2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6章立體幾何第3節(jié)直線平面平行的判定與性質(zhì)教師用書(shū)

第三節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)考試要求：1．能以立體幾何中的定義、基本領(lǐng)實(shí)和定理為動(dòng)身點(diǎn)，相識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2．能運(yùn)用基本領(lǐng)實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形中平行關(guān)系的簡(jiǎn)潔命題．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理假如平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)因?yàn)閘∥a，a?α，l?α，所以l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，假如過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)因?yàn)閘∥α，l?β，α∩β＝b，所以l∥b應(yīng)用判定定理時(shí)，要留意“內(nèi)”“外”“平行”三個(gè)條件必需具備，缺一不行．應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)要體會(huì)協(xié)助面的作用.2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)因?yàn)開(kāi)a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，所以α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，假如另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行因?yàn)棣痢桅?，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b判定平面α與平面β平行時(shí)，必需具備兩個(gè)條件：(1)平面β內(nèi)兩條相交直線a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.(2)兩條相交直線a，b都與平面β平行，即a∥β，b∥β.3．常用結(jié)論(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線平行于另一個(gè)平面．(2)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等．(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．(5)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成角相等．(6)假如兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面相互平行．(7)面面平行判定定理的推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行．二、基本技能·思想·活動(dòng)閱歷1．推斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的畫(huà)“√”，錯(cuò)的畫(huà)“×”．(1)若直線a與平面α內(nèi)多數(shù)條直線平行，則a∥α. (×)(2)假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行． (√)(3)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面． (×)(4)假如兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)2．平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD解析：ABC錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交．3．假如直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．多數(shù)條直線不相交D．隨意一條直線都不相交D解析：因?yàn)橹本€a∥平面α，直線a與平面α無(wú)公共點(diǎn)，因此直線a和平面α內(nèi)的隨意一條直線都不相交．故選D．4．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過(guò)點(diǎn)B的全部直線中()A．不肯定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在多數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一的與a平行的直線A解析：當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過(guò)點(diǎn)B時(shí)，不存在與a平行的直線．故選A．5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_(kāi)_______．平行解析：連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，E為DD1的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而B(niǎo)D1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.考點(diǎn)1直線、平面平行的基本問(wèn)題——基礎(chǔ)性1．(2024·上海二模)設(shè)α，β是兩個(gè)不重合的平面，l，m是兩條不重合的直線，則“α∥β”的一個(gè)充分不必要條件是()A．l?α，m?α，且l∥β，m∥βB．l?α，m?β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥mC解析：對(duì)于A，若l?α，m?α且l∥β，m∥β，若l，m是平行直線，則它們可能都平行于α，β的交線，所以A不正確；對(duì)于B，l?α，m?β，且l∥m，可得l，m都平行于α，β的交線，所以B不正確；對(duì)于C，l⊥α且l∥m，可得m⊥α，再由m⊥α，m⊥β，得到α∥β，所以l⊥α，m⊥β且l∥m是α∥β的一個(gè)充分不必要條件，所以C正確；對(duì)于D，由l∥α，m∥β，且l∥m，可能有l(wèi)，m都平行于α，β的交線，所以D不正確．故選C．2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，給出下面三個(gè)結(jié)論：①若α∥β，m?α，n?β，則m∥n；②若m，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若m，n是兩條異面直線，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β.其中正確結(jié)論的序號(hào)為()A．①②B．①③C．②③D．③D解析：由題意，若α∥β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，故①錯(cuò)誤；若m，n?α，m∥β，n∥β，則α與β可能平行也可能相交，故②錯(cuò)誤；若m，n是兩條異面直線，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β，故③正確．故正確的結(jié)論只有③.故選D．3．(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝23A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三點(diǎn)共線D．平面MNQ∥平面APCBC解析：如圖，對(duì)于A，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN.易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN?平面APC，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于B，由A知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，且AN?