2025版新教材高考物理全程一輪總復(fù)習(xí)第十一章磁場(chǎng)安培力與洛倫茲力專題強(qiáng)化九帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值及多解問(wèn)題學(xué)生用書(shū)

專題強(qiáng)化九帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值及多解問(wèn)題【素養(yǎng)目標(biāo)】1.會(huì)分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的臨界問(wèn)題和多解問(wèn)題.2.會(huì)用“平移圓”“旋轉(zhuǎn)圓”“放縮圓”找出對(duì)應(yīng)臨界狀態(tài)或極值的軌跡．題型一帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問(wèn)題1．處理臨界問(wèn)題的兩個(gè)方法數(shù)理結(jié)合法利用“矢量圖”“邊界條件”等求臨界值利用“三角函數(shù)”“不等式的性質(zhì)”“二次方程的判別式”等求極值抓關(guān)鍵詞法“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等臨界狀態(tài)詞2.幾何法確定粒子的臨界軌跡求解帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題，難點(diǎn)是確定粒子的臨界軌跡．一般步驟如下：例1利用磁場(chǎng)可以屏蔽帶電粒子．如圖所示，真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為r和3r的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，其橫截面如圖所示．一帶電粒子從P點(diǎn)正對(duì)著圓心O沿半徑方向射入磁場(chǎng)．已知該粒子的比荷為k，重力不計(jì)．為使該帶電粒子不能進(jìn)入圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，粒子的最大速度為()A．kBrB．2kBrC．3kBrD．4kBr針對(duì)訓(xùn)練1.[2024·湖南明德中學(xué)模擬](多選)如圖所示，矩形ABCD區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，AB邊長(zhǎng)為d，BC邊長(zhǎng)為2d，O是BC邊的中點(diǎn)，E是AD邊的中點(diǎn)，在O點(diǎn)有一粒子源，可以在紙面內(nèi)向磁場(chǎng)內(nèi)各個(gè)方向勻稱射出質(zhì)量均為m、電荷量均為q、同種電性的帶電粒子，粒子射出的速度大小相同，速度與OB邊的夾角為60°的粒子恰好從E點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，則()A．從AD邊射出與從CD邊射出的粒子數(shù)之比為3∶2B．粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為qBdC．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為πD．磁場(chǎng)區(qū)域中有粒子通過(guò)的面積為4+π42．[2024·濱州模擬]如圖所示，太極圖由“陰魚(yú)”和“陽(yáng)魚(yú)”構(gòu)成，其邊界是以O(shè)點(diǎn)為圓心、R為半徑的圓，內(nèi)部由以O(shè)1點(diǎn)和O2點(diǎn)為圓心、等半徑的兩個(gè)半圓分割成上下兩部分，其中上部分為“陽(yáng)魚(yú)”，下部分為“陰魚(yú)”．O1、O2、O三點(diǎn)共線，A、C兩點(diǎn)分別在半圓O1與O2的圓周上且θ＝60°，CO2⊥O1O2.“陽(yáng)魚(yú)”內(nèi)有方向垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，“陽(yáng)魚(yú)”與“陰魚(yú)”的邊界上無(wú)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子P(不計(jì)粒子所受重力)從O點(diǎn)以大小為v0的速度沿OO2方向射入“陽(yáng)魚(yú)”，并從A點(diǎn)沿AO1方向進(jìn)入“陰魚(yú)”．(1)求“陽(yáng)魚(yú)”內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；(2)若同種粒子Q從C點(diǎn)沿CO2方向射入“陽(yáng)魚(yú)”，要使粒子Q不會(huì)進(jìn)入“陰魚(yú)”，求粒子Q從C點(diǎn)射入“陽(yáng)魚(yú)”時(shí)的速度v大小應(yīng)滿意的條件．題型二帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于帶電粒子電性不確定、磁場(chǎng)方向不確定、臨界狀態(tài)不確定、運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性造成帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題．(1)找出多解的緣由．(2)畫(huà)出粒子的可能軌跡，找出圓心、半徑的可能狀況．例2[2024·湖北卷](多選)在如圖所示的平面內(nèi)，分界線SP將寬度為L(zhǎng)的矩形區(qū)域分成兩部分，一部分充溢方向垂直于紙面對(duì)外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，另一部分充溢方向垂直于紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，SP與磁場(chǎng)左右邊界垂直．