2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三角形與四邊形綜合 模擬試題匯編（含答案）

2022年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)：三角形與四邊形綜合模擬試題精選匯編

1.(2021?石家莊一模)如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形*38中，點(diǎn)”為對(duì)角線(xiàn)3。上任

意一點(diǎn)(可與其。重合)，連接，"，將線(xiàn)段繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線(xiàn)段

AN,連接朋V,DN,設(shè)BM=x.

(1)求證：4ABMQXADN-,

(2)當(dāng)x=\歷時(shí)，求"/V的長(zhǎng)；

(3)嘉淇同學(xué)在完成(1)后有個(gè)想法：與也會(huì)存在全等的情況”，

請(qǐng)判斷嘉淇的想法是否正確，若正確，請(qǐng)直接寫(xiě)出△48”與全等時(shí)x的值；若

不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2021?新華區(qū)模擬)如圖，在中，/力。3=90°,AC=3,BC=4.動(dòng)

點(diǎn)。從點(diǎn)/出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AC-CB-BA方向繞行一周，

動(dòng)直線(xiàn)/從力C開(kāi)始，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，分別交48、BC千D、E

兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)力時(shí)，直線(xiàn)/也停止運(yùn)動(dòng).

(1)求點(diǎn)尸到的最大距離；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在/。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

①求tan/a?E的值；

②把△ODE繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在即上時(shí)，皿的對(duì)應(yīng)線(xiàn)

段ED恰好與垂直，求此時(shí)f的值.

(3)當(dāng)點(diǎn)尸關(guān)于直線(xiàn)。后的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為"時(shí)，四邊形也的能否成為菱形？若能，直接

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寫(xiě)出￡的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2021?裕華區(qū)模擬)如圖，在矩形/笈8中，AB=8,BC=\2,點(diǎn)H在48上，

AE=5,尸是4D上一點(diǎn)，將矩形沿/石折疊，點(diǎn)”落在點(diǎn)4處.連接力G與咫相交

(2)若點(diǎn)4在NA4C的平分線(xiàn)上，求尸。的長(zhǎng)；

(3)求點(diǎn)4,。距離的最小值，并求此時(shí)tanN/總的值;

(4)若點(diǎn)4在△月4。的內(nèi)部，直接寫(xiě)出x的取值范圍.

4.(2021?新華區(qū)模擬)已知：如圖，。488中，E為。。的中點(diǎn)，連接/E并延長(zhǎng)交

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸，連接力。、DF.

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(1)求證：AD=CF-,

(2)嘉琪說(shuō)：“添加一個(gè)條件，能使四邊形力是矩形“，你是否同意嘉琪的觀點(diǎn)?

如果同意，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，并給出證明；如果不同意，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2021?邯鄲模擬)如圖1,圖2中，正方形的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)沿

邊BC-CD以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，以期為邊作等邊三角形BPQ,

使點(diǎn)。在正方形月B8內(nèi)或邊上，當(dāng)點(diǎn)。恰好運(yùn)動(dòng)到40邊上時(shí)，點(diǎn)尸停止運(yùn)動(dòng).設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒(f>0).

(1)當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)。到BC的距離=;

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求。。的最小值及此時(shí)f的值；

(3)若點(diǎn)。在力。邊上時(shí)，如圖2,求出f的值；

(4)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)的長(zhǎng).

6.(2021?蚌埠模擬)在中，^BAC=90°,。是3C的中點(diǎn)，E是40的中

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)力作/歹//3。交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)足

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(1)證明四邊形力。。尸是菱形；

(2)若/。=4,43=5,求菱形力。。戶(hù)的面積.

7.(2020?黃埔區(qū)模擬)如圖，正方形488,點(diǎn)E,尸分別在力。，8上，且DE=

CF,力尸與BE相交于點(diǎn)G.

(1)求證：BE=AF;

(2)若40=4,DE=\,求/戶(hù)的長(zhǎng).

8.（2021?新泰市模擬）在Rta/BC中，N/CB=90°,AC=BC,ZCAB=ZCBA

=45°,。為B。上一點(diǎn)，連接力。，過(guò)點(diǎn)。作CE14D于點(diǎn)E.

