

設(shè)?(1"，0)(0<m<l),

則屁=(0,；,分DF=(1,771,0).

設(shè)平面QEF的法向量為％=(x,y,z),

則匹?三=。，

向.DF=0

x+my=0

?,?hyf3令y=W，

-yH—z=0

則瓦=(一6-1)，

???AD1平面PCD,

???平面PCD的一個(gè)法向量石=(1,0,0),

■:sin9—；.cos9=-?

1313

V0<m<1,解得m=P

二四=工

[FB|2"

解析：本題考查了面面垂直的判定，考查空間向量與空間角的計(jì)算，考查邏輯推理能力和空間想象

能力，屬于中檔題.

(1)證明BC_L平面PC。可得DE1BC,由PD=C?？傻肈E1PC,故而DE1平面尸8C,于是平面

DEF，平面PBC；

(2)以。為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，設(shè)尸(1M，0),求出平面C。尸和平面。E尸的法向量，根據(jù)二面角

的大小列方程計(jì)算m的值即可得出結(jié)論.

5.答案：⑴證明：?.?菱形ABC。，且/BAD=60°,

???△ABD為等邊三角形,

???石為/^的中點(diǎn)，；.。^!.?^,

???DE1BE,DE1A^E,

又BEn&E=E,BE、&Eu平面&BE,

???DE1平面&BE,

DEu平面BCDE,

二平面AiBE1平面BCDE.

(2)解：由(1)知，平面&BEL平面8CDE,

■：AXELBE,平面&BEn平面BW=BE,

AArE1平面BCDE,

以E為原點(diǎn)，ED,EB,E4所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,1),C(V3,2,0),D(V3,0,0),￡(0,0,0),

~EC=(V3,2,0),A^D=(V3,0,-1),CD=(0,-2,0),

設(shè)平面4CC的法向量為記=(%)，，z),貝式記,3，=°,即[‘|"一彳=(),

In-CD=0J2y=0

令％=1?則y=0,z=A/3,?**n=(1,0,V3),

設(shè)直線CE與平面4CD所成角為。，則sin8=|cos(記，點(diǎn)＞|=|[^|=|昌|=絆,

|7l|,|cC|2XV714

故直線CE與平面4CC所成角的正弦值為

解析：本題考查空間中線與面的位置關(guān)系、線面角的求法，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理與

性質(zhì)定理，以及利用空間向量處理線面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理

能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(1)易知AABD為等邊三角形，進(jìn)而可得DE1BE,DE1A.E,再結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定

理，得證；

(2)由平面&BE_L平面BC3E,推出&E1平面BCOE,再以E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平

面aCD的法向量元，設(shè)直線CE與平面41co所成角為。，由sin。=|cos<元，￡C>|,即可得解.

6.答案：(1)證明：如圖，連接P。，OQ,PQ,

?:PB=PD,。為8。的中點(diǎn)，P。JLDB.

同理，Q01DB,

又P0C10Q=0,PO,OQu平面POQ,

：.BD1平面POQ,又BDu平面ABCD,

平面POQ1平面4BCD.

(2)解：如圖，分別過(guò)P,。作平面ABCO的垂線，垂足分別為01，02,

則。i，。2在AC上，且。1，。2分別為40,0C的三等分點(diǎn),

1

且P01=Q02>P°1°1。2,

.,?四邊形POQQ為矩形，PQ//AC.

17

且PQ=0Q=2x10="0,

???M4=MC="P*x竽=2"

MO1AC,由(1)得MO,OB,0C兩兩垂直.

又4。=2Hx曰=3，

???MO=>JMA2-AO2=V3.

如圖，以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)B,OC,0M為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,-3,0),F(V3,0,0),C(0,3,0),M(0,0,回

AB=(V3,3,0).MB=(V3,0,-?BC=(-V3,3,0).

設(shè)左=Qi，Zi),斤=(如y2?Z2)分別為平面AA/B與平面MBC的法向量，

則朦嚕二一9T何

設(shè)。為二面角a-MB-C的平面角，

由于區(qū)3均指向半平面的外部，

???cose=-cos(a,耳)=一器=

二面角A-MB-C的余弦值為一*

解析：【試題解析】

本題考查面面垂直的判定、利用空間向量求二面角，考查空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力，屬

中檔題.

