2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題檢測(cè)11.1隨機(jī)事件古典概型與幾何概型

.1隨機(jī)事務(wù)、古典概型與幾何概型一、選擇題1.(2024屆江蘇百校聯(lián)考,6)一次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)中,某同學(xué)不慎將兩件次品混入三件正品中,它們形態(tài)、大小完全相同,該同學(xué)采納技術(shù)手段進(jìn)行檢測(cè),恰好三次檢測(cè)出兩件次品的概率為()A.15B.14C.25答案D恰好三次檢測(cè)出兩件次品可分為前三次檢測(cè)的均為正品,和前兩次恰有一次檢測(cè)出了一件次品,第三次檢測(cè)出了一件次品兩種狀況.前三次檢測(cè)的均為正品的概率為A33A53,前兩次恰有一次檢測(cè)出了一件次品,第三次檢測(cè)出了一件次品的概率為C21C21C2.(2024屆武漢月考,5)下列命題中正確的是()A.事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)等于事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)B.擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子一次,得到3點(diǎn)的概率是16,說(shuō)明擲6次這枚骰子肯定會(huì)出現(xiàn)一次3C.擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣,事務(wù)A為“一枚正面朝上,一枚反面朝上”,事務(wù)B為“兩枚都是正面朝上”,則P(A)=2P(B)D.對(duì)于兩個(gè)事務(wù)A、B,若P(A∪B)=P(A)+P(B),則事務(wù)A與事務(wù)B互斥答案C頻率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān),總在概率旁邊搖擺,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;概率是指這件事發(fā)生的可能性,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;P(A)=24=12,P(B)=14,所以P(A)=2P(B),故選項(xiàng)C正確;因?yàn)镻(A∪B)=P(A)+P(B),所以P(A∩B)=0,若是在同一試驗(yàn)下,說(shuō)明事務(wù)A與事務(wù)B肯定是互斥事務(wù),但若在不同試驗(yàn)下,事務(wù)A和B不肯定互斥,故選項(xiàng)3.(2024屆河南安陽(yáng)模擬,6)已知圓O:x2+y2=16,直線l:4x+3y-25=0,在圓O上任取一點(diǎn)A,則點(diǎn)A到直線l的距離大于3的概率為()A.23B.13C.16答案A圓心O(0,0)到直線l的距離d=|-25|32+42=5>4,則直線l與圓O相離.如圖,設(shè)l1∥l,且l1交圓O于C,B,過(guò)O作OH⊥l于H,交l1于D,且滿意|DH|=3,則|OD|=2,故∠COB=23π.則點(diǎn)A在優(yōu)弧CB上(不含點(diǎn)B,C)運(yùn)動(dòng)時(shí),滿意點(diǎn)A到直線l的距離大于3,故所求的概率P=2π4.(2024屆廣東省級(jí)聯(lián)測(cè),6)十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)宏大的創(chuàng)建,算籌事實(shí)上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)字1~9的一種方法.例如:3可表示為“”,26可表示為“”,現(xiàn)用6根算籌表示不含0的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),算籌不能剩余,則這個(gè)三位數(shù)能被3整除的概率為()A.14B.16C.512答案A用6根算籌表示不含0的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有123,132,231,213,312,321,127,172,217,271,712,721,163,136,316,361,613,631,167,176,617,671,716,761,其中能被3整除的有123,132,231,213,312,321,故所求概率為624=14.故選5.(2024屆江西月考,5)在區(qū)間[-2,3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)t,使-t2+t+2>0的概率為()A.15B.25C.35答案C由-t2+t+2>0,得t2-t-2<0,解得-1<t<2,所以所求的概率P=2-(-1)3-(-2)=35,故選6.(2024屆河南信陽(yáng)月考,8)已知直線y=x+1與圓O:x2+y2=1交于A,B兩點(diǎn),則在圓O中任取一點(diǎn),該點(diǎn)取自△ABO內(nèi)的概率為()A.12B.14C.12π答案C聯(lián)立y=x+1,x2+y2=1,解得x=0,y=1或x=-1,y=0,則△ABO的面積S=12×1×1=127.(2024屆鄭州模擬,6)一個(gè)陶瓷圓盤(pán)的半徑為10cm,中間有一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正方形花紋,向盤(pán)中投入1000粒米后,發(fā)覺(jué)落在正方形花紋上的米共有51粒,據(jù)此估計(jì)圓周率π的值為(精確到0.001)()A.3.132B.3.137C.3.142D.3.147答案B由幾何概型概率公式可得S正S圓=42π·102≈518.