組合數(shù)學(xué)答案

2.1求序列｛0,1,8,27,……｝的母函數(shù)。

23

解G(x)=+a1x+a2x+a3xH—

G(x)=0+x+8x-+27%3+■—Fx"+…

左右同乘再連加：

母函數(shù)：

2.2已知序列｛(；),("……,(看),……｝,求母函數(shù)。

解：的第k項(xiàng)為：(害T),對(duì)于本題，n=4,

???母函數(shù)為：

2.3已知母函數(shù)G(X)=，求序列｛%｝

解：G(X)==

右君

從U而有：[<A+B=3=><[A=7

6A-98=78[5=-4

G(X)二

G(X)=7(1+9x+92%2+93%3+---)-

4(1+(-6)x+(-6)2x2+(-6)3/+???)

%=7*9'、-4*(-6)"

2.4.已知母函數(shù)，求對(duì)應(yīng)的序列｛%｝。

解：母函數(shù)為

解得：A=2B=1

Q1800

所以G(x)=&+F=2*Z(-7x)i+Z(8x)i

1十/X1—OXi=oi=o

2.5設(shè)G“=%，其中凡是第n個(gè)Fibonacci數(shù)。證明：

G“-3G,I+G,-2=0,F2,3,4-0求｛Go,GG，…｝的

母函數(shù)。

解：設(shè)”(X)=Go+G/+G2x2+G3/+…，貝！J

①-②+③，得：

又已知3=鳥“，則G0=F0=Q,G=K=1

Xx

所以,H(x)=

1—3x+x2

-x)

22

設(shè)H(x)=則可列出方程組:

A+B=l

,3-亞3+V5，解得

--------A+---------5=0

I22

那么，

2.6求序列{1,0,2,0,3,4,0,……}

解：vG(x)=l+0*x+2*x2+0*%3+3*%4+0*X3+0*X5+4*%6+

=l+2x2+3x4+4%6+...

x2G(x)=x1+2x4+3%6+...

(l-x2)*G(X)=1+x2+x4+x6+...

-2

/.(Ix)*G(X)=萬一＞,2乃兀

VjEVSjESVjSVVjeVSjES

.?.G(x)二

2.7G=1+2x?+3x“++....+(〃+1)r"+....求(1—x2)G,(1—f)~Go

品更角.G=1+2d+3d+4%6+.…+(〃+l)x~"+....(1)

x^G=?+2/+3/+4-…+(〃+1)工2〃+~+…(2)

(1)-(2)得：G-X2G=1+x2+x4++....+(n)%2/,+....

2.8求下列序列的母函數(shù):

(1)1,0,1,0,1,0…一

(2)0,-1,0,-1,0,-1…….

(3)1,-1,1,-1,1,-1……

1

題解：(1)帶入母函數(shù)公式得：G(x)=1++?.??+X^n4~....=----

1-X

(2)帶入母函數(shù)公式得：

G(x)=-(x,+x3+x5+....+x2""1+....)=個(gè)

(3)有(1)和(2)相加得到：

n

2.9設(shè)G=l+3x+6Y+10x3+...+C(n+2,2)x+.........

證明：(1)(l_x)G=1+2x+3x2+4%3+....+(n+1)x"+....

(2)(l-x2)G=l+x+x2+%3+....+無”+...

(3)(l-x)3G=l

證：G=1+3x+6%2+10%3+....+C(n+2,2)x"+....

xG=x+3x2+6x3+....

x2G=x2+3%3+.....

(l_x)G=1+2x+3x2+4%3+....+(n+1)x"+....

(1-%2)G=1+x+%2+%3+....+x"+.........