平面APC，C1Q?平面APC．所以B選項(xiàng)正確．對(duì)于C，由A知，A，P，M三點(diǎn)共線，所以C選項(xiàng)正確．對(duì)于D，由A知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．關(guān)于平行關(guān)系的判定，關(guān)鍵是理清各類(lèi)平行及其內(nèi)在聯(lián)系，駕馭平行的判定定理和性質(zhì)定理的條件，結(jié)合題意構(gòu)造圖形，通過(guò)圖形分析判定．同時(shí)也要留意一些常見(jiàn)結(jié)論，如垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行等．考點(diǎn)2直線、平面平行的判定與性質(zhì)——應(yīng)用性如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．又M是PC的中點(diǎn)，所以AP∥OM.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，所以PA∥平面BMD．又因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，所以PA∥GH.解決線面平行問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)利用判定定理判定直線與平面平行，關(guān)鍵是找出平面內(nèi)與已知直線平行的直線．可先直觀推斷平面內(nèi)是否已有，若沒(méi)有，則需作出該直線，?？紤]作三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面找其交線．(2)線面平行的性質(zhì)定理是空間圖形中產(chǎn)生線線平行的主要途徑，常用于作截面．1．(多選題)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是棱AC，PD的中點(diǎn)，則()A．EF∥平面PAB B．EF∥平面PBCC．CF∥平面PAB D．AF∥平面PBCAB解析：如圖，連接BD．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，且E是棱AC的中點(diǎn)，所以E是BD的中點(diǎn)，所以EF∥PB，則EF∥平面PAB，EF∥平面PBC，故A，B正確．因?yàn)锳D∥BC，所以AD∥平面PBC．假設(shè)AF∥平面PBC，又AF∩AD＝A，則平面PAD∥平面PBC．因?yàn)槠矫鍼AD與平面PBC相交，則假設(shè)不成立，即AF∥平面PBC不成立，故D錯(cuò)誤．同理可得C錯(cuò)誤．故選AB．2．如圖，已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，BD上的點(diǎn)，且PE∶EA＝BF∶FD．求證：EF∥平面PBC．證明：(方法一)連接AF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接PG.因?yàn)锽C∥AD，所以FGFA＝FB又因?yàn)镻EEA＝BFFD，所以PEEA＝GFFA，所以又因?yàn)镻G?平面PBC，EF?平面PBC，所以EF∥平面PBC．(方法二)過(guò)點(diǎn)F作FM∥AD，交AB于點(diǎn)M，連接EM.因?yàn)镕M∥AD，AD∥BC，所以FM∥BC．又因?yàn)镕M?平面PBC，BC?平面PBC，所以FM∥平面PBC．由FM∥AD得BMMA＝BFFD.又因?yàn)镻EEA＝BFFD，所以PEEA＝BM因?yàn)镻B?平面PBC，EM?平面PBC，所以EM∥平面PBC．因?yàn)镋M∩FM＝M，EM，F(xiàn)M?平面EFM，所以平面EFM∥平面PBC．因?yàn)镋F?平面EFM，所以EF∥平面PBC．考點(diǎn)3面面平行的判定與性質(zhì)及平行的綜合問(wèn)題——綜合性考向1面面平行的判定與性質(zhì)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明：(1)因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC．因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1G∥EB且A1G＝EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB．又因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因?yàn)锳1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D．證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M.因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以A1B∥DM.因?yàn)锳1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1.又因?yàn)镈C1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．考向2平行關(guān)系的綜合問(wèn)題如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍．(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，所以EF∥HG.因?yàn)镠G?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD．又因?yàn)镋F?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB．又因?yàn)锳B?平面EFGH，EF?平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.(2)解：設(shè)EF＝x(0<x<4)．因?yàn)镋F∥AB，F(xiàn)G∥CD，所以CFCB＝x4，則FG6＝BFBC＝BC-CFBC＝1－因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，所以四邊形EFGH的周長(zhǎng)C＝2x+6-32又因?yàn)?<x<4，所以8<C<12，即四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍是(8，12)．利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫(huà)法中，常用來(lái)確定交線的位置．對(duì)于最值問(wèn)題，常用函數(shù)思想來(lái)解決．1．設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③C解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以平行，③正確．2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點(diǎn)．(1)證明：平面MNQ∥平面PCD．(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出PEPD(1)證明：因?yàn)锳BCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點(diǎn)，所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC．又NQ?平面PCD，CD?平面PCD，MQ?平面PCD，PC?平面PCD，所以NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD．因?yàn)镹Q∩MQ＝Q，且NQ，MQ?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PCD．(2)解：存在點(diǎn)E是線段PD的中點(diǎn)，使得MN∥平面ACE，且PEPD＝1取PD中點(diǎn)E，連接AE，NE，CE.因?yàn)镹，E，M分別是AP，PD，BC的中點(diǎn)，所以NE∥AD，NE＝12AD，且BC∥AD，BC＝AD，即MC∥AD，MC＝12所以NE∥MC，NE＝MC，所以四邊形MCEN是平行四邊形，所以MN∥CE.因?yàn)镸N?平面ACE，CE?平面ACE，所以MN∥平面ACE，且PEPD＝1如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3.證明：平面ABF∥平面DCE.