高中數(shù)學(xué)-直接證明與間接證明教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

課堂教學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

選修2-2第二章

章節(jié)名稱直接證明與間接證明

本節(jié)（課）教學(xué)內(nèi)容分析

“推理與證明”是新課標(biāo)新增內(nèi)容（選修2-2第二章，選修1-2第二章），主要包括合情推理與演繹

推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法三個(gè)部分（其中數(shù)學(xué)歸納法文科數(shù)學(xué)不作要求）.“推理與證

明”是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.本節(jié)內(nèi)容是各知識(shí)模塊中

常用推理方法和論證方法的總結(jié)，本節(jié)課是數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練專題課，專門(mén)訓(xùn)練學(xué)生利用分析法、綜合法、

反證法解題。分析法在數(shù)學(xué)中特指從結(jié)果（結(jié)論）出發(fā)追溯其產(chǎn)生原因的思維方法，即執(zhí)果索因法。

綜合思維方法：綜合是以己知性質(zhì)和分析為基礎(chǔ)的，從已知出發(fā)逐步推求位未知的思考方法，即執(zhí)果

導(dǎo)因法。這兩種數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)思維方法中最基礎(chǔ)也是最重要的方法，是學(xué)生的思維訓(xùn)練的重要

內(nèi)容。結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法一一分析法和綜合法，了解間接證

明的一種基本方法一一反證法；了解分析法、綜合法和反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).

依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)

課程標(biāo)準(zhǔn)：（1）了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法與綜合法的思考過(guò)程與

特點(diǎn).

（2）了解間接證明的一種基本方法——反證法：了解反證法的思考過(guò)程與特點(diǎn).

本節(jié)（課）教學(xué)目標(biāo)

?知識(shí)與技能

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法整

思考過(guò)程、特點(diǎn)；

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn),

?過(guò)程與方法

多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

?情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)描述

知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)

具體描述語(yǔ)句

編號(hào)目標(biāo)

1識(shí)記能說(shuō)出綜合法、分析法、反證法的含義。

2理解能準(zhǔn)確理解綜合法、分析法、反證法各自的思考過(guò)程和特點(diǎn)

3理解能準(zhǔn)確理解綜合法和分析法之間的辯證關(guān)系

4運(yùn)用能運(yùn)用綜合法、分析法、反證法對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行分析和解決

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法一一分析法和綜合

法，了解間接證明的一種基本方法一一反證法：了解分析法、綜合法和反證法的

教學(xué)重點(diǎn)

思考過(guò)程、特點(diǎn).

根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn),結(jié)合分析法、綜合法和反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)?/p>

教學(xué)難點(diǎn)

證明方法或使用不同的證明方法解決同一問(wèn)題.

教學(xué)環(huán)境設(shè)計(jì)

根據(jù)本課題的內(nèi)容特征和學(xué)情，只有設(shè)計(jì)生動(dòng)、直觀的情景才能有地激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，喚起學(xué)生原有

認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和表象，從而使學(xué)生利用有關(guān)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)去“同化”或順應(yīng)學(xué)習(xí)到的新

知識(shí)。據(jù)此，在教學(xué)環(huán)境設(shè)計(jì)上要盡可能創(chuàng)設(shè)真實(shí)、完整的教學(xué)環(huán)境。本課在多媒體教室學(xué)習(xí)，制作

PPT課件，利用多媒體進(jìn)行，教學(xué)組織學(xué)生小組討論和辯論以及自主合作探究等進(jìn)行教學(xué)。

①媒體在教學(xué)中的作用分為：A.提供事實(shí)，建立經(jīng)驗(yàn)；B.創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)動(dòng)機(jī)；C.舉例驗(yàn)證，建立

概念；D.提供示范，正確操作；E.呈現(xiàn)過(guò)程，形成表象；F.演繹原理，啟發(fā)思維；G.設(shè)難置疑，引起思辨;

H.展示事例，開(kāi)闊視野；I.欣賞審美，陶冶情操；J.歸納總結(jié)，復(fù)習(xí)鞏固。

②媒體的使用方式包括：A.設(shè)疑一播放一講解；B.設(shè)疑一播放一討論；C.講解一播放一概括；D.講

解一播放一舉例；E.播放一提問(wèn)一講解；F.播放一討論一總結(jié)；G.邊播放、邊講解；H.邊播放、邊議論。

板書(shū)設(shè)計(jì)

關(guān)于教學(xué)策略選擇的闡述

1.情景創(chuàng)設(shè)策略：通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)，激起疑問(wèn)，引發(fā)思考，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和求知欲，

創(chuàng)設(shè)寬松活潑的課堂教學(xué)氣氛。

2.自主學(xué)習(xí)策略：通過(guò)學(xué)生自主閱讀拓展資料，在深入解讀的基礎(chǔ)上，促進(jìn)思維的深層次加工，達(dá)

到能力的遷移內(nèi)化，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

4.實(shí)踐探索策略：通過(guò)具體實(shí)例展示，學(xué)生自主學(xué)習(xí)、討論、探究，并因此獲得發(fā)展。

學(xué)生課前學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

(1)教師編制預(yù)習(xí)提綱，將教案變?yōu)閷?dǎo)學(xué)案。

(2)學(xué)生預(yù)習(xí)，嘗試作練習(xí)題；要求學(xué)生完成知識(shí)梳理和基礎(chǔ)自測(cè)題；限時(shí)完成預(yù)習(xí)案，識(shí)記基礎(chǔ)

知識(shí)。

(3)疑難問(wèn)題匯總；學(xué)生在預(yù)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于自己產(chǎn)生的疑問(wèn)，首先推向的是本學(xué)習(xí)小組。把自己

的疑問(wèn)作為全組同學(xué)共同的課題，學(xué)生通過(guò)合作探究，共同交流，確定種種解決方案。

(4)預(yù)習(xí)檢查指導(dǎo)。

在預(yù)習(xí)中鼓勵(lì)學(xué)生多質(zhì)疑。教師根據(jù)學(xué)生的疑難問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生在課堂中及時(shí)把有價(jià)值的疑問(wèn)拋向課

堂，從而增強(qiáng)課堂探究的有效性和針對(duì)性。

第五、預(yù)習(xí)效果

通過(guò)預(yù)習(xí)，學(xué)生在課堂上“活'’了起來(lái)，打破了學(xué)生學(xué)習(xí)氣氛"死氣沉沉'’的局面。在數(shù)學(xué)課上，學(xué)生通