(l-x)3G=(l-x)(1-x)(1-x)G逐步相乘，依據(jù)以上兩式可得

(i-x)3G=l

2.10H=l+4x+10x2+20/

證明：(a)(1-幻〃=6=巨2y

（b）求H的表達(dá)式。

證明：（a）”=1+4了+10/+20/+…+『3x"+….........①

①-②，得

由組合的性質(zhì)，所以Q）~[3J=Q）

那么，（17）"=6=寸：+2[“，得證。

〃=01，）

(b)設(shè)例x）=E=1+2x+3x~+4/+???+(〃+l)x"+…，B又寸hv

的序列為肉也也…，2，…｝。

依據(jù)（a）,得G=1+3X+6_T+10獷+…+Q3Jx+…，

設(shè)G對(duì)應(yīng)的序列為｛g°，g”g2…,g”,…｝,則，依據(jù)母函數(shù)

性質(zhì)有，6a）="=萬、，那么，依據(jù)（a）,。

L-x（1一%）

2.11.a“=(〃+l)2,G=Za“x"=l+4x+--(〃+l)2x"+-?，證明(1一3X+3X?—X3)G

77=0

是一個(gè)多項(xiàng)式，并求母函數(shù)G。

解：由題知：a0-a*]=(n+l)2-r)2=2n+l(1)

a

n-i-an.2=2(n-l)+l=2n-l(2)

⑴-⑵得：an-2an..+an_2=2⑶

an-l-2an-2+an-3=2(4)

⑶-⑷a”-3an_1+3aA25_3=0(5)

(5)式即為an的遞推關(guān)系。

所以序列｛a.｝的特征多項(xiàng)式為：

又母函數(shù)可表示為

因此(l-3x+3x2_x3)G(x)=P(x),P(x)是最高項(xiàng)次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式，即

證。

其中a。=l,a1=4也=9

解方程組：解得：A=0,B=-l,C=2

2_______1___x+1

所以G(x)(l-x)3-(l-x)2=(l-x)3

n+11?ra

2』2已知汴=[5+1)~,求序列應(yīng)｝的母函數(shù)。

解:

2.13已知/3號(hào)亨=￡(“+g"求序歹U｛%｝的母函數(shù)。

hi(1—X)〃=0

解:

G(x)=

2.14已知｛〃“｝的母函數(shù)為，

(1)求Po，Pl:

x+2x~+5x^…

1-2x-x2jx

x—2%2—/

2x2+x3

lx2-4x3-2x4

5x3+2x“

解:

5X3-10X4-5X5

⑵求序列｛p.｝的遞推關(guān)系。

X

（l-2x-x2）G（x）=x

G（x）-2XG（X）-X2G（X）=x

（G（x）-x）-2xG（x）-x2G（x）=0

解：（G（x）—勾元一劭）一2xG（x）--G（尤）=0

/：Q“_2%_Q,.2=0

白：/1-2限-?！币?二°

x2:%一2《一。o=0

因而：遞推關(guān)系為：an-2an_1-an_2=0

2.15已知｛&｝的母函數(shù)為，求序列｛&｝的遞推關(guān)系，并求防機(jī)

解：

—

C1二19。2二1

則其特征多項(xiàng)式為：C（x）=x2-x+l

及其對(duì)應(yīng)的遞推關(guān)系為：a「ae+a"一2=0

2.16用數(shù)學(xué)歸納法證明序列

的母函數(shù)為（1-%產(chǎn)

,1、Al4.nA

解：當(dāng)m=l時(shí)，，，的母函數(shù)就等于

V7V7U，

假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)成立，即

（八fk+l｝（k+2｝.

-卜

Gk（x）=+x+p+...+「,.??=（—[I

\kJ\kJVkJ

（1）

當(dāng)m=k+l時(shí)

fky*+n（k+2｝,（k+n\..

G+G）=[j+Q卜+1J…

(2)

因?yàn)?+廣+1]+...+『]=『+]],所以⑵里的，，為(2)

對(duì)應(yīng)的序列，令為(1)對(duì)應(yīng)的序列。

所以由性質(zhì)3得

所以命題得證

2.17：已知G=1+2X+3X?+...+(n+1)xn+...

證明⑴G?=(l-X)Y=1=(+,)d

(2)G2=X°°=X、其中aW=(+)(+—

),

(3)an=C(n+3,3),ne{0.1.2.3....}

解：設(shè)T=X+X2+X3+X'"\.-x/(1-x)

V=1+2X+3X2+...+(n+1)xn+...=1/(1-X>=G

所以G?=(1-X)t,

又因?yàn)镚2=(1+2X+3X2+..+(n+l)xn+....)(1+2X+3X2+....