(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)B作用11BC交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)"，求證：XACD^XCBF：

(2)如圖2,若。為6。的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交月B于點(diǎn)“，連接。跖求證：/

BDM=ZADC-,

(3)在(2)的條件下，若/反=4,CE=2,直接寫(xiě)出C"的長(zhǎng).

9.(2021?昆山市模擬)如圖，在△月3。中，AB=CB,AABC=9G°,。為月B延長(zhǎng)

線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，旦BE=BD,連接/E,DE,DC.

(1)求證：△ABE^XCBD、

(2)若NC4E=30°,求的度數(shù).

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A

10.（2021?蓬安縣模擬）如圖，在△/BC和△08中，//=/。=90°,AC=BD,

力。與3。相交于點(diǎn)O.

（1）求證：4AB8XDCB，,

（2）△O3C是何種三角形？證明你的結(jié)論.

11.（2021?南海區(qū)模擬）如圖，在△/B。中，/3=力。，點(diǎn)。是5。的中點(diǎn)，點(diǎn)E在

AD±.求證：跳MCE（要求：不用三角形全等的方法）

12.（2021?碑林區(qū)校級(jí)四模）如圖所示，點(diǎn)后在△月3。外部，點(diǎn)。在6。邊上，DE交

ZC于尸，若Nl=N2=/3,AD=AB,求證：AC=AE.

13.（2021?興平市一模）如圖，在△力3C中，ZC=90°,力。平分/C4B,交。3于

點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。E14B于點(diǎn)E.

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(1)求證：AC=AE\

(2)若/。=3,43=5,求的長(zhǎng).

14.(2021?競(jìng)秀區(qū)一模)如圖，平行四邊形中，AB=9,AD=13,tam4=背,

5

點(diǎn)尸在射線(xiàn)力。上運(yùn)動(dòng)，連接陽(yáng)，沿/汨將△月咫折疊，得△APB.

(1)如圖1,點(diǎn)尸在線(xiàn)段力。上，當(dāng)N。/%'=20°時(shí)，2APB=度；

(2)如圖2,當(dāng)必」5。時(shí)，求線(xiàn)段%的長(zhǎng)度；

(3)當(dāng)點(diǎn)/'落在平行四邊形的邊所在的直線(xiàn)上時(shí)，求線(xiàn)段E4的長(zhǎng)度；

(4)直接寫(xiě)出：在點(diǎn)尸沿射線(xiàn)力。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值是多少？

圖1圖2

15.(2021?皇姑區(qū)二模)如圖，矩形/BCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)。，且DEIIAC,

CEIIBD.

(1)求證：四邊形。。即是菱形；

(2)若NA4C=30°,AC=4,求菱形0c班的面積.

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參考答案

1.（1）證明：在正方形ASC。中，AB=AD,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AM=AN,

；NBAD=/MAN=90°,

ZBAM=ZDAN,

在和

，AB=AD

"ZBAM=ZDAN,

AH=AD

：.4ABM9/\ADN<SAS）.

解：（2）是正方形/BCD的對(duì)角線(xiàn)，且/B=6,

??.BD=6V2?/月叱=45°,

ND=BD-BM=65/2-&=572,

由△力7VD得：ND=BM=V2,^ADN=AABM=45°,

ZMDN=ZADB+Zy17VL>=450+45°=90°,

在Rt^MCW中，MN=VMD2+ND2=7（5V2）2+（V2）2=V52=2'/13-

（3）正確；x=3V2.

理由如下：

如圖：當(dāng)/ML3。，易得△力3〃和a/izw是全等的等腰直角三角形，

ANDA=AAJ3M=45°,AN=AM,

I,正方形中，/_ADB=/_ABD=\^,

:.Z.NDM=90",

ZNAM=ZAMD=ZZNDM=90°,

四邊形AMDN為矩形,

又，：AN=AM,

.?.矩形力朋LW為正方形，

:ANMD^XDAN<SAS）,

」.△TVMZ注（全等傳遞性），

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此時(shí)/lAf=-^-BD=-1-X6V^=3&.