(1)連接PO,OQ,PQ,可證BD_L平面PO。，又8。U平面ABC。，利用面面垂直的判定定理即可證

明平面POQ1平面ABCD；

(2)分別過(guò)P,。作平面ABC。的垂線，垂足分別為5,02,結(jié)合(1)得MO,OB,OC兩兩垂直，分

別以08,OC,0M為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面MBC的法向

量及=(b，-1,V3).耳=(6，1,V3).即可得到二面角4-MB-C的平面角的余弦值.

7.答案：(1)證明：連結(jié)AC交3。于點(diǎn)0,連結(jié)0M,因?yàn)樗倪呅蜛8C。是矩形，所以40=0C,

又因?yàn)镻M=MC,所以。M〃P4,

又因?yàn)?4C平面BMD,OMu平面BMD,所以PA〃平面BMD.

(2)解：由已知得。4,DC,OP兩兩垂直，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，因?yàn)镻DJ?平面

ABCD,所以NPC。就是直線PC與平面ABC。所成的角，所以NPC7)6(1,故DP=百。。,設(shè)CD=1,

則。(0,0,0),C(0,1,0),P(0,0,V3),B(2,l,0),M(0*,日)，

于是用?=(0,i乎)，屈=(0,0,何同=(2,1,-6).

設(shè)兩=4而，

貝IJ而=9+4而=(2A,A,>/3-V3A\MN=DN-DM

=(2A,A—~V31),

由A/N_LP3，得麗?麗=0，

即44+A-i-V3(y-V3A)=0.

解得％=：，所以麗=dJ,迪).

4'2'4'4'

設(shè)平面OMN的一個(gè)法向量為沅=(xfy,z),

1V3

則由［F?絲=0,得］y+令Z=-1,得記=(6,行,-1),

Im-DN=0,lx+Iy+^z=0,

V24Z4

又平面PDA的一個(gè)法向量為元=(0,1,0)，

所以3〈沆，力=器=得=亨

所以平面ZWN與平面叫所成的銳二面角的余弦值為尊

解析：本題考查線面平行和用空間向量求二面角，是一般題.

(1)根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行解答；

(2)由已知得。A,DC,DP兩兩垂直，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面。MN和平

面POA的法向量，根據(jù)公式求出二面角的余弦值.

8.答案：解：(I)如圖，取BiB的中點(diǎn)M,N,連接ME,MN,NF,EF.BC「

因?yàn)镋,尸分別為&G，BiG的中點(diǎn),

所以在直三棱柱ABC-41B1Q中,EF////MN//AB.

又因?yàn)镋FC平面4BG，ABu平面所以EF〃平面ABC1.

同理可證ME〃平面ABC；.

又MECEF=E,所以平面MEF〃平面4BG，即平面MNFE〃平面ABC1，

所以四邊形4BB14內(nèi)存在點(diǎn)G,即線段MN上任意一點(diǎn)，使平面GEF〃平面4BC「

(口)取AC的中點(diǎn)O,連接。8,OE,則在直三棱柱中，OB,OC,?！陜蓛纱怪保?/p>

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，08所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，OE所在的直線為z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz.

E

因?yàn)?B=BC=AC=ArA=2,

所以4(0,-1,0),B(遮,0,0)，Cj(0,1,2),D(0,l,1),

則麗=(0,—2,-1)，AB=(V3,l,0)，苑=(0,2,2).

設(shè)平面ABC1的法向量為司=(x,y,z),

則1退元=0,即［岳+y=o,

IAC1-n=0,12y+2z=0.

令x=冬則y=—1,z=1,所以?1=譚—1,1),

*+(-l)x(-2)+lx(-l)_Vi05

所以cos(DA-n)

所以DA與平面ABC1所成角。的正弦值sin。=|cos（麗，創(chuàng)=等.

解析：本題考查空間中面面平行的判定定理、線面角，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查邏

輯推理核心素養(yǎng).屬于中檔題.

（1）取4遇，BiB的中點(diǎn)M,N,連接ME,MN,NF,EF,ACr,BJ,利用中位線定理得到線線平

行，再利用面面平行的判定定理即可求解；

（口）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出面與平面ABC1的一個(gè)法向量，再利用空間向量的夾角公式即

可求解.

9.答案：（1）證明：如圖，取AC的中點(diǎn)為。，連接8。，PO.

