2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.4節(jié)-空間直線、平面的垂直【課件】

必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)第四節(jié)空間直線、平面的垂直第八章立體幾何初步、空間向量與立體幾何核心考點(diǎn)·分類突破【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.從定義和基本事實(shí)出發(fā),借助長(zhǎng)方體,通過直觀感知,了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系的定義,歸納出有關(guān)垂直的性質(zhì)定理和判定定理,并加以證明.2.能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.【核心素養(yǎng)】直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【命題說明】考向考法高考題常以空間幾何體為載體,考查空間直線、平面的垂直關(guān)系.線面垂直是高考的熱點(diǎn),在各種題型中都會(huì)有所體現(xiàn).預(yù)測(cè)2025年高考這一部分知識(shí)仍會(huì)考查,以解答題第(1)問的形式出現(xiàn),難度中檔.必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)知識(shí)梳理·歸納1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的______一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直.任意(2)判定定理與性質(zhì)定理類型文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的______________垂直,那么該直線與此平面垂直

性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線______

兩條相交直線平行2.直線和平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的______所成的角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面,則它們所成的角是____;一條直線和平面平行或在平面內(nèi),則它們所成的角是0°.(2)范圍:_____3.二面角(1)定義:從一條直線出發(fā)的____________所組成的圖形叫做二面角.射影90°

兩個(gè)半平面(2)二面角的平面角若有①O∈l;②OA?α,OB?β;③OA⊥l,OB⊥l,則二面角α-l-β的平面角是________.(3)二面角的平面角θ的范圍:___________.4.平面與平面垂直(1)定義一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是__________,就說這兩個(gè)平面互相垂直.∠AOB0°≤θ≤180°直二面角(2)判定定理與性質(zhì)定理類型文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的______,那么這兩個(gè)平面垂直

性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的______,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直

垂線交線常用結(jié)論

1.若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.2.若一條直線垂直于一個(gè)平面,則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法).3.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.基礎(chǔ)診斷·自測(cè)1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)已知直線a,b,c,若a⊥b,b⊥c,則a∥c.(

)(2)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l⊥α.(

)(3)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,若m∥n,m⊥α,則n⊥α.(

)(4)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.(

)類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)1234××√×提示:(1)中a,c可能相交、平行也可能異面;(2)中若平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都平行,則l與α不一定垂直;(4)中平面內(nèi)與交線垂直的直線與另一個(gè)平面垂直.2.(必修二P161例10變形式)如圖所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P為△ABC所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABC,則四面體P-ABC中直角三角形的個(gè)數(shù)為(

)A.4 B.3 C.2 D.1【解析】選A.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P為△ABC所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABC,所以BC⊥PA,因?yàn)锽C⊥AB,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.所以四面體P-ABC中直角三角形有△PAC,△PAB,△ABC,△PBC,共4個(gè).3.(多選題)(空間垂直關(guān)系不清致誤)下列命題中不正確的是(

)A.如果直線a不垂直于平面α,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于直線aB.如果平面α垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βC.如果直線a垂直于平面α,那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于直線aD.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β【解析】選ABD.A中存在無數(shù)條在平面α內(nèi)與a垂直的直線;B中α內(nèi)與交線平行的直線與β平行.若直線a垂直于平面α,則直線a垂直于平面α內(nèi)的所有直線,故C正確,不符合題意,D中α內(nèi)與交線不垂直的直線與β不垂直.4.(2021·浙江高考)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點(diǎn),則(

)A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1【解析】選A.連接AD1(圖略),則易得點(diǎn)M在AD1上,且M為AD1的中點(diǎn),AD1⊥A1D.因?yàn)锳B⊥平面AA1D1D,A1D?平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,又AB∩AD1=A,AB,AD1?平面ABD1,所以A1D⊥平面ABD1,又BD1?平面ABD1,顯然A1D與BD1異面,所以A1D與BD1異面且垂直.在△ABD1中,由中位線定理可得MN∥AB,又MN?平面ABCD,AB?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.易知直線AB與平面BB1D1D成45°角,所以MN與平面BB1D1D不垂直.核心考點(diǎn)·分類突破考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)考情提示直線與平面垂直作為空間垂直關(guān)系的載體因其集中考查直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理而成為高考的熱點(diǎn),涉及直線與平面垂直關(guān)系的判斷、證明以及線面垂直關(guān)系在空間幾何體中的實(shí)際應(yīng)用.

【證明】(1)因?yàn)锳B⊥平面PAD,AB?平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.因?yàn)槠矫鍼AD∩平面ABCD=AD,PH⊥AD,所以PH⊥平面ABCD.