(2024湖南衡陽(yáng)一模)我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)探討成果,《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》等10部專著是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn),這10部專著中5部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期,某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”課外閱讀教材,則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著的概率為()A.79B.29C.49答案A設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期的專著為事務(wù)A,所以P(A)=C52C102=29,因此P(A)=1-P(A)=1-29.(2024河南焦作模擬,6)在區(qū)間(-10,10)內(nèi)任取一數(shù)x,則滿意log2x<2的概率為()A.110B.15C.25答案B∵log2x<2,∴0<x<4,∴在區(qū)間(-10,10)內(nèi)任取一數(shù)x,則滿意log2x<2的概率為4-010-(-10)=15,故選10.(2024屆西南八省名校聯(lián)考,7數(shù)學(xué)成就與古典概型)哥德巴赫猜想作為數(shù)論領(lǐng)域存在時(shí)間最久的未解難題之一,自1742年提出至今,已經(jīng)困擾數(shù)學(xué)界近三個(gè)世紀(jì).哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”,如14=3+11.依據(jù)哥德巴赫猜想,拆分22的全部質(zhì)數(shù)記為集合A,從A中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其差大于8的概率為()A.15B.25C.35答案B因?yàn)?2=3+19=5+17=11+11,所以A={3,5,11,17,19},所以從A中任取兩個(gè)不同的數(shù),基本領(lǐng)件有{3,5},{3,11},{3,17},{3,19},{5,11},{5,17},{5,19},{11,17},{11,19},{17,19},共10個(gè),滿意兩數(shù)之差大于8的基本領(lǐng)件為{3,17},{3,19},{5,17},{5,19},共4個(gè),所以P=410=25.故選11.(2024屆黑龍江大慶模擬,8)如圖,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,小正方形的頂點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”,假如一個(gè)多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則稱該多邊形為“格點(diǎn)多邊形”.1899年奧地利數(shù)學(xué)家匹克(Pick)對(duì)格點(diǎn)多邊形面積的計(jì)算提出匹克定理:設(shè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部含有N個(gè)格點(diǎn),邊界上含有L個(gè)格點(diǎn),則該格點(diǎn)多邊形的面積S=N+L2-1.在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自格點(diǎn)多邊形MNPQR內(nèi)的概率為(A.12B.1120C.35答案DS矩形ABCD=5×4=20,∵格點(diǎn)多邊形MNPQR內(nèi)部含10個(gè)格點(diǎn),邊界上含有5個(gè)格點(diǎn),∴S多邊形MNPQR=10+52-1=232,由幾何概型概率公式得,在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自格點(diǎn)多邊形MNPQR內(nèi)的概率為S多邊形MNPQRS矩形ABCD=12.(2024屆安徽蚌埠質(zhì)檢,8數(shù)學(xué)成就與幾何概型)萊洛三角形是一種特別三角形,指分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心,以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧,由這三段圓弧組成的曲邊三角形.萊洛三角形的特點(diǎn)是:在任何方向上都有相同的寬度,即能在距離等于其圓弧半徑(等于正三角形的邊長(zhǎng))的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動(dòng),并且始終保持與兩直線都接觸.機(jī)械加工業(yè)上利用這特性質(zhì),把鉆頭的橫截面做成萊洛三角形的形態(tài),就能在零件上鉆出正方形的孔來(lái).如圖,在萊洛三角形ABC內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn),則該點(diǎn)位于正三角形ABC內(nèi)的概率為()A.32(π-3)B.332π答案A由題意可得萊洛三角形ABC的面積S=S扇形ABC+2(S扇形ABC-S△ABC)=2π3×3-2×34×22=2π-23,S△ABC=34×22=3,所以由幾何概型概率公式可得,所求概率=S△ABCS二、填空題13.(2024屆河北邢臺(tái)入學(xué)考試,14)小華、小明、小李、小章去A,B,C三個(gè)工廠參與社會(huì)實(shí)踐,要求每個(gè)工廠都有人去,且這四人都在這三個(gè)工廠實(shí)踐,則小華和小李都沒(méi)去B工廠的概率是.