+(n+1)xn+...)=G1XG2

所以在G2中xn的系數(shù)由(n+1)部分組成：

假如G1中取的因子為xk那么G2中只能去Xn-k,只有這樣G1

XG2后才能得出xn,

所以K從0取到n,一共有(n+1)部分組成，當(dāng)K取0時(shí)G1

因子的系數(shù)為(K+l),G2因子的系數(shù)為(n-k+1),乘后的系

數(shù)為(K+l)X(n-k+1)o所以G2=￡(oanXn,a1一=o(k+D

(n+1—k)

所以（2）得證。

現(xiàn)在證（3）,用數(shù)學(xué)歸納法:

1)a。=￡&=o(k+1)(0+1—k)=C(0+3,3)=1

=

2)假設(shè)an=C(n+3,3)成AL,BPan^_Q(k+1)(n+1—k)=

C(n+3,3)

3)證明an+kC(n+l+3,3)成立,

an+i=2氏j(k+1)(n+1+1—k)

=[1*(n+1+1-0)+2*(n+1+1-1)+3*(n+1+1-2)+

4*(n+1+1-3)...(n+1+1)*⑴]

=[1*(n+2)+2*(n+1)+3*(n)...+(n+2)*1]

=[1*(n+1)+1+2*(n)+2+3*(n-l)+3...

(n+1)(l)+(n+l)+(n+2)*l]

=[l*(n+l)+2*(n)+3*(nT)….

(n+1)(1)]+[1+2+3+....(n+1)+(n+2)]

=Eko(k+l)(n+l-k)+[1+2+3+……

(n+1)+(n+2)]

-o+(l+n+2)*(n+2)

+------2-------

=C(n+3,3)+C(n+3,2)

=C(n+4,3)

所以（3）得證。

因?yàn)閍n=C（n+3,3）,nW{0.1.2.3……）,又依據(jù)（2）。

所以（1）得證。

2.18用母函數(shù)法求下列遞推關(guān)系的一般解

①a“-6a“T+8a“_2=0

②解：設(shè)G(x)=a()+a1X+a2x2+a3x3+…

23

@-6xG(x)=-6a0x-6alx-6a2x--

?8x2G(x)=8a0x2+8a|X3+…

?相加得

?G(x)=a()+(a[6a(,)x/l-6x+8x2

?設(shè)p(x)=ao+(a16a0)x,由于p(x)/r(x)是有理分式，多項(xiàng)式

p(x)的次方低于r(x)的次方,則p(x)/r(x)可化為部分式來

表示,且表示式是唯一的.

?則G(x)=p(x)/l-6x+8x2=(A/l-2x)+(B/l-4x)

⑨

=A(l+2x+(2x)2+(2x)3+…)+B(l+4x+(4x)2+(4x)3+-)

則一般通解為

nn

a“=A*2+B*4

②.a?+14a?.l+49an-2=0

23

解：設(shè)G(x)=a0+alx+a2x+a3x+***

14xG(x)=14a()x+a|X2+a2x3+…

49x2G(x)=49a()x2+49a2x'+…

相加得(同上題)G(x)=p(x)/l+14x+49x2=(A/l-7x)

+(B/(l-7x)2)

G(x)=A(l+7x+(7x)2+…)+B(l+2(7x)+3(7x)2+…)

則一般通解為：a,=A*7"+B*n*7"

③a?-9a?-2=0

解：設(shè)G(x)=ao+a]X+a2x2+a3x3+…

223

-9xG(x)=-9a0x-9a,x---

同上題，相加得

2=2

G(x)=(a0+a1x)/(l-9x)P(x)/l-9x=(A/l-3x)+(B/(l+3x))

G(x)=A(l+3x+(3x)2+(3x)3H---)+B(l+(-3x)+(-3x)2+---)

則一般通解為：a“=A*3"+B*(-3)"

④a「6a”「7a._2=0

23,*,

解：設(shè)G(x)=a0+alx+a2x+a3x+

2

-6xG(x)=-6a0x-6a.X-6a2

22

-7xG(x)=-7aax-7a.^+'''

同上題,相加得

2

G(x)=(a0+a1x-6a0x)/(l-6x-7x)^/(l-7x)+B/(1+x)

=A(l+7x+(7x)2+???)+B(1+x+x2+,,,)

則一般通解為：a“=A*7"+B*l"