過(guò)認(rèn)真預(yù)習(xí)由原來(lái)的怕提問(wèn)自己，變成了一個(gè)躍躍欲試者。學(xué)生爭(zhēng)著表現(xiàn)自己、展現(xiàn)自我。

課堂教學(xué)過(guò)程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

教學(xué)

教師的活動(dòng)學(xué)生的活動(dòng)教學(xué)媒體(資源)設(shè)計(jì)意圖、依據(jù)

環(huán)節(jié)

前面我們學(xué)習(xí)了綜合學(xué)生自我檢查預(yù)習(xí)的效果，教材、預(yù)習(xí)案為上課掃除部分知

法、分析法、反證法，對(duì)照預(yù)習(xí)案，揭露知識(shí)的內(nèi)識(shí)障礙，建立新舊知

導(dǎo)入新課你能根據(jù)問(wèn)題的特涵，挖掘知識(shí)的本質(zhì)，溝通識(shí)間聯(lián)系，有利于知

點(diǎn)，結(jié)合分析法、綜合知識(shí)的聯(lián)系。識(shí)系統(tǒng)化；有助于提

法和反證法的思考高聽(tīng)課效果，啟發(fā)學(xué)

過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)生思考，引發(fā)學(xué)習(xí)興

的證明方法或使用不趣。

同的證明方法解決同

一問(wèn)題.

出示學(xué)習(xí)知道本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)，教材、PPT、學(xué)生明確本節(jié)課的

目標(biāo)、重點(diǎn)與難點(diǎn)學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)。

學(xué)習(xí)

目標(biāo)、重點(diǎn)與難點(diǎn)包括學(xué)生對(duì)知識(shí)、技

目標(biāo)、重

能需要達(dá)到目標(biāo)的

點(diǎn)與難點(diǎn)

要求。

1、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)動(dòng)閱讀教材，觀看PPT,積極教材、探究案、PPT通過(guò)形象生動(dòng)的PPT

機(jī)。多媒體播放綜合思考并整理綜合法、框圖、展示，激發(fā)了學(xué)生的

法、框圖、思維特點(diǎn)。思維特點(diǎn)。自主探索和求知欲

望，突出綜合法及其

框圖、思維過(guò)程和特

點(diǎn)這個(gè)教學(xué)重點(diǎn)。

綜合法

2、舉例驗(yàn)證，建立概閱讀教材，積極思考問(wèn)題，教材、探究案、PPT突出綜合法及其框

念。多媒體展示例1,尋找解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，進(jìn)圖、思維過(guò)程和特點(diǎn)

及其解答過(guò)程。行課堂探究，思考例題考查這個(gè)教學(xué)重點(diǎn)，學(xué)會(huì)

哪些知識(shí)點(diǎn)，使用什么樣的用綜合法解決問(wèn)題。

解題方法與技巧，并積極發(fā)

表自己的看法。

3、鞏固訓(xùn)練，請(qǐng)學(xué)生積極思考問(wèn)題，尋找解決問(wèn)教材、探究案、PPT引起學(xué)生對(duì)綜合法

做變式練習(xí)1。題的切入點(diǎn)，進(jìn)行課堂探的注意與思考，

究。反饋信息要注重差

異，使教學(xué)活動(dòng)圍繞

著學(xué)生思維的“最近

發(fā)展區(qū)”來(lái)展開(kāi)。通

過(guò)歸納，概括共同特

征，形成正確概念。

1、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)動(dòng)閱讀教材，觀看PPT,積極教材、探究案、PPT通過(guò)形象生動(dòng)的PPT

機(jī)。多媒體播放分析思考并整理分析法、框圖、展示，激發(fā)了學(xué)生的

法、框圖、思維特點(diǎn)。思維特點(diǎn)。自主探索和求知欲

望，突出分析法及其

框圖、思維過(guò)程和特

點(diǎn)這個(gè)教學(xué)重點(diǎn)。

閱讀教材，積極思考問(wèn)題，

分析法2、舉例驗(yàn)證，建立概尋找解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，進(jìn)突出分析法及其框

念。多媒體展示例2,行課堂探究，思考例題考查教材、探究案、PPT圖、思維過(guò)程和特點(diǎn)

及其解答過(guò)程。哪些知識(shí)點(diǎn)，使用什么樣的這個(gè)教學(xué)重點(diǎn)，學(xué)會(huì)

解題方法與技巧，并積極發(fā)用分析法解決問(wèn)題。

表自己的看法。

3、鞏固訓(xùn)練，請(qǐng)學(xué)生積極思考問(wèn)題，尋找解決問(wèn)引起學(xué)生對(duì)分析法

做變式練習(xí)2o題的切入點(diǎn)，進(jìn)行課堂探教材、探究案、PPT的注意與思考，體會(huì)

究。其思維過(guò)程和特點(diǎn)。

通過(guò)歸納，概括共同

特征，形成正確概

念。

開(kāi)展觀察、類比、猜想、歸

綜合法和歸納對(duì)比：綜合法與納、概括等活動(dòng)，并使之一加深理解（理在用中

分析法的般化、抽象化。引起學(xué)生對(duì)

分析法的思考過(guò)程和教材、探究案方知妙），建立知識(shí)

辯證關(guān)系特點(diǎn)。綜合法與分析法的思考過(guò)的聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)，鞏固新

程和特點(diǎn)的注意與思考。

知識(shí)。

1、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)動(dòng)閱讀教材，觀看PPT,積極通過(guò)形象生動(dòng)的PPT

機(jī)。多媒體播放反證思考并整理反證法、思維特教材、探究案、PPT展示，激發(fā)了學(xué)生的

法、思維特點(diǎn)和反證點(diǎn)和反證法的證明步驟。自主探索和求知欲

法的證明步驟。望，突出反證法及其

思維過(guò)程和特點(diǎn)，反

證法的證明步驟。

2、舉例驗(yàn)證，建立概閱讀教材，積極思考問(wèn)題，突出反證法及其思

念。多媒體展示例3,尋找解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，進(jìn)教材、探究案、PPT維過(guò)程、特點(diǎn)和反證

反證法

及其解答過(guò)程。行課堂探究，思考例題考查法的證明步驟，學(xué)會(huì)

哪些知識(shí)點(diǎn)，使用什么樣的用反證法解決問(wèn)題。

解題方法與技巧，并積極發(fā)

表自己的看法。

引起學(xué)生對(duì)反證法

3、鞏固訓(xùn)練，請(qǐng)學(xué)生積極思考問(wèn)題，尋找解決問(wèn)教材、探究案、PPT的注意與思考，體會(huì)

做變式練習(xí)3。題的切入點(diǎn)，進(jìn)行課堂探其思維過(guò)程、特點(diǎn)和

究。反證法的證明步驟。

按照知識(shí)的發(fā)生發(fā)

展過(guò)程和學(xué)生的認(rèn)

創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)動(dòng)機(jī).

