北京市順義區(qū)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

Page20Page20北京市順義區(qū)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由并集的定義干脆求解.【詳解】，，∴.故選：C2.設(shè)，，，則（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】【詳解】依據(jù)平面對(duì)量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【點(diǎn)睛】因?yàn)?，，，所?故選：B3.下列每組雙曲線中漸近線都為是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】依次求出各雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，其漸近線方程為，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，其漸近線方程為，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，其漸近線方程為，但雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，其漸近線方程為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，其漸近線方程為，但雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，其漸近線方程為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，其漸近線方程為，但雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，其漸近線方程為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.4.拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，則雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（）A.8 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先求出拋物線的準(zhǔn)線，從而可得雙曲線的，依據(jù)的關(guān)系可得答案.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，所以由題意可知雙曲線的左焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的虛軸長(zhǎng)為.故選：B5.給出三個(gè)等式：，，．下列函數(shù)中不滿意任何一個(gè)等式的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則檢驗(yàn)即可；對(duì)于B，利用指數(shù)的運(yùn)算法則檢驗(yàn)即可；對(duì)于C，利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式檢驗(yàn)即可；對(duì)于D，舉反例逐一推斷三個(gè)等式即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A不滿意題意；對(duì)于B，因?yàn)椋?，故B不滿意題意；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C不滿意題意；對(duì)于D，因?yàn)?，所以令，則，故；令，則，故；令，則，故；綜上：不滿意任何一個(gè)等式，故D滿意題意.故選：D.6.已知和是兩個(gè)相互垂直的單位向量，，則是和夾角為的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量公式表示出和夾角的余弦值，再探討夾角為時(shí)的取值，最終依據(jù)充分條件和必要條件定義選出答案.【詳解】，，，當(dāng)時(shí)，，即和夾角為,故是和夾角為的充分不必要條件故選：A7.圓上的點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)和在改變過(guò)程中，的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，并利用點(diǎn)在圓上得出，依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式表達(dá)出距離，利用協(xié)助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出的最小值.【詳解】解：由題意，在圓中，圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離為設(shè)，，，解得：在中，，其中，∴當(dāng)時(shí)，d最小，.故選：C.8.在平行四邊形中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)三點(diǎn)共線，即共線，可設(shè)，用表示出關(guān)系，即可解出結(jié)果.【詳解】.設(shè)，則,又，且三點(diǎn)共線，則共線，即，使得，即，又不共線，則有，解得，所以，.故選：D.9.函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)，滿意，則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù),在上,可得出,再根聯(lián)立,得到的值,依據(jù)縮小的取值范圍,進(jìn)而代入求值即可.【詳解】解:由題知,,均在上,,,,故有:,兩等式聯(lián)立有,解得,,,,,綜上選項(xiàng)B正確.故選:B10.已知曲線，則下列說(shuō)法正確的有幾個(gè)（）（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）只有兩條對(duì)稱軸；（3）曲線上點(diǎn)到原點(diǎn)最大距離是1；（4）曲線所圍成圖形的總面積小于；A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】對(duì)于（1）（2），代入即可推斷曲線的對(duì)稱狀況；對(duì)于（3），利用基本不等式與兩點(diǎn)距離公式的幾何意義即可推斷；對(duì)于（4），利用（3）中的結(jié)論簡(jiǎn)單推斷.【詳解】對(duì)于（1），不妨設(shè)點(diǎn)在曲線上，則也在該曲線上，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故（1）正確；對(duì)于（2），易知也都在該曲線上，所以曲線關(guān)于軸、軸、對(duì)稱，故（2）錯(cuò)誤；對(duì)于（3），因?yàn)椋?，即，所以曲線上點(diǎn)到原點(diǎn)最大距離是1，故（3）正確；對(duì)于（4），由（3）得，曲線所圍成的圖形落在圓內(nèi)，且明顯是圓內(nèi)的部分圖形，而圓的面積為，所以曲線所圍成圖形的總面積小于，故（4）正確；綜上：（1）（3）（4）正確，（2）錯(cuò)誤，故說(shuō)法正確的有3個(gè).故選：C.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.，，若，則______．【答案】1【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，則.故答案為：1.12.如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為1，______．【答案】-1【解析】【分析】由正六邊形性質(zhì)，結(jié)合向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算即可【詳解】由正六邊形性質(zhì)，，.故答案為：-1.13.若是奇函數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對(duì)可以是______．（寫出你認(rèn)為正確的一組數(shù)即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先依據(jù)正弦函數(shù)和差角公式將原式化簡(jiǎn)整理，然后依據(jù)奇函數(shù)的定義得到參數(shù)，應(yīng)當(dāng)滿意的條件，按等式關(guān)系選取答案即可.【詳解】已知，，若是奇函數(shù)，則即可，可以取，.故答案為：（答案不唯一）14.若函數(shù)滿意存在使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，視察圖象即可得到答案.【詳解】如圖所示，畫出函數(shù)的圖象.結(jié)合圖象可知，故答案為：.15.已知圓和定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則下面說(shuō)法正確的是______．