當(dāng)△月BAf與△MV。全等時(shí)x=3瓜

2.解：(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)P到4S的距離最大,

設(shè)Rt△月B。斜邊45上的高h(yuǎn),

???//。3=90°,AC=3,BC=4,

^=VAC2+BC2=V32+42=5，

???△/反?的面積=%良;2=方力。衣。，

.,AC-BC3X412

..n=------=-----=—,

AB55

即點(diǎn)尸到的最大距離是1昔9；

b

(2)①當(dāng)點(diǎn)尸在/。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為fs,則有4P=3。CE=t,

?.,直線(xiàn)////。，

ZPDE=ZAPD,

如圖1,過(guò)點(diǎn)。作OG1/C于點(diǎn)G,則四邊形CH0G是矩形,

DG=CE=t,PG=AP-AG=3t-AG,

DGBC

tanA==

AG-AC

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._L_1

一AG-3，

?*.AG=^ty

4

3g

44

...tan/APD=^-=^~而，

鏟

EPtanZPDE=^-;

y

（2）---EDLAB,

：.ABED+AB=90°,

???/Z+NB=90°,

：.￡BED=/.A,

?直線(xiàn)///月G

.,?直線(xiàn)UBG

：.ACEP^-APED=9Q°,乙PED+乙BED=9B°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得：LPED=^PED,

：.ZCEP=/_BED,

ZCEP=N/,

又,：￡ECP=LACB,

:ACEP^XCAB,

,CEPC

"AC=BC?

Q

解得：

XO

(3)四邊形電的能成為菱形，理由如下：

.??點(diǎn)尸是點(diǎn)尸關(guān)于直線(xiàn)。名的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

垂直平分PF,

???當(dāng)依也垂直平分時(shí)，四邊形PEFD為菱形.

?.?直線(xiàn)////C,

XDBEsXABC,

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甌

=

DE一正

Ac

DE

4-1

3

4

：

2所示

如圖

接本

時(shí)，連

。上

在月

點(diǎn)尸

①當(dāng)

,

-3f

=3

點(diǎn)?！?/p>

,則有

分DE

直平

尸垂

若。

3

-3f,

）=3

（4T

.?噂

o

4

：t等

解得

形;

成四邊

，構(gòu)不

x軸上

都在

三點(diǎn)

、E

P、F

時(shí)，

6。上

點(diǎn)尸在

②當(dāng)

時(shí)，

A4上

點(diǎn)尸在

③當(dāng)

：

3所示

如圖

跳；

連接

側(cè)，

/的右

直線(xiàn)

。在

若點(diǎn)

3

3

-7）,

4（3t

-t）=

v（4

得：

①可

類(lèi)比

b

o

；

：嚙

解得

；

邊形

凸四

不成

點(diǎn)構(gòu)

。四

、F、

P、E

側(cè)，

/的左

直線(xiàn)

尸在

若點(diǎn)

形.

為菱

EFD

形P

四邊

時(shí)，

或黑

f為言

，當(dāng)

所述

綜上

頁(yè)

共25

0頁(yè)

第1

?.?四邊形是矩形，

??."=90°,

-：AJ3=8,BC=12,

?■?^c，=VAB2+BC2=V82+122=4Vi3-

故答案為：4Ji

(2)如圖1中，,??44'平分NA4C,

：./_EAA'=/_FAA',

由翻折可知，AA,工EF,

：./_EAA'+￡AEF=9(r,/.AFE+Z.FAA'=90°,

￡AEF=￡AFE,

：.AE=AF=5,

：.CF=AC-AF=45/13-5.

(3)如圖2中，連接。區(qū)DA'.

第11頁(yè)共25頁(yè)

圖2

在RtAADE中，/EAD=9G°,AE=5,AD=BC=V2,

?'?^=VAE2+AD2=V52+122=13，

-：EA=EA'=5,

：.DA'>DE-EA'=8,

■.DA'的最小值為8,

此時(shí)E,A',。共線(xiàn)，設(shè)R4=E4'=x,則有(12-力2=弟+82,

解得x=￥，

tanZAPE==IO_=春.