PA=PC,???PO1AC.???PA=PC=6,AAPC=90°,

???PO=|J4C=3V2,同理BO=3>/2.

又PB=6,???PO2+OB2=PB2,：.PO1OB.

■■■ACHOB=0,AC,OBu平面ABC,P。1平面ABC.

又POu平面PAC,二平面H4C1平面ABC.

(2)解：方法一：連接MO,過(guò)B作于〃，

貝卜P014C,BOLAC,POCtBO=0,PO,。8u平面尸03,

ACPOB,ACACM,

平面ACM1平面P08,BH1MO,平面ACMn平面POB=OM,

BHJ_平面ACM,

即BH就是點(diǎn)B到平面ACM的距離.

?.?三棱錐P-ACM^WB-4cM的體積比為1；2,

2

PM：BM=1:2,BM=-PB=4,

???MO=yjBM2+BO2-2-BMBO-cos450=V10.

由:?MO?8H='BM.BO.sin45。，得

.?.點(diǎn)B到平面ACM的距離是gVIU.

方法二：等體積法

...Vp-ACM=1APM：BM=1：2,■-BM=IPB=4,

VB-AOM23

作MN_L平面ABC于N,由(1)知P。1平面ABC于。nPO//MN,

且MN=|P0=2在，即M到平面ABC的距離為2企.

SRABC=5X6x6=18,

在44BM中，AM2=62+42-2X6X4cos60°=28,

同理CM=AM=V28,

在^AMC中，cosZ-AMC=-------=——=>smz.AMC=——，

2X2877

SgiAMc=5X28X—y-6,\/5>

設(shè)B到平面AMC的距離為d,VB,ACM=VM.ABCnd=第.

解析：本題考查了面面垂直的判定、棱錐得體積，余弦定理，考查邏輯推理能力和空間想象能力，

屬于中檔題.

(1)先證得P。_L平面ABC,即可證平面PAC_L平面ABC；

(2)方法一：連接MO,過(guò)B作BH1M。于H,可證BH1平面ACM,利用由，M0?BH=18M?8。?

sin45°,得BH,

方法二：等體積法，利用力YCM=UMMBC=d=^

10.答案：(1)證明：因?yàn)镋/7/BC,BC//AD,

所以E/7/4D,

所以A,D,E,F四點(diǎn)共面；

???平面力CE_L平面ABCC,且平面ACECI平面4BCD=AC,ADLAC,ADu平面ABC。,

AD_L平面AEC,

又因?yàn)镃Eu平面AEC,

AD1CE,

又AC=2,AE=EC=V2.

???AC2=AE2+CE2,

???AE1EC,

又4ECtAD=A,AD,AEu平面ADEF,

CE1平面ADEF

■:CEu面CDE,

???平面ADEFJL平面CDE.

(2)因?yàn)槠矫鍭CEL平面A.BCD,乙CAD=90°,

如圖以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-盯z,

設(shè)4。=2a(a>0),則A(0,0,0),C(2,0,0),E(l,0,l),F(l,-a,1)

由4。_L面ACE知，平面ACE的一個(gè)法向量元=(0,1,0)

設(shè)平面AC尸的一個(gè)法向量沆=(x,y,z),

"AC=(2,0,0),XF=(1,-a,1)，

(m-AC=2x=0而M

八，MXz=a,則y=1l,

{m■AF=x-ay+z=0

所以記=(0,1,a)

因?yàn)槎娼荅-AC-F的大小為45。,

所以c°s45°=1篇|=|普|=當(dāng)，解得a=l,

所以記=(0,1,1),AD=(0,2,0),

設(shè)點(diǎn)D到平面ACF的距離為d,貝卜=率瞿=4=V2>

所以點(diǎn)。到平面ACF的距離魚(yú).

解析：本題考查利用空間向量求二面角，以及點(diǎn)到平面的距離，直線與平面垂直的判定定理以及面

面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)證明ADJ"平面AEC,推出AD1CE,AE1EC,推出CE1平面AOEF,即可求證.

(2)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,設(shè)AD=2a,求出平面ACE的一個(gè)法向量，平面AC尸

的一個(gè)法向量利用二面角E-4C-F的大小為45。，求出m設(shè)點(diǎn)。到平面ACF的距離為乩利用公

式求解即可.

11.答案：(1)證明：取4c的中點(diǎn)。，連接BO,0D.