①點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是4；②若是等腰三角形，則其周長(zhǎng)為10；③點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；④的最大值是．【答案】②③④【解析】【分析】利用求軌跡方程的方法求出點(diǎn)的軌跡，再依據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系確定點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離，再依據(jù)幾何關(guān)系確定的周長(zhǎng)，利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到即可求出的最大值.【詳解】設(shè)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,所以,因?yàn)樵趫A上,所以,即,即,所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,方程為,是以為圓心,為半徑的圓,所以點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是,故①錯(cuò)誤；因?yàn)?，所?若為等腰三角形，若,則,此時(shí)三點(diǎn)共線，不滿意題意，若,則,滿意題意，所以的周長(zhǎng)等于，故②正確；由以上過(guò)程可知的軌跡是一個(gè)圓,方程為,所以③正確；設(shè)，當(dāng)時(shí)，，不是最大角，不為時(shí)，中，,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào)，所以，故④正確.故答案為：②③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若在上的值域?yàn)?，求值．【答案】?）（2）【解析】【分析】（1）由誘導(dǎo)公式、二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求值．【小問1詳解】解：已知增區(qū)間為：所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】解：已知，，即，因?yàn)椋涤驗(yàn)椋?17.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且有（1）求角的大小；（2）從下列條件①、條件②、條件③中選一個(gè)作為已知，使唯一確定，并求的面積．條件①：邊上的高為；條件②：，；條件③：，．【答案】（1）（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）留意到已知等式右邊為，可得.（2）若選擇①，結(jié)合（1）只能求得b.若選擇②，結(jié)合（1）和正弦定理，可求得.若選擇③，結(jié)合（1）和正，余弦定理，可求得b，c.【小問1詳解】由題，因.則，因A為三角形內(nèi)角，所以A.【小問2詳解】若選擇①，設(shè)邊上的高為，則，得.因題目條件不足，故無(wú)法唯一確定.若選擇②，由正弦定理及（1），有.因，又題目條件不足，故無(wú)法推斷B為鈍角還是銳角，則無(wú)法唯一確定.若選擇③，由正弦定理，及，則又由余弦定理及（1），有，得，.此時(shí)唯一確定，.綜上選擇③時(shí)，唯一確定，此時(shí)的面積為18.橢圓．（1）點(diǎn)是橢圓上隨意一點(diǎn)，求點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)之間距離的最大值和最小值；（2）和分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．為橢圓上第三象限點(diǎn)．直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，計(jì)算得到，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最值.（2）過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作軸于，設(shè)，利用相像計(jì)算得到答案.【小問1詳解】設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作軸于，設(shè)，19.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為．（1）求橢圓的離心率和的面積；（2）已知直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．推斷直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，理由見詳解.【解析】【分析】（1）由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入橢圓方程求得，結(jié)合，解得的值，進(jìn)而求得離心率和的面積；（2）由直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則說(shuō)明斜率存在，所以分，，進(jìn)行探討找出直線過(guò)得點(diǎn).【小問1詳解】由題意，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，解得，即橢圓，因?yàn)?，即，所以橢圓的離心率為，又由左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，所以，所以的面積為【小問2詳解】由直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)所以當(dāng)時(shí)，直線為與橢圓交于A，B兩點(diǎn)由解得：令，此時(shí)所以所以直線即，令所以直線是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)同理若，則令所以直線是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，由直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)設(shè)聯(lián)立方程組，整理得，則，所以設(shè)點(diǎn)，所以的方程為，令，可得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，綜上可得，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).20.已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．（1）求值；（2）推斷的單調(diào)性；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式的解集為?干脆寫出的取值范圍．【答案】（1）（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）存在，【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，依據(jù)計(jì)算得到答案.（2）求導(dǎo)得到，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到單調(diào)區(qū)間.（3）先證明，，計(jì)算得到，且，得到答案.【小問1詳解】，則，，解得.，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，滿意.【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.【小問3詳解】，當(dāng)，易知，，故.故，滿意條件.當(dāng)時(shí)，設(shè)，故，故，即，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，故.，即可以無(wú)限接近.綜上所述：.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，轉(zhuǎn)化實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力，其中放縮的思想是解題的關(guān)鍵.21.已知有限數(shù)列A：，，…，（且）各項(xiàng)均為整數(shù)，且滿意對(duì)隨意，3，…，N成立．記．（1）若，，求能取到的最大值；（2）若，求證：；（3）若（這里是數(shù)列的項(xiàng)數(shù)），求證：數(shù)列A中存在使得．【答案】（1）33（2）證明見詳解（3）證明見詳解【解析】【分析】（1）依據(jù)題意結(jié)合累加法和等差數(shù)列求和運(yùn)算求解；（2）依據(jù)（1）中結(jié)論，結(jié)合數(shù)的奇偶性分析證明；（3）令，依據(jù)題意利用反證法證明.【小問1詳解】∵，則或，設(shè)，即，當(dāng)時(shí)，則，故，若能取到最大值，則，此時(shí)，若，，則能取到的最大值為.【小問2詳解】若，則由（1）可得：，記滿意中的i依次為，則，∵均為整數(shù)，則為偶數(shù)，為奇數(shù)，∴為奇數(shù)，故.小問3詳解】記，則有限數(shù)列B：