答案7解析由題意可知總的安排狀況有C42A33=6×6=36種,其中滿意條件的狀況有C21C31A14.(2024屆河北邢臺(tái)9月聯(lián)考,16)從3名男生、2名女生中選出2人參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽,則選出的這2人性別不一樣的概率為.

答案3解析記3名男生分別為a,b,c,2名女生分別為x,y,基本領(lǐng)件共10個(gè),分別為(a,b),(a,c),(a,x),(a,y),(b,c),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(x,y),選出的2人性別不同的基本領(lǐng)件共6個(gè),分別為(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),故選出的這2人性別不一樣的概率為610=315.(2024陜西寶雞一模,14)一只螞蟻在最小邊長(zhǎng)大于4,且面積為24的三角形內(nèi)自由爬行,某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的隨意一個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過(guò)2的概率為.

答案π解析在三角形內(nèi),螞蟻到三角形的隨意一個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過(guò)2的點(diǎn)形成的區(qū)域如陰影部分所示(含邊界),因?yàn)槿齻€(gè)陰影部分對(duì)應(yīng)的圓心角的和為π,故陰影部分的面積為12×π×4=2π,故所求的概率為2π24=16.(2024屆廣東茂名五校聯(lián)考,16)田忌賽馬的故事出自司馬遷的《史記》.齊王,田忌分別有上、中、下等馬各一匹.賽馬規(guī)則:一場(chǎng)競(jìng)賽須要競(jìng)賽三局,每匹馬都要參賽,且只能參賽一局.最終以獲勝局?jǐn)?shù)多者為勝.記齊王、田忌的馬匹分別為A1,A2,A3和B1,B2,B3.每局競(jìng)賽之間都是相互獨(dú)立的,而且不會(huì)出現(xiàn)平局.用PAiBj(i,j∈{1,2,3})表示馬匹Ai與Bj競(jìng)賽時(shí)齊王獲勝的概率,若PA1B1=0.8,PA1B2=0.9,PA1B3=0.95,PA2B1=0.1,PA2B2=0.6,P答案6;0.819解析全部的競(jìng)賽方案有6種,即(A1B1,A2B2,A3B3),(A1B1,A2B3,A3B2),(A1B2,A2B1,A3B3),(A1B2,A2B3,A3B1),(A1B3,A2B2,A3B1),(A1B3,A2B1,A3B2),其中采納方案(A1B3,A2B1,A3B2),田忌獲勝的概率最大,記田忌三局全勝和恰勝兩局的概率分別為P1,P2,P1=0.05×0.9×0.9=0.0405,P2=0.05×0.9×0.1×2+0.95×0.9×0.9=0.7785,所以所求概率為P1+P2=0.819.17.(2024屆寧夏頂級(jí)名校月考,16)袋子中有四個(gè)小球,分別寫(xiě)有“和、平、世、界”四個(gè)字,有放回地從中任取一個(gè)小球,直到“和”“平”兩個(gè)字都被取到就停止,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用0,1,2,3代表“和、平、世、界”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示取球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下24個(gè)隨機(jī)數(shù)組:232321230023123021132220011203331100231130133231031320122103233221020132由此可以估計(jì),恰好第三次就停止的概率為.

答案1解析由題意可知,滿意條件的隨機(jī)數(shù)組中,前兩次抽取的數(shù)中必需包含0或1,且0與1不能同時(shí)出現(xiàn),第三次必需出現(xiàn)前面兩次數(shù)字中沒(méi)有出現(xiàn)的1或0,可得符合條件的數(shù)組只有3組:021,130,031,故所求概率P=324=1三、解答題18.(2024屆河南尖子生二診,18)一個(gè)不透亮的布袋中有編號(hào)為2,3的兩個(gè)紅球,編號(hào)為2,3,4的三個(gè)黑球,這五個(gè)球的質(zhì)地和大小完全相同,現(xiàn)從中隨意取出兩個(gè)球.(1)求取出的兩個(gè)球顏色不同的概率;(2)求取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不為6的概率.解析從五個(gè)球中任取兩個(gè)球的基本領(lǐng)件有:紅2紅3,黑2黑3,黑3黑4,黑2黑4,紅2黑2,紅2黑3,紅2黑4,紅3黑2,紅3黑3,紅3黑4,共10個(gè).(1)記“取出的兩個(gè)球顏色不同”為事務(wù)A,結(jié)果有:紅2黑2,紅2黑3,紅2黑4,紅3黑2,紅3黑3,紅3黑4,共6種,∴P(A)=610=3(2)記“取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和為6”為事務(wù)B,結(jié)果有:黑2黑4,紅2黑4,紅3黑3,∴P(B)=310記“取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不為6”為事務(wù)C,則事務(wù)B與事務(wù)C互為對(duì)立事務(wù),∴P(C)=1-P(B)=1-310=719.(2024屆清華高校中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)實(shí)力測(cè)試(11月),17)近年來(lái),人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變,運(yùn)用移動(dòng)支付購(gòu)買(mǎi)商品已成為部分人的消費(fèi)習(xí)慣.某企業(yè)為了解該企業(yè)員工A,B兩種支付方式的運(yùn)用狀況,隨機(jī)抽取了600名男員工、400名女員工,統(tǒng)計(jì)了他們的消費(fèi)習(xí)慣,獲得數(shù)據(jù)如下表:男員工女員工常常運(yùn)用間或運(yùn)用從不運(yùn)用常常運(yùn)用間或運(yùn)用從不運(yùn)用方式A200名300名100名300名100名0方式B350名150名100名150名150名100名(1)分別估算該企業(yè)男、女員工從不運(yùn)用方式B的概率;(2)從該企業(yè)全體男員工中隨機(jī)抽取2人,全體女員工中隨機(jī)抽取1人,估算這3人中恰有2人常常運(yùn)用方式A的概率.解析(1)該企業(yè)男員工從不運(yùn)用方式B的概率為100600=1該企業(yè)女員工從不運(yùn)用方式B的概率為100400=1(2)該企業(yè)男員工常常運(yùn)用方式A的概率為200600=1該企業(yè)女員工常常運(yùn)用方式A的概率為300