知過(guò)程，把接受式學(xué)

多媒體播放：（1）綜觀看PPT,閱讀教材，積極教材、探究案、PPT

習(xí)和發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)結(jié)

總結(jié)整理合法與分析法的思維思考并整理綜合法、分析

合起來(lái)，形成互補(bǔ)，

智能提升過(guò)程和特點(diǎn)，綜合法法、反證法的思考過(guò)程和特

實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組

與分析法的辯證統(tǒng)一點(diǎn)。

織和再組織。

關(guān)系。（2）反證法及

其證明步驟。

1、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)動(dòng)學(xué)生從實(shí)際背景出發(fā)，通過(guò)設(shè)計(jì)由淺入深，完

機(jī)，PPT展示訓(xùn)練案動(dòng)腦思考，動(dòng)手操作，完成教材、PPT、訓(xùn)練案整，全面，活躍學(xué)生

訓(xùn)練案。思維，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)

現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題、

解決問(wèn)題的能力.及

時(shí)反饋課堂學(xué)習(xí)效

智能提升果。

訓(xùn)練與檢

測(cè)2、學(xué)生完成訓(xùn)練案后

收交。反饋一一調(diào)節(jié)，清

楚經(jīng)過(guò)教學(xué)，學(xué)生將

會(huì)有哪些變化，會(huì)做

哪些以前不會(huì)做的

事情，以使目標(biāo)成為

有效教學(xué)的依據(jù)，同

時(shí)為后繼教學(xué)提供

依據(jù)。

學(xué)生課后學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

為不同層次的學(xué)生所做的調(diào)整：（1）合上書(shū)本思考下節(jié)課老師要講的內(nèi)容大意，哪些內(nèi)容已看懂，

哪些內(nèi)容模糊，哪些內(nèi)容不懂，需要在什么地方再提高。挖掘知識(shí)的本質(zhì)，溝通知識(shí)的聯(lián)系。（2）

讓學(xué)生根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際，放手讓學(xué)生設(shè)計(jì)，編寫(xiě)作業(yè)題，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)提出問(wèn)

題，變被動(dòng)完成作業(yè)為主動(dòng)探索研究，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。盡可能多的體驗(yàn)、嘗試成功，

探索發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的快樂(lè)。通過(guò)自主性作業(yè)，讓每個(gè)學(xué)生的個(gè)性得以張揚(yáng)，較好的發(fā)揮學(xué)生的積極性和

個(gè)性特長(zhǎng)，較好的培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。

形成性檢測(cè)

知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)

檢測(cè)題的內(nèi)容

編號(hào)目標(biāo)

1理解選擇題

2理解選擇題

3運(yùn)用證明題

評(píng)價(jià)量表

形成性評(píng)價(jià)

通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)，激起疑問(wèn)，引發(fā)思考，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和求知欲，教學(xué)目標(biāo)達(dá)

成度高，不同層次的學(xué)生均有收獲；學(xué)生思維積極活躍，有認(rèn)知沖突，有精彩觀念，有不同的問(wèn)題解

決方法等；學(xué)生在課堂上“活”了起來(lái)，打破了學(xué)生學(xué)習(xí)氣氛“死氣沉沉”的局面。在數(shù)學(xué)課上，學(xué)

生通過(guò)認(rèn)真預(yù)習(xí)由原來(lái)的怕提問(wèn)自己，變成了一個(gè)躍躍欲試者。學(xué)生爭(zhēng)著表現(xiàn)自己、展現(xiàn)自我。師生

交流對(duì)話充分，教學(xué)相長(zhǎng)，形成民主和諧、相互尊重、合作探究的教學(xué)氛圍.

在利用多媒體教學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生出現(xiàn)了面對(duì)眾多信息不知如何取舍的問(wèn)題、偏離課堂教學(xué)目標(biāo)

的問(wèn)題、以及時(shí)間的掌控偏差問(wèn)題。對(duì)于以上問(wèn)題，我認(rèn)為運(yùn)用“學(xué)案”教學(xué)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)

更加明確清晰。利用一系列知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自己學(xué)習(xí)，把學(xué)生推到主動(dòng)地位，使學(xué)生主

動(dòng)的積極的去探究知識(shí)，以糾正學(xué)生在學(xué)習(xí)中無(wú)意識(shí)的漫游或者在學(xué)習(xí)過(guò)程的各種偏差行為。但是“學(xué)

案”教學(xué)涉及到諸多方面的問(wèn)題。如教師備課工作量大，需要查閱的資料多，要寫(xiě)出高質(zhì)量的“學(xué)案”

并得以實(shí)施，要求教師有較高的素質(zhì)和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)；在學(xué)生自學(xué)時(shí)間安排、能力訓(xùn)練形式及課堂組織教

學(xué)方面，都需要在實(shí)踐中不斷探索和改進(jìn)。

教學(xué)反思、總結(jié)

本課教學(xué)中必須注意的問(wèn)題有：1、防止出現(xiàn)有些學(xué)生主次顛倒的現(xiàn)象：如對(duì)原理記憶不深，對(duì)視

頻內(nèi)容印象較深。2、由于在課件及網(wǎng)頁(yè)中將原理分散理解、應(yīng)用，有少數(shù)學(xué)生不能對(duì)原理完整理解

和應(yīng)用。3、在重難點(diǎn)的突破上要特別注意選材和對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)。4、利用一系列知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)的問(wèn)題，

引導(dǎo)學(xué)生自己學(xué)習(xí)，把學(xué)生推到主動(dòng)地位，使學(xué)生主動(dòng)的積極的去探究知識(shí)。5、教學(xué)過(guò)程充分發(fā)揮

了學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，對(duì)學(xué)生后繼學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)有積極的作用。

