高考數(shù) 五高考真題分類匯編 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 理

五年高考真題分類匯編：平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入一．選擇題1.（·湖南高考理）復(fù)數(shù)z＝i·(1＋i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】選B本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算與復(fù)數(shù)的幾何意義，屬容易題．∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標為(－1,1)，位于第二象限．2.（·湖南高考理）已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是()A．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]B．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋2]C．[1，eq\r(2)＋1]D．[1，eq\r(2)＋2]【解析】選A本小題主要考查單位向量和向量的模的概念、向量垂直的條件，考查轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想．由a，b為單位向量且a·b＝0，可設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，又設(shè)c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝eq\r(x2＋y2)，故由幾何性質(zhì)得eq\r(12＋12)－1≤|c|≤eq\r(12＋12)＋1，即eq\r(2)－1≤|c|≤eq\r(2)＋1.3.（·福建高考理）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝1＋2i(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】選D本題考查復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，意在考查考生對概念的理解與應(yīng)用能力．∵eq\x\to(z)＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1，－2)，位于第四象限．4.（·福建高考理）在四邊形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，則該四邊形的面積為()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．5D．10【解析】選C本題考查平面向量的數(shù)量積運算、模、四邊形面積等基礎(chǔ)知識，意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握情況．依題意得，AC→·BD→＝1×(－4)＋2×2＝0.所以AC→⊥BD→，所以四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)|AC→|·|BD→|＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(20)＝5.5.（·遼寧高考理）復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,i－1)的模為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2【解析】選B本題主要考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念，意在考查考生的運算能力和對復(fù)數(shù)的四則運算法則的掌握情況．由已知，得z＝eq\f(－1－i,－1－i－1＋i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，所以|z|＝eq\f(\r(2),2).6.（·遼寧高考理）已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量AB→同方向的單位向()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))【解析】選A本題主要考查向量的坐標表示．由已知，得AB→＝(3，－4)，所以|AB→|＝5，因此與AB→同方向的單位向量是eq\f(1,5)AB→＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).7.（·安徽高考理）設(shè)i是虛數(shù)單位，eq\x\to(z)是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)．若z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，則Z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋ID．－1－i【解析】選A本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)運算、共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)相等的概念，意在檢測考生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握．設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等直接求解．設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi，又z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，∴a＝1，b＝1，故z8.（·浙江高考理）已知i是虛數(shù)單位，則(－1＋i)(2－i)＝（）A．－3＋iB．－1＋3iC．－3＋3iD．－1＋i【解析】選B本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的乘法運算法則，考查考生的運算能力．按照復(fù)數(shù)乘法運算法則，直接運算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.9.（·浙江高考理）設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝eq\f(1,4)AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB→·PC→≥P0B→·P0C→，則（）A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC【解析】選D本題主要考查平面向量的運算，向量的模、數(shù)量積的概念，向量運算的幾何意義等，意在考查利用向量解決簡單的平面幾何問題的能力．設(shè)AB＝4，以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，則A(－2,0)，B(2,0)，則P0(1,0)，設(shè)C(a，b)，P(x,0)，∴PB→＝(2－x,0)，PC→＝(a－x，b)．∴P0B→＝(1,0)，P0C→＝(a－1，b則PB→·PC→≥P0B→·P0C→?(2－x)·(a－x)≥a即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0.