???△ABC是等邊三角形，［OB1.AC,

△ABD與ACBD中，AB=BC,乙ABD=￡CBD,BD=BD,

???△ABD=^CBD,■■■AD=CD,

???△4CD是直角三角形，

A4c是斜邊，AN/WC=90°,

DO=-AC,

2

：.DO2+BO2=AB2=BD2,

：.4BOD=90°,

???OB1OD,

又DOCAC=0,DOu平面AC。，ACu平面ACO,

OB1平面ACD,

又OBu平面ABC,

???平面ACD，平面ABC.

(2)解：是正三角形,所以AB=CB,

又/.ABD=乙CBD,AB=BD,

ABD=△CBD,AAD=CD,即△ACO為等腰直角三角形，

取AC中點(diǎn)，連接。O,BO,

則DO1AC,

又?.?平面4CD1平面ABC且交于AC,DOu平面ABC,

：.DO，平面ABC,：.DO1AC,DO1BO,

又???△ABC是正三角形，BO1AC,

設(shè)點(diǎn)。，B到平面ACE的距離分別為岫，%則用=第

???平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,

,2ShACEhD_M_DE_]

3S"CE?如hBBE

點(diǎn)E是8。的中點(diǎn).

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

不妨取AB=2,

則0(0,0,0),4(1,0,0),C(-l,0,0),。(0,0,1),F(0,V3,0)>E(0,今3，

AD=(-1,0,1),AE=AC=(-2,0,0),

設(shè)平面A￡>E的法向量為沅=(x,y,z),

則｛可嚼=：,即｛_：：蔓"一0,可得沅=(3,6,3)，

-AE=0I%十2y十？z_u

同理可得，平面ACE的一個(gè)法向量為元=(0/，-V3),

,—?—?、TH-n-2V3yp7

???cos<m,n>=——=-；=-=---,

|m||n|VHX27

由圖可知，二面角。一4E-C的平面角為銳角，

二面角D-AE-C的平面角的余弦值為叱.

7

解析：本題考查了面面垂直的證明，利用空間向量求二面角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中

檔題.

(1)可得0BJ.4C,OB10D,可證0B1平面ACZ),即可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨取AB=2,利用空間向量進(jìn)行求解即可.

12.答案：(1)證明：取的中點(diǎn)M.連接MA,MF,

在正方形力。。送1中，E,M分別為A%,0久中點(diǎn)，

0AE）DrM=為平行四邊形=EDr=AM>

同理MF=DC=ABMFB4為平行四邊形,得BF=AM'

//

ED】=AM=>BF=ED】=BFZ\E為平行四邊形；

BF=AM，

（2）解：0為C￡〃BB，〃AAi，所以4AE8即為異面直線BE,CC1所成的角（或其補(bǔ)角）,

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為Q.則在中，AE=^,AB=a.

則tan4AEB=1=2,

2

即8E與CCi所成的角的正切值為2.

解析：本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系和異面直線的夾角，屬于一般題.

（1）通過(guò)求證BF幺EDj即可求證四邊形BFDIE是平行四邊形；

（2）先判斷NAEB即為異面直線8E,CG所成的角（或其補(bǔ)角），再利用三角知識(shí)求解.

13.答案：解：（1）;四邊形43。。為矩形，；.乙4。￡=448=1，

tanz.EAD=tanZTlBD=—>

2

Z.EAD=Z.ABD,又乙4DB+乙4BD=去

???Z.EAD+Z.ADB=p

AE1BD,

XvPDABCD,AEa^ABCD,：.AE1.PD,

???BDC\PD=D,BD,PDu平面PBD,

AE，平面PBD.

（H）建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則C(0,2,0),F(V2,2,0),P(0,0,A/2),F(0,l,0),

設(shè)沆=(Xi，yi，Zi),n=02/2*2)分別為平面PBC和平面P8E的法向量,

=0

則5,￡￡,7fiC=(-V2,0,0),PC=(0,2,-V2),

m-PC=0

(-V2x1=0

12yl—企Zi=0

令Z[=近,得沆=(0/，V2).

日,竺二%???麗=(我,2,_々)，屈=(0,1，-或),

(TI?PE=。

(y/2x2+2y2—V2z2=0

ly2-V2^2=o

令Z2=V2?得記=(—A/2,2,V2).