感謝、其他

感謝信息技術(shù)組對(duì)本課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的支持和幫助

七、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

1、評(píng)價(jià)形式：課堂提問(wèn)、口頭報(bào)告、在線小測(cè)、課后深化，論壇交流

2、評(píng)價(jià)內(nèi)容：數(shù)學(xué)思維方法的分析法和綜合法的概念理解，運(yùn)用方法解決推理問(wèn)題和相關(guān)數(shù)

學(xué)問(wèn)題。

八、創(chuàng)新之處

本課時(shí)的設(shè)計(jì)不只是課堂上能夠使用，在課后也能深化，體現(xiàn)教學(xué)中的延續(xù)性，也可以把思維的

訓(xùn)練貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程。

直接證明與間接證明

寧陽(yáng)二中

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

?知識(shí)與技能

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和

綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過(guò)

程、特點(diǎn)。

?過(guò)程與方法

多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

?情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：了解直接證明和間接證明的思考過(guò)程、特點(diǎn)。能用直接法證明一般的數(shù)學(xué)問(wèn)

題

難點(diǎn)：了解直接證明和間接證明的思考過(guò)程、特點(diǎn)。會(huì)用反證法證明一般的數(shù)學(xué)問(wèn)

題

【學(xué)法指導(dǎo)】

①要求學(xué)生完成知識(shí)梳理和基礎(chǔ)自測(cè)題；限時(shí)完成預(yù)習(xí)案，識(shí)記基礎(chǔ)知識(shí)；②課前只獨(dú)

立完成預(yù)習(xí)案，探究案和訓(xùn)練案留在課中完成

預(yù)習(xí)案

一、知識(shí)梳理

1.直接證明

（1）綜合法

①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的,最后

推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論,這種證明方法叫做綜合法.

②框圖表示：IP=Q1If|Q1=Q21-^1Q2=>Q3'||Qn=>Q|（其中P表示已知條件、已有

的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論）.

（2）分析法

①定義：從出發(fā)，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證

明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明

方法叫做分析法.

②框圖表示：IQ叫HP竹2Hp2出1一???一I得到一個(gè)明顯成立的條件.

2.間接證明

反證法：假設(shè)原命題,經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出____,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，

從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.

二、基礎(chǔ)自測(cè)

1.下列表述：①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④

分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法。其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)I）.5個(gè)

2.要證明省+5<2后，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（）

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

3.用反證法證明“如果。>人，那么心〉班”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)該是（)

A.yfa=y/bB.>/a<\[bC.\[a=y[bS^\/a<y[bD.\[a=<yfb

4.在不等邊三角形中，。為最大邊，要想得到NA為鈍角的結(jié)論，三邊風(fēng)瓦c應(yīng)滿

足O

探究案

一、合作探究

題型一：綜合法

從已知條件出發(fā)，以已知定義、公理、定理等為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)

論為止，這種證明方法叫做綜合法.

用綜合法解題的邏輯關(guān)系是：

(PnQ)->(QnQ2)f(Q2=>Qjf…

綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?/p>

例1、設(shè)。，仇c>°,證明幺+生+J^a+o+c。

bca

切入點(diǎn)：根據(jù)題目的特點(diǎn)考慮使用綜合法，可以用均值不等式證明

變式練習(xí)1：

111c

已知a,6,ceR+,a+b+c=l,求證：一+7+—29.

abc

切入點(diǎn):“1”代換

題型二：分析法

從要證明的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和

已知條件或已知事實(shí)吻合為止，這種證明的方法叫做分析法.

用分析法解題的邏輯關(guān)系是：(Qu[)—(8u￡)..…―=P)

分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因

例2、求證：4a-a-1<y/a-2-<a-3（。>3）

切入點(diǎn)：根據(jù)題目的特點(diǎn)不等式的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，由題設(shè)不易“切入”展開(kāi)推理，所以嘗試運(yùn)用分

析法，找所要求證問(wèn)題的等價(jià)命題.

題型三：反證法

假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過(guò)正確推理，引出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原

命題成立，這樣的證明方法叫反證法.

一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從

而證明了原命題成立。

證明步驟：

①反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。

②歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理證明，得出矛盾。

③結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

思維方法：正難則反

例3、已知。＞0,。＞0,且a+Z?＞2,求證匕2,匕q中至少有一個(gè)小于2.

ab

切入點(diǎn)：已知條件較少，結(jié)論反而有三種情況，故聯(lián)想到從結(jié)論的反面入手較為容易，所以考慮

使用反證法.

二、總結(jié)整理

1.關(guān)于綜合法與分析法

分析法的特點(diǎn):從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的

充分條件.

綜合法的特點(diǎn):從“已知"看“可知"，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的

必要條件.

分析法與綜合法是兩種思路截然相反的證明方法，既對(duì)立又統(tǒng)一.用綜合法證題前往往可

用分析法尋找解題思路，即所謂的分析.因此分析法既可用于尋找解題思路，也可以是完整的

證明過(guò)程.在解決較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，往往是兩種方法相互結(jié)合使用.

2.關(guān)于反證法

使用反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，也可以

是與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、、定理、公式、事實(shí)矛盾.

反證法的步驟：（1）反設(shè)；（2）推出矛盾;（3）下結(jié)論.

VII練案

課中訓(xùn)練與檢測(cè)

1.若P=,+，市，Q=Va+3+Va+4(a^0)'WJP'Q的大小關(guān)系是()

A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值范圍

2.用反證法證明命題"a,bGN,ab可被5整除，那么a,b中至少有一個(gè)被5整除”，

那么假設(shè)的內(nèi)容為()

A.a、b都能被5整除B.a、b都不能被5整除

C.a被5整除O.a、b有一個(gè)不能被5整除

3.已知a,b,m都是正數(shù)，并且a求證：”生>@.

b+mb

參考答案

例1.證明：因?yàn)閍,b,c>0

所以白購(gòu)2a

0

同理：也+cN2b

c

y+a>2c

三式相加得^-+b+—+c+—+a>2a+2b+2c

bca

a2b2c2

所以一+—+—>a+b^-c

bca

變式1：證明：(a+b+c)(-+7+-)=(a+b+c))(a+b+c)&(a+b+c)-

abcabc

=1+(b+c)>1+(a+c)-+1+(a+b)-

abc

=3+(2+-)+(-+-)+(-+7)>3+2+2+2=9

bacacb

Ill

所以一+1+一2斗

abc

例2:證明：要證y/a-y/a-1<y/a-2--3(a>3)

只要證a-2v'a(a-l)+a-l<a-2-2j(a—2)(a—3)+a-3

即證va(a-1)>V(a-2)(a-3)+2

即證2a-5>2V(a-2)(a-3)

即證25>24

因?yàn)?5>24顯然成立

所以"x/tT-Ja—1<Ja-2—Ja-3(a23)

變式練習(xí)2：

求證W4-V7<2V5

證明：要證囪+J7<2而

只要證(73+々)2<(2、52

即證10+2、隈1<20

即證卬<5

即證21<25

因?yàn)?1<25顯然成立

所以V3+V7<2A/5

例3：證明：假設(shè)學(xué)，詈都不小于2,

則1A之2,D詈22

因?yàn)閍>0,b>0,所以l+bZ2a,l+aN2b.

