新疆喀什2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE21-新疆喀什2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，仔細(xì)核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.答題時(shí)運(yùn)用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清晰.3.請(qǐng)依據(jù)題號(hào)在各題的答題區(qū)城（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、選擇題：每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則滿意的非空集合B的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.6 C.7 D.82.下列有關(guān)命題的說法中錯(cuò)誤的是（）A.若p∧q為假命題，則p，q均為假命題B.命題“若x2-3x+2=0，則x=1“的逆否命題為：“若x≠1則x2-3x+2≠0”C.若命題p：?x∈R，使得x2+x+1<0，則￢p：?x∈R均有x2+x+1≥0D.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件3.已知函數(shù)的最小正周期為，將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱4.已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么的值是（）A. B. C. D.5.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，點(diǎn)在拋物線上，則過點(diǎn)和的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是（）A. B. C.， D.，6.如圖，已知正四面體（全部棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），，，分別為，，上的點(diǎn)，，，分別記二面角，，的平面角為，，，則（）A.<< B.<< C.<< D.<<7.設(shè)f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f'（x）＞0，且?x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），則下列各項(xiàng)中不肯定正確的是（）A.f（2）＜f（e）＜f（π）B.f′（π）＜f′（e）＜f′（2）C.f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）D.f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）8.定義在上的圖象不間斷的奇函數(shù)，滿意以下條件：①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；②，則當(dāng)時(shí)，的解集為（）A. B. C. D.9.設(shè)，集合是奇數(shù)集，集合是偶數(shù)集，若命題，則（）A. B.C. D.10.已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.11.命題：“若，則”的逆命題為，則下列推斷正確的是（）A.是真命題 B.是真命題C.逆否命題是真命題 D.，都是假命題12.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)隨意的實(shí)數(shù)都有，，則不等式的解集是（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知的最小值為0，則正實(shí)數(shù)的值為__．14.函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則________________15.已知函數(shù)的圖象C1向左平移個(gè)單位得到圖象C2，則C2在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間是________．16.已知拋物線：，點(diǎn)在上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知在中，，．（1）求的大?。唬?）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長(zhǎng)度．①；②周長(zhǎng)；③面積為.18.已知正項(xiàng)數(shù)列滿意，且對(duì)隨意正整數(shù)n，是和的等差中項(xiàng)，證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式．19.求函數(shù)的最小值．20.已知拋物線和，假如直線同時(shí)是和的切線，則稱是和的公切線，則取什么值時(shí)，和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范圍.22.某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型馬路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，安排修建一條連接兩條馬路的山區(qū)邊界的直線型馬路，記兩條相互垂直的馬路為，山區(qū)邊界曲線為C，安排修建的馬路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到的距離分別為20千米和2.5千米，以所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）模型.（1）求a，b的值；（2）設(shè)馬路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.①請(qǐng)寫出馬路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；②當(dāng)t為何值時(shí)，馬路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度.喀什其次中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，仔細(xì)核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.答題時(shí)運(yùn)用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清晰.3.請(qǐng)依據(jù)題號(hào)在各題的答題區(qū)城（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、選擇題：每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則滿意的非空集合B的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件可得，且，求出集合A的非空子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】依題意，，因此有，且，而集合A的子集有個(gè)，則集合A的非空子集有7個(gè)，所以符合條件的非空集合B的個(gè)數(shù)是7.