即點C在線段AB的中垂線上，∴AC＝BC.10.（·重慶高考理）在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|<eq\f(1,2)，則|OA→|的取值范圍是（）A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\f(\r(7),2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(2)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),2)，\r(2)))【解析】選D本題考查向量問題和圓中的最值問題，意在考查考生的轉(zhuǎn)化化歸以及邏輯思維能力．由題意得點B1，B2在以O(shè)為圓心的單位圓上，點P在以O(shè)為圓心半徑為eq\f(1,2)的圓內(nèi)，又AB1→⊥AB2→，AP→＝AB1→＋AB2→，所以點A在以B1B2為直徑的圓上，當(dāng)P與O點重合時，|OA→|最大，為eq\r(2)，當(dāng)P在半徑為eq\f(1,2)的圓周上時，|OA→|最小，為eq\f(\r(7),2)，故選D.11.（·新課標Ⅰ高考理）若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為（）A．－4 B.－eq\f(4,5)C.4 D.eq\f(4,5)【解析】選D本題考查復(fù)數(shù)的概念、模的運算和復(fù)數(shù)的除法運算等知識，意在考查考生對復(fù)數(shù)的有關(guān)概念的理解與認識和運算能力．解題時，先根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算求出等式右邊的數(shù)值，再利用復(fù)數(shù)的除法運算法則進行化簡計算，求出復(fù)數(shù)z，確定其虛部．因為|4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，所以已知等式為(3－4i)z＝5，即z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(53＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(53＋4i,25)＝eq\f(3＋4i,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以復(fù)數(shù)z的虛部為eq\f(4,5)，選擇D.12.（·新課標Ⅱ高考理）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1－i)z＝2i，則z＝（）A．－1＋i B.－1－IC.1＋i D.1－i【解析】選A本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算，屬于基本能力題．z＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i，故選A.13.（·北京高考理）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(2－i)2對應(yīng)的點位于（）A．第一象限B.第二象限C．第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】選D本題考查復(fù)數(shù)的運算和簡單幾何意義，意在考查考生的運算求解能力．(2－i)2＝3－4i，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(3，－4)位于第四象限．14.（·陜西高考理）設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（）A．若|z1－z2|＝0，則eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)B．若z1＝eq\x\to(z2)，則eq\x\to(z1)＝z2C．若|z1|＝|z2|，則z1·eq\x\to(z1)＝z2·eq\x\to(z2)D．若|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)【解析】選D本題考查共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的運算以及命題真假的判斷，意在考查考生綜合運用知識的能力和邏輯推理能力．依據(jù)復(fù)數(shù)概念和運算，逐一進行推理判斷．對于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)，是真命題；對于B，C易判斷是真命題；對于D，若z1＝2，z2＝1＋eq\r(3)i，則|z1|＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝4，zeq\o\al(2,2)＝－2＋2eq\r(3)i，是假命題．15．（·廣東高考理）若復(fù)數(shù)z滿足iz＝2＋4i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點的坐標是()A．(2,4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4,2)【解析】選C本題考查復(fù)數(shù)的除法運算及幾何意義，考查考生對復(fù)數(shù)代數(shù)運算的簡單了解．由iz＝2＋4i，可得z＝eq\f(2＋4i,i)＝eq\f(2＋4i·－i,i·－i)＝4－2i，所以z對應(yīng)的點的坐標是(4，－2)．16．（·山東高考理）復(fù)數(shù)z滿足(z－3)(2－i)＝5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)為()A．2＋iB．2－IC．5＋iD．5－i【解析】選D本題考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋eq\f(5,2－i)＝3＋eq\f(52＋i,2－i2＋i)＝3＋2＋i＝5＋i，所以eq\x\to(z)＝5－i.．17．（·大綱卷高考理）(1＋eq\r(3)i)3＝()A．－8B．8C．－8i【解析】選A本題考查復(fù)數(shù)的運算．(1＋eq\r(3)i)3＝(1＋eq\r(3)i)2·(1＋eq\r(3)i)＝(－2＋2eq\r(3)i)·(1＋eq\r(3)i)＝－8，故選A.18．（·大綱卷高考理）已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝()A．－4B．－3C．－2【解析】選B本題考查向量的知識，考查向量垂直的充要條件．m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，因為(m＋n)⊥(m－n)，所以(m＋n)·(m－n)＝0，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.19．（·湖北高考理）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(2i,1＋i)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】選D本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算和基本概念，意在考查考生的運算求解能力．z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝1＋i的共軛復(fù)數(shù)為1－i，對應(yīng)的點為(1，－1)在第四象限．20．