⑤a“-12a“J36a.2=0

23,,,

解：設(shè)G(x)=a0+alx+a2x+a3x+

2

-12xG(x)=-12a0x-12alx-12a2+…

36x2G(x)=36a()x2+36a]X3+…

同上題,相加得

22

G(x)=(a0+alx-12a()x)/(l-12x+36x)-A/(l-6x)+B/(l-6x)

G(x)=A(l+6x+(6x)2+???)+B(1+2(6x)+3(6x)2+?,,)

則一般通解為：a,=A*6"+B*n*6"

⑥a?-25a?-2=0

解：設(shè)G(x)=a0+a[X+a2x2+a3x3+…

223

-25xG(x)=-25a0x-25alx—

同上題,相加得

22

G(x)=(a0+a1x)/(l-25x)=p(x)/l-25x=(A/l-5x)+(B/(l+5x

))

G(x)=A(l+5x+(5x)2+(5x)3+,,,)+B(l+(-5x)+(-5x)2+.,-)

則一般通解為：a“=A*5"+B*(-5)"

2?20已知a“-2a-a,-2=0,

(1)求一般解：

(2)求滿意%=0,%=1的特解。

(3)求滿意4=%=2的特解。

解：(1)特征方程：X2-2X-1=0,根

2土叼=咨也=]土后,貝|j

22

通解：A(1+0)+B(1-V2)

0110

11-V201+V20_

114

1+V21-721+V21-V2

特解:當(dāng)(1+①一半(1一物=1

44

(3),

特解：(1+&)-(1-夜)=2夜

2.21已知/=c?5"+小(-4)”,C和d為常數(shù)，neN,求為=5嗎=-2時(shí)

c和d及序列的遞推關(guān)系。

答案：

將劭=5,卬=-2代入。“中得

c+d=5和5c—4d=-2=>c=2,d=3=a“=2-5”+3.(一4)”

因?yàn)開5。〃_]=一27?(-4)凡T-5Q〃_2=_27?(-4)

所以a“-5%+4(-5a?_2)=0

nn

2.22已知an=c?3+d?(-l),neN,c,d是常數(shù)，求｛aj滿意的遞

推關(guān)系。

解：等式為an=Ax：+Bx；形式

3和T為特征根

特征方程為X2-2X-3=O

2.23an=(勺+)(一3)",匕和的是常數(shù)，〃WN,求也｝滿意的遞推

關(guān)系

2.24設(shè)/-2a+a,-2=5,a(=l,q=2,求解這個(gè)遞推關(guān)系。

解：首先解得%=8

%一2%+限=5(1)

。,1-2%+/-3=5(2)

(1)-(2)

-

?,13a?_1+3az,_2-a?_3=0

建立特征方程為：

解這個(gè)方程得：X,=1X,=-1x3=1/3

設(shè)a?=A(l)n+B(-D-+C(l/3)n

tz0=A+B+C

?,=A-B+(1/3)C

電=A+B+(1/9)C

解得A=2B=7C=-9

a?=2(l)"+7(-l)"-9(1/3)n

2.25設(shè)｛aj序列的母函數(shù)為：

(4-3x)/(l-x)(l+x-x3),

但bo=ao,bi=a-ao........bn=an-an-i,求序列｛bj的母函數(shù).

解：設(shè)｛bj的母函數(shù)為B(x),

n

所以B(x)=bo+bix+...+bnx

又因?yàn)橐阎猙o=E,bi=a「ao....bn=a「anT,,代入B(x),可

得：

n

B(x)=a()+(a-a0)x+....3-&門)x

n

B(x)=a0+aix+...anx-x(a<)+aix+...)

又因?yàn)椋鸻n｝序列的母函數(shù)為(4-3x)/(l-x)d+X-/),代入

B(x),得，

B(x)=(4-3x)/(1+x-x2)

2.26設(shè)6=.o+ax+04+。3%2+…且a=L

a,=4a-+q〃“-2+…?+服4試證1+xG?=G

解：要證1+XG)=G

即證G—1=XG2

4=1

++

G—1=ax+a2xa3x---

+___________________________________________

G—l=a)xG+afG+a2xG-'.