故選：C2.下列有關(guān)命題的說法中錯(cuò)誤的是（）A.若p∧q為假命題，則p，q均為假命題B.命題“若x2-3x+2=0，則x=1“的逆否命題為：“若x≠1則x2-3x+2≠0”C.若命題p：?x∈R，使得x2+x+1<0，則￢p：?x∈R均有x2+x+1≥0D.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用“且”命題真假推斷表可推斷A；依據(jù)四種命題的變換形式可推斷B；由全稱命題的否定變換形式可推斷C；依據(jù)充分條件、必要條件的定義可推斷D.【詳解】A，若p∧q為假命題，則p，q至少有一個(gè)是假命題，故A錯(cuò)誤；B，命題“若x2-3x+2=0，則x=1“的逆否命題為：“若x≠1則x2-3x+2≠0”，故B正確；C，若命題p：?x∈R，使得x2+x+1<0，則￢p：?x∈R均有x2+x+1≥0，故D正確；D，“x=1”可得“x2-3x+2=0”，反之，“x2-3x+2=0”，則或，所以“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件，故D正確.故選：A3.已知函數(shù)的最小正周期為，將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【解析】【分析】依據(jù)圖象變換的性質(zhì)及周期求得函數(shù)解析式，然后依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)推斷各選項(xiàng)．【詳解】由已知，向左平移后得，它是偶函數(shù)，則，又，所以，所以．時(shí)，，因此A正確；，因此函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；，不是最值，D錯(cuò)誤．故選：D．4.已知點(diǎn)在函數(shù)圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)在函數(shù)的圖象上代入可得，再利用向量的模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，，．故選：D5.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，點(diǎn)在拋物線上，則過點(diǎn)和的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是（）A. B. C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由已知可知，即可求得，，利用兩點(diǎn)連線的斜率公式即可得解.【詳解】，點(diǎn)在拋物線上，，即數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，，，，，即直線的方向向量為故選：D6.如圖，已知正四面體（全部棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），，，分別為，，上的點(diǎn)，，，分別記二面角，，的平面角為，，，則（）A.<< B.<< C.<< D.<<【答案】B【解析】【分析】設(shè)為三角形中心，過作，，，得到，，，再以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，得到直線，直線，直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離，求得點(diǎn)O到直線的距離推斷.【詳解】設(shè)為三角形中心，底面如圖2，過作，，，由題意可知，，，圖1圖2由圖2所示，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，∵，，∴，，則直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，知，，，∴，，因?yàn)?，，為銳角，所以，故選：B7.設(shè)f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f'（x）＞0，且?x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），則下列各項(xiàng)中不肯定正確的是（）A.f（2）＜f（e）＜f（π）Bf′（π）＜f′（e）＜f′（2）C.f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）D.f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）【答案】C【解析】【分析】f′（x）＞0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，由，可得＜，可得y＝f（x）的圖象如圖所示，圖象是向上凸．進(jìn)而推斷出正誤．【詳解】解：∵f′（x）＞0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，∵，∴＜，∴y＝f（x）的圖象如圖所示，圖象是向上凸．∴f（2）＜f（e）＜f（π），f′（π）＜f′（e）＜f′（2），可知：A，B正確．∵f（3）﹣f（2）＝，表示點(diǎn)A（2，f（2）），B（3，f（3））的連線的斜率．由圖可知：f′（3）＜kAB＜f′（2），故D正確．C項(xiàng)無(wú)法推出，故選：C．8.定義在上的圖象不間斷的奇函數(shù)，滿意以下條件：①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；②，則當(dāng)時(shí)，的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性結(jié)合簡(jiǎn)圖可得結(jié)果.【詳解】定義在R上的圖象不間斷的奇函數(shù)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)的周期，的圖象大致為下圖.則當(dāng)時(shí)，的解集為.故選：D9.設(shè)，集合是奇數(shù)集，集合是偶數(shù)集，若命題，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，精確改寫，即可求解.【詳解】依據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得全稱命題的否定肯定是存在性命題，可得命題“”的否定為：“”故選：C.10.已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知結(jié)合橢圓對(duì)稱性有為平行四邊形且，由余弦定理可得，應(yīng)用基本不等式有，即可求橢圓離心率的范圍.【詳解】連接A，B與左右焦點(diǎn)F，的連線，由，由橢圓及直線的對(duì)稱性知：四邊形為平行四邊形，且，在△中，，∴，可得，即，則，∴橢圓的離心率，故選：C．11.命題：“若，則”的逆命題為，則下列推斷正確的是（）A.真命題 B.是真命題C.的逆否命題是真命題 D.