所以l+l+a+bZ2(a+b),即2>a+b.

這與已知a+b>2矛盾,故假設(shè)不成立.即1,中

an

中至少有一個(gè)小于2.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)論中若有“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”等字眼，或直接從正面

證明較為困難的問(wèn)題，一般可以考慮使用反證法.

變式練習(xí)3：

在aABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若a、b、c三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列，

求證：B<90°.

證明：假設(shè)B<90。不成立，則BN90。,從而B(niǎo)是4ABC的最大角，

所以b是4ABC的最大邊，即b>a,b>c.

所以相加得：+十>：與2

矛盾，所以BN90。不成立.所以B<90°.

VII練案答案

:1.c2.b

3.證明：方法一

Va>O,b>O,m>O,a<b,

.*.am<bm

ab+am<ab+bm

a(b+m)<b(a+m)

.a+根a

??----->一.

b+mb

方法二

Va,b,m都是正數(shù)

a+ma

要證----->-.

b+mb

只要證b(a+m)>a(b+m)

即證bm>am

即證a<b.

因?yàn)閍<成立

關(guān)于學(xué)情的研究

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，作為學(xué)習(xí)的主人，教師只有全面了解學(xué)生，關(guān)注學(xué)生的需求，才

能在教學(xué)上做到有的放矢，把學(xué)習(xí)的權(quán)利還給學(xué)生，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和創(chuàng)造性。

教學(xué)中，一切都要以學(xué)情為出發(fā)點(diǎn)。一切為了學(xué)生，為學(xué)生設(shè)計(jì)教學(xué)。因此，我們要切實(shí)做

好學(xué)情分析。

1.學(xué)生原有的知識(shí)基礎(chǔ)

在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)能夠應(yīng)用綜合法、分析法和反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題證明數(shù)學(xué)

問(wèn)題，通過(guò)《直接證明與間接證明》前三課時(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)綜合法、分析法和反證法的內(nèi)

涵和特點(diǎn)有了一定了解，也積累了較多的用綜合法、分析法和反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，

但還未形成較完整的認(rèn)識(shí)，如學(xué)生在應(yīng)用綜合法證明問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)因果關(guān)系不清晰、邏

輯表達(dá)混亂的情況；在應(yīng)用分析法證明問(wèn)題時(shí)，采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，

尋求使命題成立的充分條件時(shí)，不清楚何時(shí)結(jié)束。在綜合法、分析法和反證法中，相對(duì)于綜

合法和分析法，學(xué)生對(duì)反證法不太熟悉，如在假設(shè)要證的命題不成立時(shí)常常出錯(cuò)。學(xué)生雖然

對(duì)綜合法、分析法和反證法的內(nèi)涵和特點(diǎn)有一定的了解，但還不能結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí),

歸納出操作流程框圖，在學(xué)習(xí)和生活中，還不能自覺(jué)地、有效地運(yùn)用綜合法、分析法和反證

法進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，養(yǎng)成言之有理、論證有劇的習(xí)慣

2.學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知能力

推理與證明貫穿于高中數(shù)學(xué)的整個(gè)體系，它的系統(tǒng)學(xué)習(xí)是新課標(biāo)教材的一個(gè)亮點(diǎn)，是對(duì)

以前所學(xué)知識(shí)與方法的總結(jié)、歸納，并對(duì)后繼學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)的作用。學(xué)生已學(xué)過(guò)《合情推理

與演繹推理》、《直接證明與間接證明》的前三課時(shí)，已具備一定的抽象思維能力，認(rèn)識(shí)問(wèn)題

和分析問(wèn)題的能力。直接證明與間接證明的證明方法是?？純?nèi)容，考查.的主要方式是對(duì)它

們?cè)淼睦斫夂陀梅?難度多為中檔題，也有高檔題，從考查形式上看，主要以不等式、立

體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列等知識(shí)為載體，考查綜合法、分析法、反證法等方法，

但大部分學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)掌握不好，如學(xué)生積累的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)是零散的、不系統(tǒng)的，基礎(chǔ)知

識(shí)之。間的關(guān)系不是非常清楚，分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)."變形”是解題的關(guān)鍵，

是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形"的常用方法，在學(xué)習(xí)過(guò)程中能

夠獨(dú)立獲取知識(shí)的能力，包括收集、處理信息的能力較差。

3.學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)

大部分學(xué)生認(rèn)為高一時(shí)新課程進(jìn)度快，不能適應(yīng)，對(duì)所學(xué)內(nèi)容不能及時(shí)做到消化理解。

高二年級(jí)學(xué)生認(rèn)為高二課程難度又上了一個(gè)臺(tái)階，也感到不適應(yīng)。部分學(xué)生認(rèn)為，初中學(xué)習(xí)

是在老師的嚴(yán)格監(jiān)督下進(jìn)行的，高中老師不如初中老師監(jiān)督嚴(yán)格；自己比較懶惰，沒(méi)有做到

及時(shí)預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)鞏固。從在家復(fù)習(xí)效率來(lái)看，如果家長(zhǎng)事務(wù)繁忙，無(wú)法進(jìn)行有效監(jiān)控和指導(dǎo)，

會(huì)使一部分學(xué)生在家學(xué)習(xí)效率低下。部分學(xué)生在做完作業(yè)后，沒(méi)有進(jìn)行及時(shí)復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，使

學(xué)習(xí)中的問(wèn)題越積累越多，這也是缺乏毅力造成的。學(xué)生探索學(xué)習(xí)方法的意識(shí)不強(qiáng)。學(xué)習(xí)過(guò)