（·湖北高考理）已知點A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量AB→在CD→方向上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)【解析】選A本題考查向量的坐標運算及向量投影的概念，意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握情況．AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，向量AB→＝(2,1)在CD→＝(5,5)上的投影為|AB→|cos〈AB→，CD→〉＝|AB→|eq\f(AB→·CD→,|AB→||CD→|)＝eq\f(AB→·CD→,|CD|→)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，故選A.21．（·四川高考理）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點是()A．AB．BC．CD．D【解析】選B本題考查共軛復(fù)數(shù)的概念，意在考查考生對數(shù)形結(jié)合的思維方法的運用．因為x＋yi的共軛復(fù)數(shù)是x－yi，故選B.22．（·北京高考文）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i(2－i)對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】選A本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則和幾何意義，屬于容易題，意在考查考生根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則進行運算化簡的能力，并根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限．因為i(2－i)＝1＋2i，所以對應(yīng)的點的坐標為(1,2)，在第一象限，故選A.23．（·安徽高考文）設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為()A．－3B．－1C．1【解析】選D本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算以及基本概念，意在考查考生的運算能力．復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝(a－3)－i為純虛數(shù)，則a－3＝0，即a＝3.24．（·山東高考文）復(fù)數(shù)z＝eq\f(2－i2,i)(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝()A．25B.eq\r(41)C．5D.eq\r(5)【解析】選C本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和運算，考查運算能力．z＝eq\f(2－i2,i)＝eq\f(－i×3－4i,1)＝－4－3i，|z|＝eq\r(－42＋－32)＝5.25．（·大綱卷高考文）已知向量m＝(λ＋1,1),n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝()A．－4B．－3C．－2【解析】選B本題主要考查平面向量的坐標運算與垂直的充要條件．m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，因為(m＋n)⊥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.26．（·福建高考文）復(fù)數(shù)z＝－1－2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】選C本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力．復(fù)數(shù)z＝－1－2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(－1，－2)，位于第三象限．27．（·福建高考文）在四邊形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，則該四邊形的面積為()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．5D．10【解析】選C本題主要考查平面向量垂直的坐標表示、模長、四邊形面積等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力．依題意得，AC→·BD→＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC→⊥BD→，∴四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)|AC→|·|BD→|＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(20)＝5.28.（·新課標Ⅱ高考文）eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝()A．2eq\r(2)B．2C.eq\r(2)D．1【解析】選C本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念與基本運算，意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握程度.eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,2)＝1－i，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝|1－i|＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2).29．（·湖南高考文）復(fù)數(shù)z＝i·(1＋i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】選B本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算和概念，意在考查考生對復(fù)數(shù)乘法運算和復(fù)數(shù)概念的掌握．z＝i·(1＋i)＝－1＋i，在復(fù)平面上對應(yīng)點的坐標為(－1,1)，其在第二象限．30．（·湖南高考文）已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值為()A.eq\r(2)－1B.eq\r(2)C.eq\r(2)＋1D.eq\r(2)＋2【解析】選C本題主要考查向量的坐標運算、向量模的幾何含義與向量模的最值求解，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合思想的運用能力．建立平面直角坐標系，令向量a，b的坐標a＝(1,0)，b＝(0,1)，令向量c＝(x，y)，則有eq\r(x－12＋y－12)＝1，|c|的最大值為圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的動點到原點的距離的最大值，即圓心(1,1)到原點的距離加圓的半徑，即eq\r(2)＋1.31．（·浙江高考文）已知i是虛數(shù)單位，則(2＋i)(3＋i)＝()A．5－5iB．7－5iC．5＋5iD．7＋5i【解析】選C本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算等基礎(chǔ)知識，意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握程度．