,—?—?-4V6

cos<m,n>=——i—==——

^1+2-72+4+23

???二面角C-PB-E為銳二面角,

???二面角C-PB-E的余弦值為它.

3

解析：本題考查線面平行的證明，空間向量求二面角的余弦值，難度i般.

(I)利用平面圖形性質(zhì)證出4E1B0,由PD_L平面ABCO,得出4EJ.P。，從而利用線面垂直的判

定定理證出AE1平面PBD.

(H)建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則C(0,2,0),B(V2,2,0),P(0,0,企)，E(0,l,0),)分別

為平面尸8c和平面PBE的法向量記=(0,1,V2),n=(-72,2,企)，計(jì)算得出cos<沆，記>=冬

z

14.答案：解：(1)證明：連結(jié)4當(dāng)，

???四邊形4BB1&為菱形，NB1B4=60。，.??△ABB1是

等邊三角形，

???。是線段48的中點(diǎn)，二81。，48,

???平面488出1平面ABC,平面488出n平面

ABC=AB,

B、0_L平面ABC,

???Bi。u平面Bi。。，???平面ABC_L平面B】OC.X

(2)解：連結(jié)。C,???Bi。_L48,AB1B^C,&0門&。=&,

AB_L平面B]OC,???ABIOC,

以。為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為)，軸，。名為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)48=2,貝必(-1,0,0),8(1,0,0),C(0,l,0),C^-2,2,遮)，

AB=(-2,0,0),AC=(1,1.0),宿=(—1,2,6)，

設(shè)平面QAC的法向量元=(x,y,z),

n■AC=x+y=0

——.廣,取x=遮，得n=(V5,—6,3)，

n-AC=-x+2y+V3z=0

{1

平面ABC的法向量沅=(0,0,1),

設(shè)二面角Ci-AC-B的平面角為仇

則cos。=黯=右，sin”小一喘尸=票

二面角G-AC-B的正弦值為手.

解析：(1)連結(jié)ZB］，推導(dǎo)出a0J.4B,從而&01平面ABC,由此能證明平面ABC1平面&0C.

(2)連結(jié)OC,則AB1OC,以。為原點(diǎn)，。8為x軸，OC為y軸，。8］為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

利用向量法能求出二面角G-4C-B的正弦值.

本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

15.答案：(/)證明：在RtaABC中，。為A8的中點(diǎn)，

得4。=CD=DB,又48=30°,得44CD是正三角形,

又E是C。的中點(diǎn)，得AE1CD.(3分)

折起后，AE1CD,EF1CD,

又4EnEF=E,AEu平面AEQ,EFu平面AEF,

故CDL平面AEF,(6分)

又CDu平面CDB,

故平面AEF1平面CBD.(7分)

(〃)解：???二面角A-CO-B是直二面角,

且4E1CD,：.AEJ_平面C8D.(8分)

連接EB,AB,則乙4BE就是直線48與

平面CB。所成的角.(9分)

設(shè)4C=a,在△COB中，

Z.DCB=30°,CE=3，CB=島,

EB2=CE2+CB2-2CE-CB-cos^DCB=品2又獨(dú)在Rt△4EB中,taMABE=啜=

42EB

yfl_V21

工r

2

直線AB與平面CBD所成角的正切值為亨,(14分)

解析：(/)由題意知，是正三角形，折起后，AE1CD,EF1CD,故CO_L平面AE尸，從而證

明結(jié)論.

(H)AE1^?CBD,N4BE就是直線AB與平面C8。所成的角，解直角三角形ABE,可求N4BE的大

小.

證明2個(gè)平面垂直，關(guān)鍵在一個(gè)平面內(nèi)找到一條直線和另一個(gè)平面垂直，求線面角，關(guān)鍵是找出線

在平面內(nèi)的射影.

16.答案：解：(1)因?yàn)?/71平面.431，.，1/3(1平面月/?。，所以

因?yàn)橐?BC=90°,所以BC1AB.

因?yàn)锽BiCBC=B,BiBu平面/?「(：平面囪8「，

所以.AB_L平面B13C'.

(口)在三棱柱48。-41當(dāng)6中，AB//AiBi.

因?yàn)锳BC平面4B6，4B|C平面4由6,

所以AB〃平面A田

因?yàn)锳BU平面ABEF,平面4BEFC平面小BiC=EF,

所以EF//AB.