角度2直線與平面垂直的性質(zhì)[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中點(diǎn),M,N分別在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.證明:AE∥MN.【證明】因?yàn)锳B⊥平面PAD,AE?平面PAD,所以AE⊥AB.又AB∥CD,所以AE⊥CD.因?yàn)锳D=AP,E是PD的中點(diǎn),所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD?平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因?yàn)镸N⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.又因?yàn)镸N⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD?平面PCD,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.解題技法1.證明線面垂直的常用方法(1)判定定理;(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b,a⊥α?b⊥α);(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β);(4)面面垂直的性質(zhì).2.直線與平面垂直性質(zhì)的解題策略(1)判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想,證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).(2)在解題中要重視平面幾何的知識(shí),特別是正余弦定理及勾股定理的應(yīng)用.(3)重要結(jié)論要熟記:經(jīng)過一點(diǎn)與已知直線垂直的直線都在過這點(diǎn)且與已知直線垂直的平面內(nèi).此結(jié)論可幫助解決動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明:(1)CD⊥AE;【證明】(1)在四棱錐P-ABCD中,因?yàn)镻A⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.因?yàn)锳C⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,所以CD⊥AE.1.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明:(2)PD⊥平面ABE.【證明】(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC是等邊三角形,所以AC=PA.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,所以AE⊥PD.因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥AB.又因?yàn)锳B⊥AD且PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD,所以AB⊥PD.又因?yàn)锳B∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.2.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1.(1)求證:A1C⊥B1D1;【證明】(1)連接A1C1(圖略).因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1,B1D1?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1是正方形,所以A1C1⊥B1D1.又CC1∩A1C1=C1,所以B1D1⊥平面A1C1CA.又A1C?平面A1C1CA,所以A1C⊥B1D1.2.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1.(2)M,N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn),且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求證:MN∥A1C.【證明】(2)連接B1A,AD1(圖略).因?yàn)锽1C1∥AD,所以四邊形ADC1B1為平行四邊形,所以C1D∥AB1.因?yàn)镸N⊥C1D,所以MN⊥AB1.又MN⊥B1D1,AB1∩B1D1=B1,所以MN⊥平面AB1D1.易得A1C⊥AB1,由(1)知A1C⊥B1D1,又AB1∩B1D1=B1,所以A1C⊥平面AB1D1,所以MN∥A1C.考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)考情提示平面與平面垂直作為空間垂直關(guān)系的載體因其集中考查平面與平面垂直的判定定理,性質(zhì)定理成為高考的熱點(diǎn),涉及平面與平面垂直關(guān)系的判斷、證明以及在空間幾何體中的實(shí)際應(yīng)用.角度1平面與平面垂直的判定[例3]如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,M為棱PD的中點(diǎn),MA=MC.求證:(1)PB∥平面AMC;【證明】(1)連接OM(圖略),因?yàn)镺是菱形ABCD對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),所以O(shè)為BD的中點(diǎn),因?yàn)镸是棱PD的中點(diǎn),所以O(shè)M∥PB,因?yàn)镺M?平面AMC,PB?平面AMC,所以PB∥平面AMC.[例3]如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,M為棱PD的中點(diǎn),MA=MC.求證:(2)平面PBD⊥平面AMC.【證明】(2)在菱形ABCD中,AC⊥BD,且O為AC的中點(diǎn),因?yàn)镸A=MC,所以AC⊥OM,因?yàn)镺M∩BD=O,所以AC⊥平面PBD,因?yàn)锳C?平面AMC,所以平面PBD⊥平面AMC.角度2平面與平面垂直的性質(zhì)[例4]在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中點(diǎn),沿DE將△ADE折起,得到如圖所示的四棱錐P-BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱錐P-BCDE的體積;

[例4]在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中點(diǎn),沿DE將△ADE折起,得到如圖所示的四棱錐P-BCDE.(2)若PB=PC,求證:平面PDE⊥平面BCDE.【解析】(2)取BC的中點(diǎn)N,連接PN,MN,則BC⊥MN,因?yàn)镻B=PC,所以BC⊥PN,因?yàn)镸N∩PN=N,MN,PN?平面PMN,所以BC⊥平面PMN,因?yàn)镻M?平面PMN,所以BC⊥PM,由(1)知,PM⊥DE,又BC,DE?平面BCDE,且BC與DE延長(zhǎng)后是相交的,所以PM⊥平面BCDE,因?yàn)镻M?平面PDE,所以平面PDE⊥平面BCDE.解題技法關(guān)于面面垂直的判定與性質(zhì)(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù),運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”.②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,點(diǎn)M在線段PC上,且PM=2MC,N為AD的中點(diǎn).(1)求證:AD⊥平面PNB;【解析】(1)連接BD(圖略).因?yàn)镻A=PD,N為AD的中點(diǎn),所以PN⊥AD.又底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,所以△ABD為等邊三角形,所以BN⊥AD.又PN∩BN=N,所以AD⊥平面PNB.

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,點(diǎn)M在線段PC上,且PM=2MC,N為AD的中點(diǎn).(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求三棱錐P-NBM的體積.

考點(diǎn)三直線、平面垂直的綜合應(yīng)用[例5]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).求證:(1)PE⊥BC;【證明】(1)因?yàn)镻A=PD,E為AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC.[例5]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).求證:(2)平面PAB⊥平面PCD;【證明】(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD,所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD,且PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.[例5]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).求證:(3)EF∥平面PCD.

解題技法關(guān)于線、面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用(1)三種垂直的綜合問題,一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.求解時(shí)應(yīng)注意垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.(2)如果有平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P,C),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.(1)求證:AB∥EF;【證明】(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以AB∥CD.又AB?平面PDC,CD?平面PDC,所以AB∥平面PDC.又因?yàn)锳B?平面ABE,平面ABE∩平面PDC=EF,所以AB∥EF.

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P,C),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.(2)若AF⊥EF,求證:平面PAD⊥平面ABCD.【證明】(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以AB⊥AD.因?yàn)锳F⊥EF,(1)中已證AB∥EF,所以AB⊥AF.又AB⊥AD,由點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P,C),所以點(diǎn)F異于點(diǎn)P,D,所以AF∩AD=A.又AF,AD?平面PAD,所以AB⊥平面PAD.又AB?平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.重難突破球與幾何體的切、接問題【解題關(guān)鍵】(1)“接”的處理:把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即球的外接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.(