2025屆新高考數(shù)學小題必練13導數(shù)及其應用

2017年高考“最終2017年高考“最終三十天”專題透析好教化云平臺——教化因你我而變小題必練13導數(shù)及其應用1．依據(jù)導數(shù)幾何意義求解函數(shù)切線問題．2．依據(jù)導數(shù)正負求解函數(shù)單調(diào)性．3．利用函數(shù)極值點求函數(shù)最值．4．通過導數(shù)求出單調(diào)性和極值，分析函數(shù)圖象探討求解恒成立問題．1．【2024全國Ⅰ卷文】曲線的一條切線的斜率為，則該切線的方程為．【答案】【解析】由題意可得，設(shè)切點為，則，得，∴，∴切點坐標為，∴切線方程為，即．【點睛】設(shè)出切點，依據(jù)導數(shù)幾何意義求出切點坐標，由點斜式求出切線方程．2．【2024全國Ⅲ卷文】設(shè)函數(shù)，若，則________．【答案】【解析】，，解得．【點睛】求出，依據(jù)，求出．一、單選題．1．若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】明顯，不是函數(shù)的零點，令，得，構(gòu)造函數(shù)，，則，令，得到；令，得到且，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)有微小值，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖像可知，當時，直線與的圖象不行能有兩個交點；當，只需，的圖象與直線即有兩個不同的交點，即函數(shù)恰有兩個不同的零點，∴的取值范圍為，故選B．2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于函數(shù)，．當時，；當時，．所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以，，故選C．3．已知函數(shù)，則其單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，函數(shù)定義域為，求導，令，得或（舍去），所以單調(diào)增區(qū)間是，故選A．4．函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，即或(舍)在上恒成立，，解得，故選D．5．已知函數(shù)，若直線過點，且與曲線相切，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)切點坐標為，，，直線的斜率為，所以，直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程得，解得，因此，直線的斜率為，故選B．6．已知函數(shù)的圖像與x軸切于點，則的極值為（）A．極大值為，微小值為0 B．極大值為0，微小值為C．微小值為，極大值為0 D．微小值為0，極大值為【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，則，因為函數(shù)的圖像與軸切于點，則，且，聯(lián)立方程組，解得，，即，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值為，微小值為，故選A．7．已知偶函數(shù)對于隨意的滿意（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】試題分析：令，因，故由題設(shè)可得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增且是偶函數(shù)．又因，故，即，所以，故應選D．8．已知函數(shù)，，若恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由恰有個零點，即方程恰有個實數(shù)根．即函數(shù)的圖像與的圖像有三個交點，如圖．與函數(shù)的圖像恒有一個交點，即函數(shù)與有兩個交點．設(shè)與函數(shù)相切于點，由，所以，得，所以切點為，此時，切線方程為，將向下平移可得與恒有兩個交點，所以，故選D．二、多選題．9．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．是的極大值點B．函數(shù)有且只有個零點C．存在正整數(shù)，使得恒成立D．對隨意兩個正實數(shù)，，且，若，則【答案】BD【解析】對于A選項，函數(shù)的的定義域為，函數(shù)的導數(shù)，∴時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴是的微小值點，故A錯誤；對于B選項，，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，又∵，，∴函數(shù)有且只有1個零點，故B正確；對于C選項，若，可得，令，則，令，則，∴在上，，函數(shù)單調(diào)遞增；上，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實數(shù)，使得成立，故C錯誤；對于D選項，由，，可知，，要證，即證，且，由函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)，所以有，由于，所以，即證明，令，則，所以在是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即成立，故成立，所以D正確，綜上，故正確的是BD，故選BD．10．設(shè)函數(shù)，若方程有六個不等的實數(shù)根，則實數(shù)a可取的值可能是（）A． B． C．1 D．2【答案】BC【解析】當時，，則，由，得，即，此時為減函數(shù)；由，得，即，此時為增函數(shù)，即當時，取得微小值，作出的圖象如圖：由圖象可知當時，有三個不同的x與對應，設(shè)，方程有六個不等的實數(shù)根，所以在內(nèi)有兩個不等的實根，設(shè)，即，，，則實數(shù)a可取的值可能是，1，故選BC．11．對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．在處取得極大值 B．有兩個不同的零點C． D．若在上恒成立，則【答案】ACD【解析】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以A正確；由當時，，因為在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上只有一個零點，當時，可得，所以函數(shù)在上沒有零點，綜上可得函數(shù)在只有一個零點，所以B不正確；由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，由于，，則，因為，所以，即，所以，所以C正確；由在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，即，解得，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，所以D正確，故選ACD．12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．當時，在單調(diào)遞增B．當時，在處的切線為軸C．當時，在存在唯一微小值點，且D．對隨意，在肯定存在零點【答案】AC【解析】對于A，當時，，，因為時，，，即，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，當時，，，則，，即切點為，切線斜率為，故切線方程為，故B錯誤；對于C，當時，，，，當時，，，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，，因為，所以，所以存在唯一，使得成立，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在存在唯一微小值點，由，可得，因為，所以，則，故C正確；對于選項D，，，令，得，，，則，令，得，則，令，得，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，令，得，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以時，取得微小值，微小值為，在的微小值中，最小，當時，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為，當時，即時，函數(shù)與無交點，即在不存在零點，故D錯誤，故選AC．三、填空題．13．已知三個函數(shù)，，．若，，都有成立，求實數(shù)b的取值范圍________．【答案】【解析】由題知，，．在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，易知在區(qū)間上的最大值為，，，都有成立，即在上的最大值大于等于在上的最大值，即，即，解得，故答案為．14．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】當時，，明顯恒成立，此時；當時，等價于；當，等價于．構(gòu)造函數(shù)，求導得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，且，只需，即可滿意恒成立；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，只需，即可滿意恒成立．綜上，實數(shù)需滿意，即，故答案為．15．已知函數(shù)恰有3個不同的零點，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】，，由，得或，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即當時，函數(shù)取得極大