程中存在著一定的隨意性和盲目性，大部分學(xué)生沒(méi)有探索出適合自身情況的學(xué)習(xí)方法。少部

分學(xué)生有主動(dòng)學(xué)習(xí)的行為，比較喜歡上數(shù)學(xué)課，學(xué)習(xí)熱情也很高，和老師經(jīng)常交流。但仍有

大部分學(xué)生學(xué)習(xí)懶散、學(xué)習(xí)習(xí)慣差，粗心大意、書(shū)寫(xiě)不認(rèn)真，不愿思考問(wèn)題，上課開(kāi)小差，

依賴?yán)蠋熤v解，依賴同學(xué)的幫助，甚至作業(yè)抄襲等等不良現(xiàn)象。學(xué)生差異大，學(xué)生在知識(shí)掌

握程度上已較明顯的分出層次，即所謂優(yōu)生和差生。對(duì)優(yōu)生來(lái)說(shuō)，由于之前學(xué)得好，他們積

極、自信的心理不斷得到強(qiáng)化，學(xué)習(xí)興趣上升為樂(lè)趣，學(xué)習(xí)已成為自覺(jué)的行為，并不斷從中

得到成功的心理體驗(yàn)。另一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)中（尤其是在考試中）屢遭挫折，對(duì)學(xué)習(xí)的灰心、

自卑甚至害怕等心理也在漸漸固化，出現(xiàn)興趣轉(zhuǎn)移，偏科等傾向。對(duì)中下等水平的學(xué)生來(lái)說(shuō)，

學(xué)習(xí)目的模糊，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)不強(qiáng)，處于一種淡漠的被動(dòng)狀態(tài)。初中與高中在教材內(nèi)容、教師教

法、思維要求等方面均存在著差異。九年義務(wù)制初中教材的特點(diǎn)是“淺、少、易”，而高中

教材的特點(diǎn)是“起點(diǎn)高、難度大、容量足”。初中教師比較習(xí)慣于手把手地教學(xué)生，對(duì)作業(yè)、

練習(xí)的檢查、督促抓得較緊，而高中教師則對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、自覺(jué)性有著較高的期望和

要求，這往往會(huì)造成一部分自覺(jué)性不強(qiáng)的學(xué)生缺少壓力，放松對(duì)自己的要求。上述差異的客

觀存在，致使相當(dāng)一部分學(xué)生進(jìn)入高二后仍感到無(wú)法適應(yīng)。每名學(xué)生在來(lái)到學(xué)校學(xué)習(xí)的同時(shí),

也帶來(lái)了各自不同的生活經(jīng)歷和不同觀點(diǎn)、看法，這種已有的經(jīng)歷、經(jīng)驗(yàn)和對(duì)待社會(huì)的觀點(diǎn)，

對(duì)于即將進(jìn)行的課堂學(xué)習(xí)生活將產(chǎn)生影響。

4.不同學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容的難度分析

高二年級(jí)同學(xué)的抽象思維水平已經(jīng)進(jìn)入“理論型”發(fā)展的成熟期,在這個(gè)階段如果教育

和訓(xùn)練得法、適當(dāng)，思維水平還能得到很大的發(fā)展，思維能力將會(huì)進(jìn)一步完善，但有相當(dāng)多的

學(xué)生，由于高中一年級(jí)抽象思維慢慢開(kāi)始從經(jīng)驗(yàn)型占主導(dǎo)向理論型占主導(dǎo)轉(zhuǎn)變,并且將迅速

進(jìn)入理論型發(fā)展的關(guān)鍵期，這樣的轉(zhuǎn)變沒(méi)有實(shí)現(xiàn),數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法與習(xí)慣一直未能與高中數(shù)學(xué)

的學(xué)習(xí)相適應(yīng),成績(jī)一再下滑,最后甚至失去了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，給本人和家長(zhǎng)帶來(lái)了沉重

的精神壓力和痛苦！所學(xué)的知識(shí)對(duì)這部分學(xué)生具有一定的挑戰(zhàn)性，這部分學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)記憶

不全、丟三落四，甚至平時(shí)做過(guò)的題考試中也想不起來(lái)，新舊知識(shí)間的聯(lián)系發(fā)生短路，這部

分學(xué)生由于知識(shí)缺陷較多很難完整的對(duì)綜合法、分析法和反證法的內(nèi)涵和特點(diǎn)有深刻的了解。

也有部分學(xué)生抽象思維已經(jīng)從經(jīng)驗(yàn)型占主導(dǎo)向理論型占主導(dǎo)轉(zhuǎn)變，并且將迅速進(jìn)入理論型，

遇事開(kāi)始有了“個(gè)人的見(jiàn)解”，自主意識(shí)和獨(dú)立解決問(wèn)題的能力顯著增強(qiáng)，形成了良好的數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣與方法，課堂上要使這部分學(xué)生的思維處于非常積極的狀態(tài),主動(dòng)地對(duì)信息進(jìn)行

多方位的搜集、分析、綜合與轉(zhuǎn)換，從這個(gè)過(guò)程中獲得新的猜想、新的思路、新的感悟新的

創(chuàng)造。因而教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，注意考慮不同層次的學(xué)生身心特點(diǎn)，充分尊重每一個(gè)同

學(xué)。

5.課前學(xué)習(xí)準(zhǔn)備

讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)事情就好辦了，課前預(yù)習(xí)既是一種科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，同時(shí)也是一種良好的

學(xué)習(xí)習(xí)慣，預(yù)習(xí)是學(xué)習(xí)新課的第一步，只有預(yù)習(xí)充分，才能提高聽(tīng)課的效率。理解新知識(shí)需

要舊知識(shí)作基礎(chǔ)。預(yù)習(xí)可以使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)舊的知識(shí)結(jié)構(gòu)中的薄弱環(huán)節(jié)，并在上課前迅速補(bǔ)

上這部分知識(shí)，為聽(tīng)課掃清障礙。不經(jīng)過(guò)預(yù)習(xí)的聽(tīng)課，只能是老師講什么就聽(tīng)什么，分不清

難點(diǎn)和重點(diǎn)，失去了聽(tīng)課的目的性和選擇性。而預(yù)習(xí)后再聽(tīng)課，學(xué)生對(duì)于什么地方己學(xué)懂，