提出G即得：G—1=XG2

l+xG=G

2.27求下列遞推關(guān)系的一般解：

n

(1)an-4an-i=5

解：

=

a”-4an-i5"①

=1

a展「4an-25"②

:

①一②得an-9an-i+20an-2

特征方程q-9q+20=0

qi=4,q2=5

nn

an=A4+B5

n

(2)an+6an-i=5,3

解：

n

fan+6an-i=5?3①

111

an-i+6an-2-5,3

3an-1+18a『2=5?3"②

—=

①-②得an+3an-i18an-20

特征方程q2+3q-18=0

qi=-6,q2=3

nn

an=A(-6)+B3

n

(3)an-4an-i=4

解：

-an-4an-i=4n①

&n-l-4an-2=4n1

=n

4an-i—16an-24②

—=

①-②得an8an-i+16au-20

特征方程q2-8q+16=0

q】=q2=4

an=(A+Bn)4"

n

(4)an+6an-i=4(-6)

解：

n

<an+6an-i=4(-6)①

111

an-i+6an-2=4(-6)

n

-6an-i-36an-2=4(-6)②

①-②得an+12an-i+36a展2=0

特征方程q2+12q+36=0

QI=Q2=-6

n

an=(A+Bn)(-6)

nn

(5)an-4an-i=2,5-3?4

解：

nn

/an-4an-^2?5-3?4①

n

an-1-4a展2=2-53-4.

11-1

5anH-20an-2=2?5'-15-41②

n1

①一②得an-9an.1+20an-2=3-4

1

fan-9an-,+20an-2=3?4"③

n2

an--9an-2+20an-3=3-4^

nl

4an--36n-2+80an-3=3?4~④

③-④得an-13an-i+56an-2-80an-3=0

特征方程q!-13q2+56q-80=0

qi=q2=4,q3=5

nn

an=(A+Bn)(4)+C5

nn

(6)an-4an-1=7?4-6-5

解：

n

{a,、-4an-i=7,4-6?5"①

ae-4a『2=7?4n-1-6?5nH

nn1

4an-i-16an-2=7?4-24?5②

_+1

①一②得an8an-i16an-2=-6?5"

+

fan-8an-i16an-2=-6?5"”③

-

an-i-8an-2+16an-3-6?5"'

n1

5an-i-40an-2+80an-3=-6?5④

③一④得a,-13an-i+56an-2-80an-3=0

特征方程q-13q2+56q-80=0

q尸q2=4,q3=5

nn

an=(A+Bn)(4)+C5

n2

(7)an+6an-i=(-6)(2n+3n)

解：

對(duì)應(yīng)齊次的特征方程為：

q+6=0

11

齊次通解為：an=A(-6)

通所求解為：an=A(-6)"+(-6)[ko+kin+k2空]

2n

(8)an-4an-i=(n-n)4

解：

對(duì)應(yīng)齊次的特征方程為:

q-4=0

n

齊次通解為：an=A(4)

2

通所求解為：an=A(-6)"+(4)[ko+kin+k2n]

(9)Q-n-an-l=4n3-6n2+4n-l

解：

對(duì)應(yīng)齊次的特征方程為：

q-l=0

n

齊次通解為：an=A(l)

23

通所求解為：an=A(l)"+[ko+kin'+k2n+k3n]

nn

(10)an-7an-i+12an-2=5?2-4?3

解：

nn

fan-7a自+12an-2=5-2-4?3①

nHn1

ax-7ali-2+12a13=5-2-4?3

n

2an-1-14an-2+24an-3=5-2-8?3日②

-3-

①一②得an-9an-i+26an-2-24an-4,3"'

1

-2-24a-3=~

van-9an-i+26ann4?3"(3)

_2

-4=-

an-i9an-2+26a根-24an4?3"

-+1

3an-i27an-278an-3-72an-4=-4?3"(4)

——=

⑤)-④)彳導(dǎo)an12anj+53a.n-2102an3+72an-40

特征方程q-12q3+53q2-102q+72=0

QI=Q2=3,q3=4,q《=2

nn

an=(A+Bn)(3)+C4+D2

nn

(11)an+2an-1-8an-2=3(-4)—14?(3)

解:

