新教材2025版高中數(shù)學第六章立體幾何初步3空間點直線平面之間的位置關系3.2刻畫空間點線面位置關系的公理第2課時空間圖形的基本事實4與等角定理學案北師大版必修第二冊

第2課時空間圖形的基本領實4與等角定理[教材要點]要點一基本領實4(1)條件：兩條直線平行于________．(2)結論：這兩條直線________．(3)符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?________.eq\x(狀元隨筆)基本領實4所表述的性質也叫作空間平行線的傳遞性，這是對初中所學的平行線的傳遞性內容的推廣．留意并非全部對于平面圖形成立的結論對于立體圖形都成立．在應用基本領實4證明兩條直線平行時，常與平行四邊形的性質及三角形的中位線定理等結合．要點二空間兩條直線的位置關系1．空間中兩條直線的位置關系2．異面直線(1)定義：把不同在________平面內的兩條直線叫作異面直線．(2)畫法：(通常用平面襯托)eq\x(狀元隨筆)1.異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．2．不能把異面直線誤認為分別在不同平面內的兩條直線，如圖中，雖然有a?α，b?β，即a，b分別在兩個不同的平面內，但是因為a∩b＝O，所以a與b不是異面直線．要點三等角定理文字語言假如空間中兩個角的兩條邊分別對應________，那么這兩個角________或________符號語言OA∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言作用判定兩個角相等或互補要點四異面直線所成的角定義已知兩條異面直線a，b，過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，這時a′，b′共面，我們把a′與b′所成的________的角稱為異面直線a，b所成的角(或夾角)取值范圍異面直線所成的角O的取值范圍：________特例當θ＝________時，a與b相互垂直，記作a⊥beq\x(狀元隨筆)1.探討異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉化為相交直線．這是探討空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問題轉化為平面圖形問題．2．異面直線所成的角的大小不能是0°，若兩條直線所成的角是0°，則這兩條直線平行，不行能異面．3．兩條直線垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直．[基礎自測]1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)分別平行于兩條異面直線的兩條直線肯定是異面直線．()(2)若a∥b，b∥c，c∥d，則a∥d.()(3)假如空間中兩個角的兩條邊分別對應平行且同向，那么這兩個角相等．()(4)若∠AOB＝110°，則分別和邊OA，OB平行的兩條異面直線所成的角為110°.()2．一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線，則它與另一條()A．相交B．異面C．相交或異面D．平行3．三棱錐A-BCD中，E、F、M、N分別是AB、AD、BC、CD的中點，則EF與MN的位置關系()A．平行B．相交C．異面D．都有可能4．已知正方體ABCD-A′B′C′D′中：(1)BC′與CD′所成的角為________；(2)AD與BC′所成的角為________．題型一基本領實4的應用——師生共研例1在棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為棱CD，AD的中點．求證：四邊形MNA′C′是梯形．方法歸納在應用基本領實4證明兩條直線平行時，常與平行四邊形的性質及三角形的中位線定理等結合．跟蹤訓練1如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．題型二等角定理及其應用——師生共研例2如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點．求證：∠EA1F＝∠E1CF1.要證明∠EA1F＝∠E1CF1，可證明A1F∥CF1，A1E∥CE1且射線A1E與CE1，射線A1F與CF1的方向分別相反.方法歸納(1)空間等角定理實質上是由以下兩個結論組成的：①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行且方向都相同或相反，那么這兩個角相等；②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，有一組對邊方向相同，另一組對邊方向相反，那么這兩個角互補．(2)證明角相等，一般采納三種途徑①利用等角定理及推論；②利用三角形相像；③利用三角形全等．跟蹤訓練2在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分別為A1C1，AC和AB的中點．求證：∠PNA1＝∠BCM.題型三求異面直線所成的角——師生共研例3如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，若EF＝eq\r(3)，求異面直線AD，BC所成角的大?。旬惷嬷本€AD，BC平移到同一平面內變式探究1將本例中的條件“AD＝BC＝2”改為“AD＝BC且AD⊥BC，”求EF與AD所成的角．變式探究2將本例中的條件“AD＝BC＝2，E、F分別是AB、CD的中點，若EF＝eq\r(3)”改為“AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別為BC、AD的中點”求EF與AB所成角的大?。椒w納求兩條異面直線所成的角的一般步驟(1)構造：依據(jù)異面直線的定義，用平移法(常用三角形中位線、平行四邊形性質等)作出異面直線所成的角．(2)證明：證明作出的角就是要求的角．(3)計算：求角度，常放在三角形內求解．