什么地方還不會(huì)，已經(jīng)心中有數(shù)。這促使學(xué)生把注意力集中在難于理解的知識(shí)上，從而加強(qiáng)

了聽(tīng)課的目的性。這樣，在預(yù)習(xí)中弄不懂的地方，他們會(huì)聽(tīng)得更專心。這從心理學(xué)的角度來(lái)

講，為上課創(chuàng)造了有利的心理狀態(tài)，打好了注意定向的基礎(chǔ).用教育學(xué)的理論說(shuō)，帶著問(wèn)題

上課，求知欲更強(qiáng)。變被動(dòng)為主動(dòng)。這樣一來(lái)，自然就提高了聽(tīng)課的效率。因此課前讓學(xué)生

回顧前三節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容綜合法、分析法和反證法，了解綜合法、分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，

了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，并要求學(xué)生完成知識(shí)梳理和預(yù)習(xí)案。在預(yù)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生

學(xué)習(xí)的不僅僅是科學(xué)知識(shí)，更是學(xué)生用所學(xué)知識(shí)去獲得新知識(shí)的過(guò)程，這實(shí)際上是學(xué)生在主

動(dòng)進(jìn)行探索的過(guò)程，吃現(xiàn)成包子的人永遠(yuǎn)也學(xué)不會(huì)做包子，不經(jīng)過(guò)自學(xué)實(shí)踐，永遠(yuǎn)也提高不

了自學(xué)能力。預(yù)習(xí)能夠讓學(xué)生明確當(dāng)堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo),有利于學(xué)生有針對(duì)性地檢查學(xué)習(xí)目標(biāo)

是否完成。

6.課后學(xué)習(xí)準(zhǔn)備

豐富了學(xué)生的課外知識(shí)，課外學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生課內(nèi)學(xué)習(xí)的補(bǔ)充和繼續(xù)，它不僅能豐富學(xué)

生的文化科學(xué)知識(shí)，加深和鞏固課內(nèi)學(xué)習(xí)的知識(shí)，而且能滿足和發(fā)展他們的興趣愛(ài)好，培養(yǎng)

他們獨(dú)立學(xué)習(xí)和工作的能力，激發(fā)他們的求知欲望和學(xué)習(xí)的積極性。課外學(xué)習(xí)活動(dòng)的內(nèi)容和

時(shí)間要適當(dāng)，不要影響正常的課堂學(xué)習(xí)，身體鍛煉和社會(huì)活動(dòng)。在課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要盡力

做到學(xué)練結(jié)合，手腦并用，把學(xué)習(xí)和實(shí)踐結(jié)合起來(lái)。通過(guò)完成形成性檢測(cè)，對(duì)直接證明與間

接證明進(jìn)行反思,沒(méi)有反思,學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平,反思很重要,

反思通俗地講就是“回頭看腳印”，就是對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程以及新舊知識(shí)間的聯(lián)系進(jìn)行“反

復(fù)深入的思考”，從中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的真諦，因此，要想學(xué)好數(shù)學(xué)就一定要學(xué)會(huì)反思，一定要養(yǎng)

成反思的習(xí)慣，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的根，本節(jié)課學(xué)生通過(guò)復(fù)習(xí)反思，了解綜合法、分析法的思考

過(guò)程、特點(diǎn)，了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，做到知其然更知其所以然，才能舉一反三，觸類

旁通，才能整理、串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，形成單元的理論系統(tǒng)，知識(shí)點(diǎn)經(jīng)串聯(lián)以后，理論發(fā)展的來(lái)龍去

脈一目了然，才能真正理解綜合法、分析法和反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn)。

評(píng)測(cè)結(jié)果及分析學(xué)習(xí)效果

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

1、評(píng)價(jià)形式：課堂提問(wèn)、口頭報(bào)告、在線小測(cè)、課后深化，論壇交流

2、評(píng)價(jià)內(nèi)容：數(shù)學(xué)思維方法的分析法和綜合法的概念理解，運(yùn)用方法解決推理問(wèn)題和相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)

題。

通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)，激起疑問(wèn)，引發(fā)思考，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和求知欲，

教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度高，不同層次的學(xué)生均有收獲；學(xué)生思維積極活躍，有認(rèn)知沖突，有精彩觀

念，有不同的問(wèn)題解決方法等；學(xué)生在課堂上“活”了起來(lái)，打破了學(xué)生學(xué)習(xí)氣氛“死氣沉

沉”的局面。在數(shù)學(xué)課上，學(xué)生通過(guò)認(rèn)真預(yù)習(xí)由原來(lái)的怕提問(wèn)自己，變成了一個(gè)躍躍欲試者。

學(xué)生爭(zhēng)著表現(xiàn)自己、展現(xiàn)自我。師生交流對(duì)話充分，教學(xué)相長(zhǎng)，形成民主和諧、相互尊重、

合作探究的教學(xué)氛圍.

在利用多媒體教學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生出現(xiàn)了面對(duì)眾多信息不知如何取舍的問(wèn)題、偏離課堂

教學(xué)目標(biāo)的問(wèn)題、以及時(shí)間的掌控偏差問(wèn)題。對(duì)于以上問(wèn)題，我認(rèn)為運(yùn)用“學(xué)案”教學(xué)，

讓學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)更加明確清晰。利用一系列知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自己學(xué)習(xí)，把學(xué)

生推到主動(dòng)地位，使學(xué)生主動(dòng)的積極的去探究知識(shí)，以糾正學(xué)生在學(xué)習(xí)中無(wú)意識(shí)的漫游或者

在學(xué)習(xí)過(guò)程的各種偏差行為。但是“學(xué)案”教學(xué)涉及到諸多方面的問(wèn)題。如教師備課工作量

大，需要查閱的資料多，要寫(xiě)出高質(zhì)量的“學(xué)案”并得以實(shí)施，要求教師有較高的素質(zhì)和教

學(xué)經(jīng)驗(yàn)；在學(xué)生自學(xué)時(shí)間安排、能力訓(xùn)練形式及課堂組織教學(xué)方面，都需要在實(shí)踐中不斷探

索和改進(jìn)。

關(guān)于教材內(nèi)容的研究

一、地位與作用

“推理與證明”是新課標(biāo)新增內(nèi)容選修1-2第二章，選修2-2第二章，主要包括合情推理與

演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法三個(gè)部分（其中數(shù)學(xué)歸納法文科數(shù)學(xué)不作要

求）.“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.本

章內(nèi)容是各知識(shí)模塊中常用推理方法和論證方法的總結(jié)，推理方法與證明方法是從思維活動(dòng)

中抽象出來(lái)的，是由數(shù)學(xué)思維過(guò)程凝縮而成的，是高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)中占有

極其重要的地位和作用.