，都是假命題【答案】C【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)可推斷是真命題，舉反例可知是假命題，利用命題的否定和原命題的關(guān)系，以及原命題和逆否命題真假相同，依次推斷即可【詳解】由不等式的性質(zhì)可知“若，則”可知命題是真命題，故D錯(cuò)誤；故是假命題，故B錯(cuò)誤；所以的逆否命題是真命題，故C正確；逆命題為“若，則”，取可知是假命題，故A錯(cuò)誤；故選：C12.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)隨意的實(shí)數(shù)都有，，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件構(gòu)造函數(shù)，再依據(jù)，求，不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，解抽象不等式.【詳解】解：由題意得，則，由，解得：，故，（2），當(dāng)時(shí)，，，，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，故為上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在上單調(diào)遞減，故，故，故選：C．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知的最小值為0，則正實(shí)數(shù)的值為__．【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為的圖象在函數(shù)的圖象上方相切，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率的關(guān)系，求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得解．【詳解】由于函數(shù)的最小值為0，所以恒成立，即恒成立且可取等號(hào)，設(shè)、所以的圖象在函數(shù)的圖象上方相切，當(dāng)時(shí)，的圖象與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，由圖可知當(dāng)正數(shù)最小時(shí)，直線與在內(nèi)相切，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到，所以，解得，所以，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為把點(diǎn)代入得：．由于的周期為，故每向左或向右平移都會(huì)與曲線相切，又.故答案為：14.函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則________________【答案】##0.5【解析】【分析】先求導(dǎo)，然后代入，進(jìn)行求解【詳解】因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?5.已知函數(shù)的圖象C1向左平移個(gè)單位得到圖象C2，則C2在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間是________．【答案】[，π]【解析】【分析】依據(jù)正弦型函數(shù)的變換性質(zhì)，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】由題設(shè)可知C2的曲線方程:，令，得．令k＝0得C2在[0，π]上的單減區(qū)間為[，π]．故答案為：[，π]16.已知拋物線：，點(diǎn)在上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)樵谏?，所以，又因?yàn)?，所以，所以該拋物線方程為：，因此的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知在中，，．（1）求的大??；（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長(zhǎng)度．①；②周長(zhǎng)為；③面積為.【答案】（1）；（2）答案不唯一，詳細(xì)見解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇③：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.【詳解】（1），則由正弦定理可得，∴，∴∴解得(2)若選擇①:由正弦定理結(jié)合(1)可得與沖突,故這樣的不存在；若選擇②:由(1)可得，設(shè)的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得則周長(zhǎng)解得，則由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：若選擇③：由(1)可得，即，則解得則由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：==.18.已知正項(xiàng)數(shù)列滿意，且對(duì)隨意的正整數(shù)n，是和的等差中項(xiàng)，證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式．【答案】證明見解析；．【解析】【分析】由條件可得，得到是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，再利用迭代法可得的通項(xiàng)公式．【詳解】證明：由題知，得，所以是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合題意，所以，又所以.19.求函數(shù)的最小值．【答案】【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化成兩線段距離之和，利用三角不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以為點(diǎn)和之間的距離與和之間的距離之和，即如下圖：由三角不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值.即的最小值為.故答案為：.20.已知拋物線和，假如直線同時(shí)是和的切線，則稱是和的公切線，則取什么值時(shí)，和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程.【答案】當(dāng)時(shí)，和有且僅有一條公切線，公切線方程為【解析】【分析】假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可利用分別表示出的方程，由為公切線可確定方程組，化為一元二次方程后，利用可求得，代回可求得，確定切線方程.【詳解】由得：；由得：；設(shè)與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，方程為或，即方程為或，，則，，解得：，此時(shí)，此時(shí)切線方程為：，綜上所述：當(dāng)時(shí)，和有且僅有一條公切線，公切線方程為.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及對(duì)進(jìn)行分類探討，來求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，所以曲線在點(diǎn)，處的切線方程為，即；（2）由題意知，存在，，使得不等式成立，即存在，，