(2＋i)(3＋i)＝6＋2i＋3i＋i2＝5＋5i.32.（·新課標Ⅰ高考文）eq\f(1＋2i,1－i2)＝()A．－1－eq\f(1,2)iB．－1＋eq\f(1,2)IC．1＋eq\f(1,2)iD．1－eq\f(1,2)i【解析】選B本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算.eq\f(1＋2i,1－i2)＝eq\f(1＋2i,－2i)＝eq\f(1＋2ii,2)＝eq\f(－2＋i,2)＝－1＋eq\f(1,2)i.33．（·湖北高考文）已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量AB→在CD→方向上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)【解析】選A本題主要考查平面向量的數(shù)量積的幾何意義及平面向量的坐標運算．AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，由定義知AB→在CD→方向上的投影為eq\f(AB→·CD→,|CD→|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).34．（·陜西高考文）已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2),若a∥b,則實數(shù)m等于()A．－eq\r(2)B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2)D．0【解析】選C本題主要考查向量平行的充要條件的坐標表示．a(chǎn)∥b的充要條件的坐標表示為1×2－m2＝0，∴m＝±eq\r(2).35．（·陜西高考文）設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A．若z2≥0，則z是實數(shù)B．若z2＜0，則z是虛數(shù)C．若z是虛數(shù)，則z2≥0D．若z是純虛數(shù)，則z2＜0【解析】選C本題主要考查復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算及命題真假的判斷．實數(shù)可以比較大小，而虛數(shù)不能比較大小，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2－b2≥0，))則b＝0，故選項A為真，同理選項B為真；而選項C為假，選項D為真．36．（·江西高考文）復(fù)數(shù)z＝i(－2－i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】選D本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法及復(fù)數(shù)的幾何意義，旨在考查考生對復(fù)數(shù)知識掌握的程度．因為z＝i(－2－i)＝－2i－i2＝1－2i，所以它對應(yīng)的點為(1，－2)，其在第四象限．37.（·四川高考文）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點是()A．AB．BC．CD．D【解析】選B本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何表示、共軛復(fù)數(shù)的概念，意在考查考生對基本概念的理解．設(shè)點A(x，y)表示復(fù)數(shù)z＝x＋yi，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝x－yi對應(yīng)的點為B(x，－y)，選B.38．（·廣東高考文）若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi的模是()A．2B．3C．4【解析】選D本題主要考查復(fù)數(shù)運算、相等、模等知識，意在考查考生的運算求解能力．依題意得－y＋xi＝3＋4i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y＝3，,x＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－3，,x＝4，))∴|x＋yi|＝|4－3i|＝eq\r(42＋－32)＝5.39．（·廣東高考文）設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題：①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c；②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc；③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μc；④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3題主要考查平面向量知識，考查數(shù)形結(jié)合、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、推理論證能力．顯然①②正確；對于③，當(dāng)μ＜|a|sina，b時，不存在符合題意的單位向量c和實數(shù)λ，③錯；對于④，當(dāng)λ＝μ＝1，|a|＞2時，易知④錯．40．（·遼寧高考文）復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,i－1)的模為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2【解析】選B本題主要考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念，意在考查考生的運算能力和對復(fù)數(shù)的四則運算法則的掌握情況．由已知，得z＝eq\f(－1－i,－1－i－1＋i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，所以|z|＝eq\f(\r(2),2).41．（·遼寧高考文）已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量AB→同方向的單位向量為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))【解析】選A本題主要考查向量的坐標表示．由已知，得AB→＝(3，－4)，所以|AB→|＝5，因此與AB→同方向的單位向量是eq\f(1,5)AB→＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).42．（·重慶高考理）設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c,b∥c，則|a＋b|＝()A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．2eq\r(5)D．10【解析】選B由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4＝0，,－4－2y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝eq\r(10).43．（·廣東高考理）設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq\f(5－6i,i)＝()A．6＋5iB．6－5iC．－6＋5iD．－6－5i【解析】選Deq\f(5－6i,i)＝－5i－6＝－6－5i.44．