Ar-z-N

(4)如圖3-1中，當(dāng)點(diǎn)4落在/C上時(shí),

圖3-1

?.?/4￡74/屈4。=90',N/CB+N及4c=90°,

：.￡AEP=￡ACB,

tanZAEP=tanZACB,

PA=AB

-AE

B8C

P5A-

=

12

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??"當(dāng)

如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)4落在3。上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PHLBC于H,貝I］勿=40=8,PA

圖3-2

在RtZ\6￡>r中，BE=3,EA'=胡=5,

-?BA，=7A7E2-BE2=V52-32=4，

-：/_B=/_EA'P=/_PHA'=90°,

：./_BA'E+/.PA'7/=90°,/_PA'H+/_A'9=90°,

E=NA'PH,

:ABA'ES/\HPA，,

.BE_BAy

,,NH~PH'

,3_4

"A7H、'

.-.A'H=6,

：.AP=BH=BA'+A'H=10.

觀察圖像可知當(dāng)羋<xvl。時(shí)，點(diǎn)4在△48。的內(nèi)部.

4.證明：（1）,四邊形ZB8是平行四邊形，

：.ADIIBC,AD=BC.

ZDAE=ZCFE,/_ADE=/_FCE,

???E為。。的中點(diǎn)，

ED=EC.

：AADE^/\FCE〈AAS）,

：.AD=CF.

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（2）答：同意.

當(dāng)。。=/歹時(shí)，四邊形力。功>是矩形.

理由如下:

■：AD\\CF,AD=CF,

，四邊形/。/刃是平行四邊形.

■：DC=AF,

四邊形/。陽(yáng)是矩形.

5.解：（1）如圖1,由運(yùn)動(dòng)知，BQ=2t=4,

過(guò)點(diǎn)。作QHLBC于H,

?.?△6PQ是等邊三角形,

；.BP=BQ=4,±PBQ=6G°,

在Rt△班歸中，PH=BP>sin￡P(guān)BQ=4X號(hào)=2弧,

故答案為2M;

解：（2）點(diǎn)尸在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有/變。=60°,

根據(jù)垂線(xiàn)段最短，當(dāng)CQL3Q時(shí)，CQ最小.

如圖，在直角三角形BC0中，NQBC=6G：

23。。=30°

???^<2=yBC=3

:.BP=BQ=3,

-'-t=2

CQ=B（2*tanZQBC=35/^;

(3)若點(diǎn)。在月。邊上，則C尸=2￡-6,

?：BA=BC,BQ=BP,ZA=ZC=90°,

???RtZ\A4Q^RtZ\BCP(HL)

\AQ=CP=2t—6,

:.DQ=DP=\2-2t,

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?：BP=PQ,

在Rt2\PD0和RtZ\BC尸中，由勾股定理可得，D(f+DI^=Q戶(hù),BC?+C9=B/

：.2(12-2。2=62+(2f-6)2

解得：11=9+3百(不合題意，舍去)，t2=9-3V3

.-.t=9-3V3;

AQ'D

(4)如圖,

B

當(dāng)點(diǎn)。在6C上從點(diǎn)6運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q,

?.?△加。是等邊三角形，

：.BQ=BC,￡QBC=60°

當(dāng)點(diǎn)尸在8上從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到如圖所示的點(diǎn)尸時(shí)，點(diǎn)。從如圖所示的點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到Q,

??.△3PQ是等邊三角形，

：.BP=BQ,/PBQ=60°=ZQBC,

：.ZPBC=ZQBQ,

?：BQ=BC,

:ABQQ9XBCP,

:.QQ=CP,

???點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)長(zhǎng)等于點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)長(zhǎng)，

由⑶知，U9-3百，

..?點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)長(zhǎng)等于2(9-3加)=18-673

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AD

1/\|

B圖1C

6.(1)證明：如圖，-：AFIIBC,

ZAFE=ZDBE,

??,E是4D的中點(diǎn)，40是8。邊上的中線(xiàn),

/.AE=DE,BD=CD,

在△4FE和△OBE中，

，ZAFE=ZDBE

,ZFEA=ZBED,

AE=DE

：./\AFE^/\DBE(AAS);

：.AF=DB.