離子源從S處射入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場(chǎng)方向垂直且與SP成30°角．已知離子比荷為k，不計(jì)重力．若離子從P點(diǎn)射出，設(shè)出射方向與入射方向的夾角為θ，則離子的入射速度和對(duì)應(yīng)θ角的可能組合為()A．13kBL，0°B．12C．kBL，60°D．2kBL，60°針對(duì)訓(xùn)練3.[2024·湖北華中師大一附中模擬](多選)如圖，空間中有一個(gè)圓心角為90°的扇形區(qū)域MON，扇形區(qū)域內(nèi)(含邊界)分布方向垂直紙面對(duì)外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，扇形區(qū)域外分布方向垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B.一電荷量為e、質(zhì)量為m的電子以某一速度沿MO方向射入扇形區(qū)域，最終能夠經(jīng)過(guò)N點(diǎn)．則粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的時(shí)間可能為()A.πm2BeB．πmBe“數(shù)學(xué)圓”方法在電磁學(xué)中的應(yīng)用1.“放縮圓”模型法的應(yīng)用“放縮圓”法粒子射入方向確定，但速率v或磁感應(yīng)強(qiáng)度B改變時(shí)，以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，作出半徑不同的一系列軌跡，從而探究出臨界條件．

典例1(多選)如圖所示，在一等腰直角三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直紙面對(duì)外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子(重力不計(jì))從AC邊的中點(diǎn)O垂直于AC邊射入該勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，若該三角形的兩直角邊長(zhǎng)均為2l，則下列關(guān)于粒子運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法中正確的是()A.若該粒子的入射速度為v＝qBlm，則粒子肯定從CD邊射出磁場(chǎng)，且距點(diǎn)C的距離為B.若要使粒子從CD邊射出，則該粒子從O點(diǎn)入射的最大速度應(yīng)為v＝qBC.若要使粒子從CD邊射出，則該粒子從O點(diǎn)入射的最大速度應(yīng)為v＝2qBlD.當(dāng)該粒子以不同的速度入射時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為π2．“旋轉(zhuǎn)圓”模型法的應(yīng)用“旋轉(zhuǎn)圓”法粒子速率v肯定，但射入的方向改變時(shí)，以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，將軌跡圓旋轉(zhuǎn)，作出一系列軌跡，從而探究出臨界條件．典例2如圖所示，平行邊界MN、PQ間有垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，兩邊界的間距為d，MN上有一粒子源A，可在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向向磁場(chǎng)中射入質(zhì)量均為m、電荷量均為＋q的粒子，粒子射入磁場(chǎng)的速度大小v＝2qBd3m，不計(jì)粒子的重力，則粒子能從PQ邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度與能從MNA.1∶1B．2∶3C.3∶2D．3∶33．“平移圓”模型法的應(yīng)用“平移圓”法粒子源放射速度大小、方向肯定，入射點(diǎn)不同，但在同始終線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝mv0典例3(多選)如圖所示，在Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向分別垂直于紙面對(duì)外和向里，AD、AC邊界的夾角∠DAC＝30°，邊界AC與邊界MN平行，Ⅱ區(qū)域?qū)挾葹閐.質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子可在邊界AD上的不同點(diǎn)射入，入射速度垂直AD且垂直磁場(chǎng)，若入射速度大小為qBdmA.粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為dB.粒子在距A點(diǎn)0.5d處射入，不會(huì)進(jìn)入Ⅱ區(qū)域C.粒子在距A點(diǎn)1.5d處射入，在Ⅰ區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為πD.能夠進(jìn)入Ⅱ區(qū)域的粒子，在Ⅱ區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為π專題強(qiáng)化九帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值及多解問(wèn)題題型一例1解析：當(dāng)速度最大時(shí)，粒子軌跡圓會(huì)和實(shí)線圓相切，如圖設(shè)軌跡圓的半徑為R，在△AOO′中，依據(jù)勾股定理有R2＋(3r)2＝(R＋r)2，解得R＝4r，依據(jù)洛倫茲力供應(yīng)向心力有qvB＝mv2R，又知qm＝k，聯(lián)立解得最大速度為v答案：D1.