、an+2an-i-8an-2=3(-4)"-14?(3)"①

nl

an-]+2an-2-8ar3=3(—4)段—14?(3)

n

-4an-1-8an-2+32an-3=3(-4)+56?⑶―②

n1

①一②得an+6an--32an-3=-98-3

_n1

?an+6an-i32an-3--98,3③

-=_n2

an-i+6an-232an-498,3

+_=_n1

3an-i18an-296an-498,3④

③-④得an+3a『iT8an-2-32an-s+96an-i=0

特征方程q1+3q-l8q2-32q+96=0

Qi=q2=-4,q.3=3,q.i=2

nnn

an=(A+Bn)(-4)+C3+D2

n

(12)an-6an-i+9an-2=3

解：

n

fan-6an-)+9an-2=3①

1

a.n-1-6an-2+9a『23=3"

=n

3an-i—18an-z+27an-33②

①-②得a「9an-「27a展2-27an-3=0

特征方程q3-9q2+27q-27=0

Qi=q2=Q3-3

2n

an=(A+Bn+Cn)3

=nn

(13)an-7an-i+16an-2-12an-32+3

解：

.an—7an-i+16an-2-12an-3=2'+3"①

an--7a聯(lián)2+16an-3-12a.=2e+3自

n

2an--14a毋32an-3-24an-4=2+2?3—②

_

①-②得an-9an-i+30an-244an-s+24a孑3"'

—=n1

yan-9an-i+30an-244an-3+24an-43③

—=

an-i9a.n-2't-30an-3144an-4+24an-s3

-+1

3an-i27an-290an-3-132an-4+72an-5-3"(4)

-

③-④得an-12an-i+57an-2134an-3+156a*-72a*=0

特征方程q-12q4+57q3-134q2+156q-72=0

q尸q2=q：3=2,q尸q5=3

2nn

an=(A+Bn+Cn)2+(D+En)3

nnn

(14)an-2an-i=2+3+4

解：

van-2an-i=2"+3"+4"①

n-1n-1n-1

a*-2an-2=2+3+4

nnlnH

2%-4an-2=2+2-3+2-4②

①一②得a-4a『2=3叫2-4,w

nHn-1

/an-4an.,+4an-2=3+2-4③

—-=n2n2

an-i4an-2**4an-33+2,4

n-1

3an--12an-2+12an-3=3+6?4：④

-—=n2

③i④得an7an-i+16an-212an-32,4

var7an-i+16a52-12an-3=2,4'12⑤

an-「7an-2+16an-3-12an-4=2?4"3

_+-2

4an-i28an-264an-348an-4=2,4"⑥

=

⑤—⑥得a：1lan-i+44an-2—76an-3+48an-40

特征方程dTlq3+44q2-76q+48=0

Qi=q2=2,q3=3,q4=4

nnn

an=(A+Bn+)2+C3+D4

2.28解：

%=DT心,兩邊取對(duì)數(shù)，log?=31og廠+101og”設(shè)log?=>,上式等于

qn-3qn-l-10廣=o,特征方程為q2一3q—10=0,(q-5)(q+2)=0,-=5,

%=-2,通解的形式為：log?=A*5〃+B*(-2)]y=22+匹2)"

2.29—求這個(gè)遞推關(guān)系的解

解：已知：an=an_xan_2

所以有：log2a?=log2(%a,”2)

10a

設(shè):yn=§2n

即：％=y,i+y,”2(1)

等式(1)的特征方程為：

q。一q-1=0(2)

貝IJ：

則(1)的通解為:Aq：+Bq；

若給定初始條件：。。嗎(4,%均為常數(shù))

A+8=log2a（）

則:1+V51-5/5

—A+-^—B=k）g24

人_（5-6log,4+2石log24

10

解得：—--―r

（5+V5）loga一2J5loga

D=2（）2}

10

所以：

又因?yàn)椋篨,=lo§2an

所以：％=a,Ian_2的解：

23

2.30an=an_ian_2,4=l,q=2,解這個(gè)遞推關(guān)系。

解：已知：an=an_；anJ

所以有：log2an=log2（a.T2a,二）

設(shè):=log2an

即：y“=2y,i+3yL2（1）

等式（1）的特征方程為：

才_(tái)2<?-3=0（2）

貝lj:5=3q2=-1

則（1）的通解為:A媒+3%"