（·廣東高考理）若向量BA→＝(2,3)，CA→＝(4,7)，則BC→＝()A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)【解析】選A由于BA→＝(2,3)，CA→＝(4,7)，那么BC→＝BA→＋AC→＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．45．（·廣東高考理）對任意兩個非零的平面向量α和β，定義α°β＝eq\f(α·β,β·β).若平面向量a，b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角θ∈(0，eq\f(π,4))，且a°b和b°a都在集合{eq\f(n,2)|n∈Z}中，則a°b＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,2)【解析】選C由定義α°β＝eq\f(α·β,β2)可得b°a＝eq\f(a·b,a2)＝eq\f(|a|·|b|cosθ,|a|2)＝eq\f(|b|cosθ,|a|)，由|a|≥|b|>0，及θ∈(0，eq\f(π,4))得0<eq\f(|b|cosθ,|a|)<1，從而eq\f(|b|cosθ,|a|)＝eq\f(1,2)，即|a|＝2|b|cosθ.a°b＝eq\f(a·b,b2)＝eq\f(|a|·|b|cosθ,|b|2)＝eq\f(|a|cosθ,|b|)＝2cos2θ，因為θ∈(0，eq\f(π,4))，所以eq\f(\r(2),2)<cosθ<1，所以eq\f(1,2)<cos2θ<1，所以1<2cos2θ<2.又a°b∈{eq\f(n,2)|n∈Z}，故a°b＝2cos2θ＝eq\f(3,2).46．（·山東高考理）若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為()A．3＋5iB．3－5C．－3＋5i【解析】選Az＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.故選A.47．（·四川高考理）復(fù)數(shù)eq\f(1－i2,2i)＝()A．1B．－1C．i【解析】選B依題意可知，eq\f(1－i2,2i)＝eq\f(－2i,2i)＝－1.48．（·四川高考理）設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－bB．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2bD．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|【解析】選C對于A，當(dāng)a＝－b時，eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；對于B，注意當(dāng)a∥b時，eq\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)可能不相等；對于C，當(dāng)a＝2b時，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)；對于D，當(dāng)a∥b，且|a|＝|b|時，可能有a＝－b，此時eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|).綜上所述，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是a＝2b.49．（·遼寧高考理）復(fù)數(shù)eq\f(2－i,2＋i)＝()A.eq\f(3,5)－eq\f(4,5)iB.eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)IC．1－eq\f(4,5)iD．1＋eq\f(3,5)i【解析】選Aeq\f(2－i,2＋i)＝eq\f(2－i2,2＋i2－i)＝eq\f(3－4i,5)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i.50．（·遼寧高考理）已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的()A．a(chǎn)∥bB．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b|D．a(chǎn)＋b＝a－b【解析】選B由|a＋b|＝|a－b|，兩邊平方并化簡得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b.51．（·天津高考理）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(7－i,3＋i)＝()A．2＋iB．2－iC．－2＋iD．－2－i【解析】選Beq\f(7－i,3＋i)＝eq\f(7－i3－i,3＋i3－i)＝eq\f(20－10i,10)＝2－i.52．（·天津高考理）已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點P，Q滿足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R，若BQ→·CP→＝－eq\f(3,2)，則λ＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1±\r(2),2)C.eq\f(1±\r(10),2)D.eq\f(－3±2\r(2),2)【解析】選A以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則B(2,0)，C(1，eq\r(3))，由AP→＝λAB→，得P(2λ，0)，由AQ→＝(1－λ)AC→，得Q(1－λ，eq\r(3)(1－λ))，所以BQ→·CP→＝(－λ－1，eq\r(3)(1－λ))·(2λ－1，－eq\r(3))＝－(λ＋1)(2λ－1)－eq\r(3)×eq\r(3)(1－λ)＝－eq\f(3,2)，解得λ＝eq\f(1,2).53．（·陜西高考理）設(shè)a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復(fù)數(shù)a＋eq\f(b,i)為純虛數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】選B復(fù)數(shù)a＋eq\f(b,i)＝a－bi為純虛數(shù)，則a＝0，b≠0；而ab＝0表示a＝0或者b＝0，故“ab＝0”是“復(fù)數(shù)a＋eq\f(b,i)為純虛數(shù)”的必要不充分條件．54．（·上海高考理）若1＋eq\r(2)i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個復(fù)數(shù)根，則()A．b＝2，c＝3B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1D．b＝2，c＝－1【解析】選B由題意可得(1＋eq\r(2)i)2＋b(1＋eq\r(2)i)＋c＝0?－1＋b＋c＋(2eq\r(2)＋eq\r(2)b)i＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋b＋c＝0,2\r(2)＋\r(2)b＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝3.))55．（·上海高考理）復(fù)數(shù)eq\f(－1＋3i,1＋i)＝()A．2＋iB．2－iC．1＋2iD．1－2i【解析】選Ceq\f(－1＋3i,1＋i)＝1＋2i.56．（·上海高考理）△ABC中，AB邊的高為CD.