解析：如圖所示，由此粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡結(jié)合幾何關(guān)系可知，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝d，由牛頓其次定律有qvB＝mv2r，解得粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v＝qBdm，選項(xiàng)B正確；由于粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小相同，因此在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡越長(zhǎng)，時(shí)間越長(zhǎng)，分析可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)弧長(zhǎng)為四分之一圓周，因此最長(zhǎng)時(shí)間為四分之一周期，即最長(zhǎng)時(shí)間為πm2qB，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由圖甲可知，磁場(chǎng)區(qū)域有粒子通過(guò)的面積為圖中AOCDA區(qū)域的面積，即為d2＋14πd2＝4+π如圖所示，由幾何關(guān)系可知，當(dāng)速度方向與OC的夾角為30°時(shí)，恰好從C點(diǎn)射出，則從AD邊射出與從CD邊射出的粒子數(shù)之比為：90°∶60°＝3∶2，選項(xiàng)A正確．答案：ABD2．解析：(1)粒子P在“陽(yáng)魚(yú)”內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖甲所示，依據(jù)幾何關(guān)系，軌跡圓的半徑r0＝R2tanθ2，由qv0B＝mv02(2)設(shè)粒子Q以大小為v1的速度從C點(diǎn)沿CO2方向射入“陽(yáng)魚(yú)”時(shí)，其軌跡恰好與圓O1相切，如圖乙所示．依據(jù)幾何關(guān)系，軌跡圓的半徑為R，由qv1B＝mv12R，解得v1＝23v0，粒子Q從C點(diǎn)射入“陽(yáng)魚(yú)”時(shí)的速度大小應(yīng)滿意的條件為v≥2答案：(1)23mv0qR(2)v題型二例2解析：若粒子通過(guò)下部分磁場(chǎng)干脆到達(dá)P點(diǎn)，如圖依據(jù)幾何關(guān)系則有R＝L，qvB＝mv可得v＝qBLm＝依據(jù)對(duì)稱性可知出射速度與SP成30°角向上，故出射方向與入射方向的夾角為θ＝60°.當(dāng)粒子上下均經(jīng)驗(yàn)一次時(shí)，如圖因?yàn)樯舷麓鸥袘?yīng)強(qiáng)度均為B，則依據(jù)對(duì)稱性有R＝12依據(jù)洛倫茲力供應(yīng)向心力有qvB＝mv可得v＝qBL2m＝1此時(shí)出射方向與入射方向相同，即出射方向與入射方向的夾角為θ＝0°.通過(guò)以上分析可知當(dāng)粒子從下部分磁場(chǎng)射出時(shí)，需滿意v＝qBL2n-1m＝1此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為θ＝60°；當(dāng)粒子從上部分磁場(chǎng)射出時(shí)，需滿意v＝qBL2nm＝12nkBL(此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為θ＝0°.故可知B、C正確，A、D錯(cuò)誤．答案：BC3．解析：把扇形n等分，當(dāng)n取奇數(shù)時(shí)，由圖甲可知，t為周期的整數(shù)倍加上第一段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即t＝n-12T＋(2n-14n)T＝π2n2-1m2Ben(n＝1，3，5，…)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由圖乙結(jié)合對(duì)稱性可得t′＝n2T＝πnmBe(n＝2，4，6，…)．當(dāng)n＝1時(shí)，可得t1＝答案：ACD典例1解析：若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度為v＝qBlm，則由qvB＝mv2r可得r＝l，由幾何關(guān)系可知，粒子肯定從CD邊上距C點(diǎn)為l的位置離開(kāi)磁場(chǎng)，選項(xiàng)A正確；因?yàn)閞＝mvqB，所以v＝qBrm，因此，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑越大，速度就越大，由幾何關(guān)系可知，當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與三角形的AD邊相切時(shí)，能從CD邊射出的軌跡半徑最大，此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r＝(2＋1)l，故其最大速度為v＝qB2+1lm，選項(xiàng)B正確，C錯(cuò)誤；粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為T＝2答案：ABD典例2解析：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，qvB＝mv2R，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑R＝mvBq＝23d；由左手定則可得，粒子沿逆時(shí)針?lè)较蚱D(zhuǎn)，做圓周運(yùn)動(dòng)；粒子沿AN方向進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，到達(dá)PQ邊界的最下端，距A點(diǎn)的豎直距離L1＝R2-d-R2＝33d；運(yùn)動(dòng)軌跡與PQ相切時(shí)，切點(diǎn)為到達(dá)PQ邊界的最上端，距A點(diǎn)的豎直距離L2＝R2-d-R2＝33d，所以粒子在PQ邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝L1＋L2＝233d.因?yàn)镽<d，所以粒子在MN答案：C典例3解析：帶電粒子在磁場(chǎng)中的