(4)結論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角．易錯辨析忽視異面直線所成的角的范圍致錯．例4如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．解析：如圖，連接BD，并取其中點E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其補角)為BC與MN所成的角，∠MEN(或其補角)為BC與AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC與AD所成的角為60°.易錯警示易錯緣由糾錯心得解本題時易忽視異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°，從而由∠MEN＝120°干脆得出BC與AD所成的角為120°這一錯解．事實上，在未推斷出∠MEN是銳角、直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩條異面直線所成的角，假如∠MEN為鈍角，那么它的補角才是直線所成的角.求異面直線所成的角θ的時候，要留意它的取值范圍是0°<θ≤90°.兩條異面直線所成的角轉化為一個三角形的內角時，簡單忽視這個三角形的內角可能等于兩條異面直線所成的角，也可能等于其補角.第2課時空間圖形的基本領實4與等角定理新知初探·課前預習要點一同一條直線平行a∥c要點二一個沒有沒有任一要點三平行相等互補要點四不大于90°(0，eq\f(π,2)]eq\f(π,2)[基礎自測]1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AA1與直線B1C1是異面直線，與B1C1平行的直線有A1D1，AD，BC，明顯直線AA1與A1D1，AD相交，與BC異面．故選C.答案：C3．解析：∵E，F(xiàn)是AB、AD中點，∴EF∥BD.∵M，N是BC，CD中點，∴MN∥BD，∴EF∥MN.答案：A4．解析：連接BA′，則BA′∥CD′，連接A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．由△A′BC′為正三角形．∴∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，∴AD與BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.答案：(1)60°(2)45°題型探究·課堂解透題型一例1證明：如圖，連接AC.∵M，N分別為棱CD，AD的中點，∴MN綊eq\f(1,2)AC.由正方體的性質可知AC綊A′C′，∴MN綊eq\f(1,2)A′C′，∴A′N與MC′相交，即A′N不平行于MC′，MN平行于A′C′，∴四邊形MNA′C′是梯形．跟蹤訓練1證明：如圖所示，取DD1的中點Q，連接EQ，QC1.∵E是AA1的中點，∴EQ綊A1D1.∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1，∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，∴B1E綊C1Q.又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點，∴QD綊C1F，∴四邊形DQC1F為平行四邊形，∴C1Q綊FD，又B1E綊C1Q，∴B1E綊FD，∴四邊形B1EDF為平行四邊形．題型二例2證明：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中點M，連接BM，F(xiàn)1M，則BF＝A1M.又∵BF∥A1M，∴四邊形A1FBM為平行四邊形，∴A1F∥BM.而F1，M分別為C1D1，A1B1的中點，則F1M綊C1B1.而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，∴四邊形F1MBC為平行四邊形．∴BM∥CF1.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中點N，連接DN，E1N，則有A1E∥CE1.∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對應平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.跟蹤訓練2證明：因為P，N分別為AB，AC的中點，所以PN∥BC.①又因為M，N分別為A1C1，AC的中點，所以A1M綊NC.所以四邊形A1NCM為平行四邊形，于是A1N∥MC.②由①②及∠PNA1與∠BCM對應邊方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.題型三例3解析：如圖，取BD的中點M，連接EM，F(xiàn)M.因為E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，所以EM綊eq\f(1,2)AD，F(xiàn)M綊eq\f(1,2)BC，則∠EMF或其補角就是異面直線AD，BC所成的角．因為AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，過點M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，則sin∠EMH＝eq\f(\r(3),2)，于是∠EMH＝60°.則∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以異面直線AD，BC所成的角為∠EMF的補角，即異面直線AD，BC所成的角為60°.變式探究1解析：如例3圖中，EM綊eq\f(1,2)AD，MF綊eq\f(1,2)BC又AD＝BC，∴EM＝MF，∴∠MEF就是EF與AD所成的角或其補角．∵AD⊥BC，∴EM⊥MF，∴∠EMF＝90°，∴△EMF為等腰直角三角形，∴∠MEF＝45°，即EF與AD所成的角為4