若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則AD→＝()A.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)bB.eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)bC.eq\f(3,5)a－eq\f(3,5)bD.eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b【解析】選D由題可知|AB|2＝22＋12＝5，因為AC2＝AD·AB，所以AD＝eq\f(AC2,AB)＝eq\f(4\r(5),5)，利用各選項進行驗證可知選D.57．（·湖北高考理）方程x2＋6x＋13＝0的一個根是()A．－3＋2iB．3＋2iC．－2＋3iD．2＋3i【解析】選A配方得(x＋3)2＝－4＝(2i)2，所以x＋3＝±2i，x＝－3±2i.58．（·浙江高考理）已知i是虛數(shù)單位，則eq\f(3＋i,1－i)＝()A．1－2iB．2－IC．2＋iD．1＋2i【解析】選Deq\f(3＋i,1－i)＝eq\f(3＋i1＋i,2)＝1＋2i.59．（·浙江高考理）設(shè)a、b是兩個非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥bB．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λaD．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b|【解析】選C對于A，可得cosa，b＝－1，因此a⊥b不成立；對于B，滿足a⊥b時|a＋b|＝|a|－|b|不成立；對于C，可得cosa，b＝－1，因此成立，而D顯然不一定成立．60．（·福建高考理）若復(fù)數(shù)z滿足zi＝1－i，則z等于()A．－1－iB．1－iC．－1＋iD．1＋i【解析】選Az＝eq\f(1－i,i)＝eq\f(1－ii,i·i)＝－1－i.61．（·安徽高考理）復(fù)數(shù)z滿足(z－i)(2－i)＝5，則z＝()A．－2－2B．－2＋2iC．2－2iD．2＋2i【解析】選D由題意知z＝eq\f(5,2－i)＋i＝eq\f(52＋i,2－i2＋i)＋i＝2＋2i.62．（·新課標高考理）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)的四個命題：p1：|z|＝2,p2：z2＝2i，p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i,p4：z的虛部為－1.其中的真命題為()A．p1，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，【解析】選C∵復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(2)，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i，z的虛部為－1，綜上可知p2，p4是真命題．63．（·浙江高考文）已知i是虛數(shù)單位，則eq\f(3＋i,1－i)＝()A．1－2iB．2－IC．2＋iD．1＋2i【解析】選Deq\f(3＋i,1－i)＝eq\f(3＋i1＋i,2)＝1＋2i.64．（·浙江高考文）設(shè)a，b是兩個非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥bB．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λaD．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b|【解析】選C若|a|＋|b|＝|a|－|b|，則cos〈a，b〉＝－1，a、b反向共線，故A錯誤，C正確；當(dāng)a⊥b時，a、b不反向，也不共線，B錯誤；若a、b同向，則|a＋b|≠|(zhì)a|－|b|，D錯誤．65．（·四川高考文）設(shè)a、b都是非零向量．下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．|a|＝|b|且a∥bB．a(chǎn)＝－bC．a(chǎn)∥bD．a(chǎn)＝2b【解析】選D當(dāng)a＝2b時，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2a,2|a|)＝eq\f(b,|b|).所以，使eq\f(a,|b|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是a＝2b.66．（·遼寧高考文）已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，則x＝()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．1【解析】選D由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.67．（·遼寧高考文）復(fù)數(shù)eq\f(1,1＋i)＝()A.eq\f(1,2)－eq\f(1,2)iB.eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)iC．1－iD．1＋i【解析】選Aeq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1－i,2).68．（·天津高考文）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(5＋3i,4－i)＝()A．1－iB．－1＋iC．1＋iD．－1－i【解析】選Ceq\f(5＋3i,4－i)＝eq\f(5＋3i4＋i,4－i4＋i)＝eq\f(20＋5i＋12i＋3i2,16－i2)＝eq\f(17＋17i,17)＝1＋i.69．（·天津高考文）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.設(shè)點P，Q滿足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→·CP→＝－2，則λ＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D．2【解析】選B設(shè)AB→＝a，AC→＝b，則由已知得a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，并且AP→＝λa，AQ→＝(1－λ)b，所以BQ→＝AQ→－AB→＝(1－λ)b－a，CP→＝AP→－AC→＝λa－b，所以BQ→·CP→＝[(1－λ)b－a]·(λa－b)＝[λ(1－λ)＋1]a·b－λa2－(1－λ)b2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，所以λ＝eq\f(2,3).70．（·山東高考文）若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i【解析】選Az＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.71．（·上海高考文）若1＋eq\r(2)i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個復(fù)數(shù)根，則()A．b＝2，c＝3B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1D．b＝2，c＝－1【解析】選B由題意可得(1＋eq\r(2)i)2＋b(1＋eq\r(2)i)＋c＝0?