■：DB=DC,

：.AF=CD,

???四邊形是平行四邊形，

?.?/期。=90°,。是的中點(diǎn)，

：.AD=DC=^BC,

四邊形40。戶(hù)是菱形；

(2)解：連接。月

■：AFHBC,AF=BD,

四邊形/囪卬是平行四邊形，

：.DF=AB=5,

??,四邊形尸是菱形，

：.S=^-AODF=\G.

2

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：.ABAE=/_ADF=90Q,AB=AD=CD,

,:DE=CF,

??.AE=DF,

在△A4E和9中，

'AB=AD

<ZBAE=ZADF,

AE=DF

：.j\BAE^/\ADF(SAS),

；,BE=AF?,

(2)解：???4B=4,四邊形4s8是正方形，

.\AD=4,

???DE=1,

.\AE=3,

BE=^AB2+AE2=742+32=5?

4BAE^4ADF,

：.BE=AF=5.

8.(1)證明：.?.4914C,CELAD,

：.ZAEC=ZCBF=ZACB=90°,

:.NCAIXNACE=NBCRNACE=9G°,

ZCAD=ZBCF,

又?.?/C=3C,

.'.^ACD^^CBF(ASA);

(2)證明：過(guò)點(diǎn)B作成'18。交CH的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,如圖2所示:

由(1)得：XACD^XCBF,

：./_ADC=AF,CD=BF,

YD為BC的中點(diǎn)，

第17頁(yè)共25頁(yè)

CD=BD,

:.BD=BF,

AACB=90°,AC=BC,

.\^ABC=45°,

??"CB斤=90°,

：〃FBM=90°-45°=45°,

/.ZDBM=ZFBM,

又

：.l\BDM^/\BFM（SAS）,

??.ZBDM=ZF,

?,.ZBDM=ZADC;

（3）解：連接。區(qū)如圖3所示：

-：CE\_AD,AE=4,CE=2,

22=

BC=AC=7AECEV42+22=2收，

由（2）得：BD=BF,CD=BD=^BC=yf5,/\BDM9/\BFM,

22=

：,DM=FM,^=7AC-K：D7（2V5）2+（V5）2=5>

:.DE=AD-AE八

,:NDBF=9G°,

是等腰直角三角形，

DF=\^10>

22=

^=VDF-DEV（V10）2-l2=3，

設(shè)DM=FM=x,貝I」EM=3-x,

在中，由勾股定理得：12+（3-x）2=/，

R

解得：x=—,

54

???石河=3一』=W，

33

410

??.CM=CE+EM=2+W='

33

第18頁(yè)共25頁(yè)

c

JD

9.(1)證明:

???/4SC=90°,

ZZ?BC=90°,

在和△C3Z5中

'AB=CB

<ZABE=ZCBD

BE=BD

:.XABE^XCBD(SAS);

(2)解：

■：AB=CB,N/3C=90°,

Z5G4=45°,

：.AAEB=/_CAE+/_BCA=300+45°=75°,

,:XABE^XCBD,

:.乙BDC=LAEB=N5°.

10.證明：(1)在△/BC和△08中，//=/。=90°

AC=BD,BC為公共邊，

；.Rt△月BgRtZXOCB(HL);

(2)△O3C是等腰三角形,

第19頁(yè)共25頁(yè)

???RtZ\40C9Rt△。困

???2ACB=2DBC,

/.OB=OCy

「.△OB。是等腰三角形.

11.證明：.?.48=4。，點(diǎn)。是3。的中點(diǎn),

：.ADA_BC,BD=CD,

BE=CE,

12.解；如圖所示:

?：ABAC=+ADAC,

/.DAE=/.2+Z.DAC,

：.Z.BAC=/_DAE,

又?.22+//收+/E=180°,

Z3+ZPFC+ZC=180°,

Z2=Z3,ZAFE=