因?yàn)椋?=1,6=2所以有：%=0,乂=1

則：解得:

所以：

a

又因?yàn)椋簓n=log2n

所以：/=a“_2的解:

2.31

解：

2.32解下列遞推關(guān)系：

==

-i,

(a)3,nnana。=1,an

解：

n：an=nan-i

n(n-l)：an-i=(n-l)an-2

n(n-1)(n-2)：an-2=(n-2)an-3

：-4

n(nT)(n-2)(n-3)an-3=(n-3)an

n(nT)(n-2)(n-3)…3：a2=2al

把等式左右兩端相加化簡得：

an=n(n-l)(n-2)(n-3)???3?2?ai

an=n!ai

an=n!

=

(b)&-an-iJ_>a。=7

2n

解：

-an-i__L①

2n

Hn-l-an-2=(j_)n

2

n

J_an-i-_Lan-2=(J_)②

22

①—②得31n_Hn-1+_Lan-2=0

22

特征方程q"2q+_L=0

22

qi二1,q2=_L

2

Q-n=A+B(J_)"

2

a0=7,&二.

2

J7=A+BfA=8

LJ5=A+AB=-I

22

n

an=8-(J_)

2

(C)Hn—anT=J_

3n

解：

尸)-an-l=J_①

3"

n-1

,an-an-i=(_L)

]3

J_anl—J_an-2=(_L)(§)

(333

①-②得an-±a「i+_Lan-2-0

33

特征方程q2Tq+_L=0

33

Qi=l,q2=_L

3

an=A+B(J_)"

3

2.33凡RR是Fibonacci序列，求解為-a“_產(chǎn)FeFe

_

解：FNSFN-\=(FN+I+FN)(FN+「FN)=FLIF\-\

CL?—〃o=令G)=l/°=1

則On=Fil

令2

G(X)=Fo+RX+F2X

I-2N+2

則z4(l+彳)

2.34an=an-i+C(n+2,3),ao=O,求an.

解：由已知遞推關(guān)系，可得：

n+2

an-an-i=(3)(1)

n+1

an--an-2=(3)(2)

-

Si2~3I=(\)(nl)

a「&尸(33)(n)

將1,2,3.oooon以上n個(gè)式子累加，可得：

n+23

an-a0=(3)+(7)+……..+(S)+(3),

由于(％)+(7)+……..+(43)+(33)=(叱T)+(%)

+……..+(\)+Co)=("3)

有因?yàn)閍()=0,代入可得，

an=("%).

2.35

解：

有(1-x)G(x)=xn

當(dāng)G(x)乘4次(1-x)

有(1-x)5G(x)=xn

(1-x)5G(x)=1/(1-x)

G(x)=l/(1-x)§

有六重根，因此設(shè)置形式為

帶入即可解出的表達(dá)式。

2.36利用迭代法解：

⑴%=3%_|+3°-l,a0=0

(2)%-4%T=4”,%=0

解：⑴

若%-=3"-&+2*3"T-3-1,貝lj

(2)an=4a“t+4"

若%t=4"Ta0+(〃-l)*4f則

2.37利用置換a0=b：,解：

2

an=(27^7+37a77),ao=l,ai=4

解：把a(bǔ)”=b：代入等式，即

特征方程為：X2-2X-3=(X-3XX+1)

特征根為X]=3x2=-1

帶入初值：

得

2.38理由置換%=〃仍”,解：an=2nall_l+7n!,a0=1

答案：

把a(bǔ)n=代入a?=2〃a,i+7〃!中得：bn=2bz+7=%=2b?_2+7

得：bn-3bn_l+2bll_2=0

設(shè)b,二q"代入b?-3bz+2*=0得到特征多項(xiàng)式/-3x+2=0

n

解方程的玉=1,X2=2Nbn=A-\+B-T

所以％=〃!(AT+52)