－1＋b＋c＋(2eq\r(2)＋eq\r(2)b)i＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋b＋c＝0,2\r(2)＋\r(2)b＝0,))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝3.))72．（·福建高考文）復(fù)數(shù)(2＋i)2等于()A．3＋4iB．5＋4iC．3＋2iD．5＋2i【解析】選A(2＋i)2＝4－1＋4i＝3＋4i73．（·福建高考文）已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是()A．x＝－eq\f(1,2)B．x＝－1C．x＝5D．x＝0【解析】選Da⊥b?2(x－1)＋2＝0，得x＝0.74．（·安徽高考文）復(fù)數(shù)z滿足(z－i)i＝2＋i，則z＝()A．－1－iB．1－iC．－1＋3iD．1－2i【解析】選B設(shè)z＝a＋bi，則(z－i)i＝－b＋1＋ai＝2＋i，由復(fù)數(shù)相等的概念可知，－b＋1＝2，a＝1，所以a＝1，b＝－1.75．（·北京高考文）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)eq\f(10i,3＋i)對應(yīng)的點的坐標為()A．(1,3)B．(3,1)C．(－1,3)D．(3，－1)【解析】選A由eq\f(10i,3＋i)＝eq\f(10i3－i,3＋i3－i)＝eq\f(101＋3i,10)＝1＋3i得，該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為(1,3)．76．（·廣東高考文）設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq\f(3＋4i,i)＝()A．－4－3iB．－4＋3iC．4＋3iD．4－3i【解析】選Deq\f(3＋4i,i)＝－i(3＋4i)＝4－3i.77．（·廣東高考文）若向量AB→＝(1,2)，BC→＝(3,4)，則AC→＝()A．(4,6)B．(－4，－6)C．(－2，－2)D．(2,2)【解析】選AAC→＝AB→＋BC→＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．78．（·廣東高考文）對任意兩個非零的平面向量α和β，定義α°β＝eq\f(α·β,β·β).若兩個非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，且a°b和b°a都在集合{eq\f(n,2)|n∈Z}中，則a°b＝()A.eq\f(5,2)B.eq\f(3,2)C.1D.eq\f(1,2)【解析】選D根據(jù)新定義得a°b＝eq\f(a·b,b·b)＝eq\f(|a||b|cosθ,|b|2)＝eq\f(|a|,|b|)·cosθ，b°a＝eq\f(b·a,a·a)＝eq\f(|a||b|cosθ,|a|2)＝eq\f(|b|,|a|)cosθ.又因為a°b和b°a都在集合{eq\f(n,2)|n∈Z}中，設(shè)a°b＝eq\f(n1,2)，b°a＝eq\f(n2,2)(n1，n2∈Z)，那么(a°b)·(b°a)＝cos2θ＝eq\f(n1n2,4)，所以0<n1n2<2，所以n1，n2的值均為1，故a°b＝eq\f(n1,2)＝eq\f(1,2).79．（·湖南高考文）復(fù)數(shù)z＝i(i＋1)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是()A．－1－iB．－1＋IC．1－iD．1＋i【解析】選A∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴eq\x\to(z)＝－1－i.80．（·大綱卷高考文）△ABC中，AB邊的高為CD.若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則AD→＝()A.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)bB.eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)bC.eq\f(3,5)a－eq\f(3,5)bD.eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b【解析】選DAB→＝CB→－CA→＝a－b.因為b·a＝0，所以∠ACB＝90°，所以△ABC與△ACD相似，因此AD＝eq\f(AC2,AB)＝eq\f(4,\r(5))，eq\f(AD,AB)＝eq\f(4,5)，從而AD→＝eq\f(4,5)AB→＝eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b.81．（·新課標高考文）復(fù)數(shù)z＝eq\f(－3＋i,2＋i)的共軛復(fù)數(shù)是()A．2＋iB．2－iC．－1＋iD．－1－i【解析】選Dz＝eq\f(－3＋i,2＋i)＝eq\f(－3＋i2－i,2＋i2－i)＝－1＋i，所以eq\x\to(z)＝－1－i.82．（·重慶高考文）設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝()A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．2eq\r(5)D．10【解析】選B由a⊥b，可得a·b＝0，即x－2＝0，得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝eq\r(32＋－12)＝eq\r(10).83．（·新課標高考）復(fù)數(shù)eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復(fù)數(shù)是()A．－eq\f(3,5)iB.eq\f(3,5)IC．－iD．i【解析】選Ceq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(i－2i＋1,1－2i)＝i，∴eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復(fù)數(shù)為－i.84．（·新課標高考）已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題p1：|a＋b|>1?θ∈[0，eq\f(2π,3))p2：|a＋b|>1?θ∈(eq\f(2π,3)，π]p3：|a－b|>1?θ∈[0，eq\f(π,3))p4：|a－b|>1?θ∈(eq\f(π,3)，π]其中的真命題是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4【解析】選A由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，∵|a|b|＝1，∴a·b>－eq\f(1,2).故θ∈[0，eq\f(2π,3))．當(dāng)θ∈[0，eq\f(2π,3))時，a·b>－eq\f(1,2)，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2>1，即|a＋b|>1；由|a－b|>1可得：a2－2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b<eq\f(1,2)，故θ∈(eq\f(π,3)，π]，反之也成立，選A.85．（·大綱卷高考）復(fù)數(shù)z＝1＋i，eq\o(z,\s\up6(－))為z的共軛復(fù)數(shù)，則zeq\o(z,\s\up6(－))－z－1＝()A．－2iB．－IC．iD．2i【解析】選B依題意得zeq\o(z,\s\up6(－))－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i，選 B.86．