(HI)存在點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)E為品。中點(diǎn)時(shí)，平面ABE_L平面43|0.

因?yàn)锽C=BBi，E為BiC的中點(diǎn),所以BEJLBiC,

因?yàn)锳BJ.平面BiBC'.BEC平面場(chǎng)3「，所以AB1BE,

因?yàn)樗?EJ.4181，

因?yàn)閚BXC=Bi，A[Bi,BiCC平面4BQ,

所以BE_L平面小3c.

因?yàn)锽EU平面4BE,所以平面ABE_L平面ABC.

解析：本題考查立體幾何的相關(guān)定理，考查線面垂直、面面垂直，考查線線平行、線面平行，屬于

中檔題.

(I)結(jié)合題目條件以及線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；

(U)利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明；

(ID)證明面面垂直過(guò)程中，找到線面垂直是關(guān)鍵，再由線面垂直推出面面垂直.

17.答案：證明：(1)取P8為中點(diǎn)°,連結(jié)NQ,QA,

???點(diǎn)N分別為PC的中點(diǎn),

QN是中位線，：.QN//BC,

又???4BCD是平行四邊形，AD//BC//QN,

???點(diǎn)M為AO的中點(diǎn)，[QN=q8C=gAD=4M,

四邊形AMNQ為平行四邊形，??.MN〃4Q,

乂MN,平面PAB,AQu平面PAB,

MN〃平面PAB.

解：(2)1??PC!_平面ABCD,ABu平面ABCD,：.PC1AB,

又???P41AB,PCdPA=P,PC、PAu平面PAC,

AABPAC,又ACu平面PAC,???4B14C,a=2,CDA.AC,

以C為原點(diǎn)，CO為x軸，CA為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,V5,o),B(-l,V3,0),P(0,0,1),￡)(1,0,0),

AP=(0,-V3,l)，AB=(-1,0,0),AD=(l,-V3,0).

設(shè)平面ABP的法向量訪=(x,y,z),

貝您.空=-葭)，取y=l，得記=(0,1，回

設(shè)平面APQ的法向量方=(a/,c),

^(n-AD=a-V3b=0,取。=遮,得元=(8/，⑨,

(ji-AP=-V3h+c=0、)

,一一、mn2

???

cos<m,n>=|m—|-|n—|=y[7-7=,

???二面角B-AP-。的正弦值為小_(靜=嚀.

解析：本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注

意向量法的合理運(yùn)用.

(1)取PB為中點(diǎn)Q,連結(jié)N0,QA,推導(dǎo)出四邊形AMNQ為平行四邊形，從而MN〃4Q,由此能證

明MN〃平面PAB.

(2)以C為原點(diǎn)，CO為x軸，CA為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面

角B-4P-。的正弦值.

18.答案：解：(1)???平面P40_L平面"CD,ACLAD,

平面PADn平面力BCD=/W,ACc5pffiABCD,

AC1平面PAD；

(2)取A。的中點(diǎn)O,連接PO,由于△PAD是等邊三角形，所以P。1AD,由平面PAD1平面ABC。,

得P。1平面ABCD,PO=V3.

以AP為x軸，AC為)，軸，過(guò)A平行于尸。的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),D(2,0,0),C(0,l,0),P(l,0,b),

PC=(-1,1,-V3)>=設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為五=

(%y,z),

則元.PC=—%+y—V5z=0，n-BC=^x+^y=0,

?。?一遮，則y=g，z=2,n=(-V3,V3,2).

平面PAD的一個(gè)法向量為沆=(0,1,0),

/11>—TfT'Tl

cos(mfn)=——=

Mil川22210，

lxy](-V3)+V3+(2)

???平面.與平面碗所成銳二面角的余弦值為部

(3)假設(shè)棱PD上存在一點(diǎn)E,使得AE〃平面PBC,設(shè)兩=APD(0<A<1).

由⑵麗=(1,0,一遮)，而=(1,0,百)，

AE=AP+^E=AP+ATD=(1+A,0,V3-AV3).

又平面PBC的一個(gè)法向量是元(一1,1,平)，

.?.荏.元=-1—4+乎(遮一次⑷=0，解得；1=%

PE_1

PD~3

又AE平面PBC,.??棱尸。上存在一點(diǎn)E,使得4E〃平面P8C,且霽=￡