2.39利用置換4=%",解:，4=5

解：利用置換4=%代入上式可得％媼+,=如+'即

/〃nnn-\nnn

b”=b“_i+1，即可得bn-b“_\=1

Y

特征方程：-2(i+l=0解得，q=l

通解為：A-2n+B-n-2n

依據(jù)%=5,可得q=l,&=1，即伉=1，，代入通解可得

由此可得，，，所以

,即

n

2.41.設(shè)a“滿意:aJ,+b1a?_1+b2a?,2=5r其中和r都是常

數(shù)，

試證該序列可滿意三階齊次線性常系數(shù)遞推關(guān)系，且有特征

多項(xiàng)式

2

(x-r)(x+b,x+b2)

證明：a,+b|a,“+b2a,-2=5r"①

n1

afl-l+bla?_2+b2an_3=5r-②

②兩邊乘以r得

ra^+rb^,,^+rb2a“_35r③

①一③得

a“+(b?—r)a,一+(b2—rb)a?-2-rb2a?_3=0④

由④可知.該序列可滿意三階齊次線性常系數(shù)遞推關(guān)系.

32

它的特征多項(xiàng)式為x+(b,-r)x+(b2-rb,)x-rb2因式分解為

2

(x-r)(x+b,x+b2)證畢.

2.42：設(shè)｛an｝滿意an-an-i-an-2=0,｛bn｝滿bn-2bn--bn-2=0,cn=an+bn,

n=0.1.2.3o證｛cj滿意一個(gè)四階線性常系數(shù)齊次遞推關(guān)系。

，=

解：因?yàn)閍.n—an-i+an-2bn2bn-i+bn-2,

所以Cn=an-i+an-2**-2bn-i+bn-2

-2Cn-]+Cn-23-n-l

—

所以an-l—2Cn-l+CI1-2cn,

—_—

又因?yàn)閍n-l=an—an-2=2Cn+Cn-l—Cn+1(2cn-2'*Cn-3Cn-1)

所LACn-2Cn-l+Cn-2-3-n-l

Cn—2Cn-l+Cn-2—[2Cn+Cn-l—Cn+1—(2Cn-2"^~Cn-3Cn-1)]

所以3c「3Cn-2-C『3-Cn+1=0,滿意一個(gè)四階線性常系數(shù)齊次遞

推關(guān)系。

2.43習(xí)題2.42中，若q,試探討之

解：｛4｝滿意4--??_2=0

.｝滿意--2Z??_,-bn_2=0

所以4=an-\+an-2，b“=2bz+bn-2

C“=anbn=(%+4-2)(2%+*)=2aMb“_i++4-也一2+2aA2%(1)

又因?yàn)椋?/p>

所以c.+|=2c.+%+5%+an_2bn_i+2an_xbn_2

有c,+cn+l=2c?+8c,I+cn_2+3a7%+3%*(2)

那么an_xbn+anbn_t=(an_2+an_l)bn_l+a?-1(2Z??_1+bn_2)

得仇+a*,--a4b“_i-an_,bn_2=3q-

又因?yàn)?2)知道c,+i+c“+2=2c.+i+8%+%+3a",+3a/.T(3)

(3)—(2)=2cn+1+6c?-7cl-cn_2+3(?！癬也.+anb?_x-*如-凡一也-2)

所以最終得到c?+2-2cn+l-7c“-2c?_,+c?_2=0;

所以推出｛，“｝滿意四階線性常系數(shù)齊次遞推關(guān)系。

2.44設(shè)｛an｝和｛bn｝均滿意遞推關(guān)系Xn+diXn-1+d2Xn-2=0,試證

(1)｛ah｝滿意一個(gè)三階奇次線性常系數(shù)遞推關(guān)系；

(2)a。，a2,a,”…滿意一個(gè)二階線性常系數(shù)奇次遞推關(guān)系。

解(1)

所以｛ah｝滿意一個(gè)三階其次線性常系數(shù)遞推關(guān)系。

2.45設(shè)玲,耳,瑪…是Fibonacci序列，試找出常數(shù)a,b,c,d,使

&=西E+閨+2+b居+1居+2工+3+*+2居+3居M+陽+3U

解：但n分別為0,1,2,3時(shí)，有

6=0,6=鳥=1,鳥=2,工=3,居=5,入=8,8=13,&=21,舄=34代入上面四

個(gè)式子，得a=-17,b=21,c=13,d=-4.

2.45設(shè)突不工…是Fibonacci序列,試找出常數(shù)凡"c”，使：