（·大綱卷高考）設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，〈a－c，b－c〉＝60°，則|c|的最大值等于()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．1【解析】選A依題意得，|a＋b|＝eq\r(a2＋b2＋2a·b)＝1.一方面，(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2＝－eq\f(1,2)－(a＋b)·c＋|c|2；另一方面，(a－c)·(b－c)＝eq\f(1,2)|a－c|·|b－c|≤eq\f(a－c2＋b－c2,4)＝eq\f(1－a＋b·c＋|c|2,2)，于是有－eq\f(1,2)－(a＋b)·c＋|c|2≤eq\f(1－a＋b·c＋|c|2,2)，即|c|2≤2＋(a＋b)·c≤2＋|a＋b|·|c|＝2＋|c|，|c|2－|c|－2＝(|c|－2)(|c|＋1)≤0，|c|≤2，即|c|的最大值是2，選A.87．（·北京高考）復(fù)數(shù)eq\f(i－2,1＋2i)＝()A．iB．－IC．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iD．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i【解析】選A因為eq\f(i－2,1＋2i)＝eq\f(i－21－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(5i,5)＝i，故選擇A.88．（·江西高考）若z＝eq\f(1＋2i,i)，則復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i【解析】選Dz＝eq\f(1＋2i,i)＝eq\f(i1＋2i,i2)＝－(i－2)＝2－i，故eq\o(z,\s\up6(－))＝2＋i.89.（·安徽高考）設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1＋ai,2－i)為純虛數(shù)，則實數(shù)a為()A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)【解析】選A法一：eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－a＋2a＋1i,5)為純虛數(shù)，所以2－a＝0，a＝2，故選A.法二：eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(ia－i,2－i)為純虛數(shù)，所以a＝2，故選A.90．（·山東高考）復(fù)數(shù)z＝eq\f(2－i,2＋i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限為()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】選Dz＝eq\f(2－i,2＋i)＝eq\f(2－i2－i,5)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i，其對應(yīng)的點在第四象限．91．（·山東高考）設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若A1A3→＝λA1A2→(λ∈R)，A1A4→＝μA1A2→(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2.已知平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B，則下面說法正確的是()A．C可能是線段AB的中點B．D可能是線段AB的中點C．C，D可能同時在線段AB上D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上【解析】選D不妨設(shè)A(0,0)，B(1,0)，C(c,0)，D(d,0)，根據(jù)已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，從而得c＝λ；(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0),得d＝μ.根據(jù)eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，得eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2.線段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是線段AB的中點，則c＝eq\f(1,2)，代入eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2，得eq\f(1,d)＝0，此等式不可能成立，故選項A的說法不正確；同理選項B的說法也不正確；若C，D同時在線段AB上，則0<c≤1,0<d≤1，此時eq\f(1,c)≥1，eq\f(1,d)≥1，eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)≥2，若等號成立，則只能c＝d＝1，根據(jù)定義，C，D是兩個不同的點，故矛盾，故選項C的說法也不正確；若C，D同時在線段AB的延長線上，若c>1，d>1，則eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)<2，與eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2矛盾，若c<0，d<0，則eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)是負值，與eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2矛盾，若c>1，d<0，則eq\f(1,c)<1，eq\f(1,d)<0，此時eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)<1，與eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2矛盾．故選項D的說法是正確的．92．（·四川高考）復(fù)數(shù)－i＋eq\f(1,i)＝()A．－2iB.eq\f(1,2)IC．0D．2i【解析】選A原式＝－i＋(－i)＝－2i.93.（·四川高考）如圖，正六邊形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A．0B．BE→C．AD→D．CF→【解析】選D由于BA→＝DE→，故BA→＋CD→＋EF→＝CD→＋DE→＋EF→＝CF→.94．（·湖南高考）若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a＋i)i＝b＋i，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝－1，b＝－1D．a(chǎn)＝1，b＝－1【解析】選D由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得a＝1，b＝－1.95．（·重慶高考）復(fù)數(shù)eq\f(i2＋i3＋i4,1－i)＝()A．－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)iB．－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)I