二、內(nèi)容說(shuō)明

數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過(guò)邏輯推理的方式加以證明才能得到確認(rèn)這

是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的顯著特點(diǎn)直接證明與間接證明是兩類基本的數(shù)學(xué)證明方法.

“推理與證明”是新課標(biāo)新增內(nèi)容（選修2-2第二章,選修1-2第二章），主要包括合情推理

與演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法三個(gè)部分（其中數(shù)學(xué)歸納法文科數(shù)學(xué)不作要

求）.“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.

1.綜合法的思維特征是：由因?qū)Ч?即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)

和公式，推出結(jié)論的一種證明方法.

框圖表示：|P=Qi|f&nQ2|f—TQQQI（其中P表示已知條件、已有的定義、

公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論）.

2.分析法的思維特征是：執(zhí)果索因.即從結(jié)論入手進(jìn)行反推，看看需要知道什么，最后軸一

個(gè)己通錨題定義翹巍公癖或改磔件,從而妻?血明彳藤寅繹推理的證明題都是采用這種

方法進(jìn)行思考的，有時(shí)也將綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用.

框圖表示：IQ「P11-*回函-IP2仁P3I—--1得到一個(gè)明顯成立的條件.

3.反證法是間接證明的一種基本方法，任何一個(gè)問(wèn)題都有正反兩面，當(dāng)直接證明有困難時(shí)，

便可以考慮使用反證法.反證法證題的步驟可歸結(jié)為：反設(shè)一歸謬一結(jié)論.

先講綜合法，后講分析法.綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解

決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思維方式.綜合法是學(xué)生使用較多、較為熟悉的一種方法.

分析法雖然在過(guò)去也經(jīng)常使用，但學(xué)生在理解上顯然不如綜合法那樣容易.要突破分析法這

一教學(xué)難點(diǎn).分析法的主要困難有兩點(diǎn)：一是學(xué)生對(duì)這種證明方法的思考過(guò)程不理解；二是

學(xué)生對(duì)這種證明方法的表達(dá)方式不習(xí)慣.突破難點(diǎn)的方法有兩點(diǎn):一是結(jié)合具體的數(shù)學(xué)實(shí)例，

讓學(xué)生感受分析法證明的可靠性，以及“要證,”，只需證,”，”這種表達(dá)的必要性；二是將分析

法與綜合法對(duì)比著進(jìn)行講解］幫助學(xué)生加深對(duì)分析法思考過(guò)程及特點(diǎn)的理解.

通過(guò)具體的數(shù)學(xué)實(shí)例，幫助學(xué)生形成既分析又綜合的思維方式，學(xué)會(huì)將分析法與綜合法

結(jié)合起來(lái)運(yùn)用.結(jié)合方式有兩種：一是先用分析法探尋證題思路，再用綜合法有條理地表述

證明過(guò)程；二是將分析法與綜合法結(jié)合起來(lái)，證明某些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，幫助學(xué)生了解間接證明的一種基本方法一一反證法，了解反證

法的思考過(guò)特點(diǎn).在必修課的教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)使用反證法證明了一些較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，

對(duì)于反證法學(xué)生并不是完陌生的.本次教學(xué)應(yīng)盡量利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步加深對(duì)反證

法的思考過(guò)程、特點(diǎn)的了解.一是要提煉用反證法證題的基本模式.反證

法證題的步驟可歸結(jié)為：反設(shè)一歸謬一結(jié)論其中，伽反設(shè)是觸發(fā)晤知輔提

推出矛盾（歸謬）是用好反證S傷健.反設(shè)是否正確，與邏輯知識(shí)密切相關(guān)，因此，在反證法教

學(xué)前，宜先復(fù)習(xí)常用邏輯用語(yǔ)中的相關(guān)知識(shí).二是總結(jié)反證法的適用范圍.反證法主要適

用于以下兩種情形：①要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線

索不夠清晰；②如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，

只要研究一種或很少的幾種情形.

三、重點(diǎn)和難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法一一分析法和綜合法，了解

間接證明的一種基本方法——反證法；了解分析法、綜合法和反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).

綜合法、分析法是基本的直接證明方法，反證法是基本的間接證明方法，它們?cè)谧C明數(shù)

學(xué)結(jié)論中起到主導(dǎo)作用.

2.教學(xué)難點(diǎn)：

根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn),結(jié)合分析法、綜合法和反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方

法或使用不同的證明方法解決同一問(wèn)題.了解直接證明和間接證明的思考過(guò)程、特點(diǎn)。會(huì)

用反證法證明一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題。反證法雖然也接觸過(guò)，但應(yīng)用不多，比較生疏.學(xué)生在學(xué)習(xí)

過(guò)程中往往會(huì)兩個(gè)方面出現(xiàn)困難：

一是“否定結(jié)論”部分，把握不清結(jié)論的“反”是什么？二是“導(dǎo)出矛盾”部分,

有時(shí)是與已知條件矛盾，有時(shí)是與假設(shè)矛盾，而有時(shí)又是與某定義、定理、公理或事實(shí)矛盾,

因此學(xué)生弄不明白究竟是與什么矛盾.

四、課時(shí)安排

1.本章理科教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下:

合情推理與演繹推理約4課時(shí)

直接證明與間接證明約4課時(shí)

數(shù)學(xué)歸納法約2課時(shí)

小結(jié)與復(fù)習(xí)約1課時(shí)

2.本章文科教學(xué)時(shí)間約需10課時(shí)，具體分配如下：

合情推理與演繹推理約4課時(shí)

直接證明與間接證明約4課時(shí)

小結(jié)與復(fù)習(xí)、測(cè)試約2課時(shí)

其中直接證明與間接證明部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)分為4課時(shí)，包括新授課3課時(shí)：綜合法

1課時(shí)、分析法1課時(shí)、反證法約1課吐習(xí)題課1課時(shí).

評(píng)測(cè)練習(xí)

課前評(píng)測(cè)練習(xí)

一、知識(shí)梳理

1.直接證明

(1)綜合法

①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)