[四字程序]讀想算思平面ABF∥平面DCE，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3面面平行的證明方法：線∥面?面∥面，線∥線?面∥面構(gòu)造平行關(guān)系證明平行的有關(guān)定理：1．面面平行的判定定理．2．面面平行判定定理的推論思路參考：應(yīng)用面面平行的判定定理證明．證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因?yàn)锳F?平面DCE，DE?平面DCE，所以AF∥平面DCE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB∥CD．因?yàn)锳B?平面DCE，所以AB∥平面DCE.因?yàn)锳B∩AF＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.思路參考：利用兩個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行證明．證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB∥CD．又AF∩AB＝A，AF，AB?平面ABF，DE∩CD＝D，DE，DC?平面DCE，所以平面ABF∥平面DCE.思路參考：利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行證明．證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DE⊥AD．在正方形ABCD中，AD⊥CD，又DE∩CD＝D，所以AD⊥平面DCE.同理AD⊥平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.1．本題考查空間中面與面平行的證明方法，基本的解題策略是借助“平行”的有關(guān)定理來(lái)證明．解決此類(lèi)題目要留意對(duì)定理的嫻熟應(yīng)用．2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題要嫻熟駕馭相關(guān)定理，具備良好的直觀想象實(shí)力、邏輯推理的核心素養(yǎng)，本題的解答過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究的魅力．3．基于高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，本題通過(guò)“平行”關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，將面面平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行以及線線垂直問(wèn)題，切入點(diǎn)比較多，既體現(xiàn)基礎(chǔ)性又體現(xiàn)綜合性．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一點(diǎn)．若N是AB的中點(diǎn)，且CN∥平面AB1M，求CM的長(zhǎng)．解：(方法一)如圖(1)，取AB1的中點(diǎn)P，連接NP，PM.因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，所以NP∥BB1.因?yàn)镃M∥BB1，所以NP∥CM，所以NP與CM共面．因?yàn)镃N∥平面AB1M，平面CNPM∩平面AB1M＝MP，所以CN∥MP.所以四邊形CNPM為平行四邊形，所以CM＝NP＝12圖(1)(方法二)如圖(2)，取BB1的中點(diǎn)Q，連接NQ，CQ.圖(2)因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，所以NQ∥AB1.因?yàn)镹Q?平面AB1M，AB1?平面AB1M，所以NQ∥平面AB1M.因?yàn)镃N∥平面AB1M，NQ∩NC＝N，NQ，NC?平面NQC，所以平面NQC∥平面AB1M.因?yàn)槠矫鍮CC1B1∩平面NQC＝QC，平面BCC1B1∩平面AB1M＝MB1，所以CQ∥MB1.因?yàn)锽B1∥CC1，所以四邊形CQB1M是平行四邊形，所以CM＝B1Q＝12CC1(方法三)如圖(3)，分別延長(zhǎng)BC，B1M并交于一點(diǎn)S，連接AS.圖(3)因?yàn)镃N∥平面AB1M，CN?平面ABS，平面ABS∩平面AB1M＝AS，所以CN∥AS.由于AN＝NB，所以BC＝CS.又CM∥BB1，同理可得SM＝MB1，所以CM＝12BB1＝課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十四)A組全考點(diǎn)鞏固練1．給出下列關(guān)于互不相同的直線l，m，n和平面α，β，γ的三個(gè)命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0C解析：①中當(dāng)α與β不平行時(shí)，也可能存在符合題意的l，m；②中l(wèi)與m也可能異面；③中l(wèi)∥γ，l?α，α∩γ=n，2．(2024·遼寧大連測(cè)試)已知直線l，m，平面α，β，γ，則下列條件能推出l∥m的是()A．l?α，m?β，α∥βB．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝mC．l∥α，m?αD．l?α，α∩β＝mB解析：選項(xiàng)A中，直線l，m可能平行也可能異面；選項(xiàng)B中，依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可推出l∥m，B正確；選項(xiàng)C中，直線l，m可能平行也可能異面；選項(xiàng)D中，直線l，m可能平行也可能相交．故選B．3．(多選題)以下命題中，正確的命題有()A．在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行B．在平面α內(nèi)有多數(shù)條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行C．平面α內(nèi)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個(gè)平面平行D．平面α內(nèi)有多數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個(gè)平面平行或相交CD解析：如圖1，作α，β交線的多數(shù)條平行線，可知A，B錯(cuò)誤；對(duì)C，由題意可知AB∥β，BC∥β，AB∩BC＝B，由面面平行的判定定理可知α∥β，C正確；對(duì)D，參考答案C，假設(shè)α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)位于點(diǎn)A處，而其余點(diǎn)均位于直線BC上，則兩個(gè)平面平行；如圖2，α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)位于點(diǎn)A處，而其余點(diǎn)均位于直線BC上，可知兩個(gè)平面相交，D正確．故選CD．4．設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有一條直線與β平行B．α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行C．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行D．α內(nèi)有一條直線與β內(nèi)的一條直線平行C解析：對(duì)于A，α內(nèi)有一條直線與β平行，則α∥β或α與β相交；對(duì)于B，α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行，則α∩β或α∥β；對(duì)于C，α內(nèi)有兩條相交直線與β平行，α∥β，反之也成立；對(duì)于D，α內(nèi)有一條直線與β內(nèi)的一條直線平行，則α∥β或α與β相交，所以α∥β的充要條件是α內(nèi)有兩條相交直線與β平行．故選C．5．(多選題)已知α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩個(gè)直線，則下列結(jié)論正確的是()A．假如m⊥α，n∥α，那么m⊥nB．假如m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βC．假如α∥β，m?α，那么m∥βD．假如m∥α，n∥β且α∥β，那么m∥nAC解析：對(duì)于A，若m⊥α，n∥α，則m⊥n，故A正確；對(duì)于B，若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α∥β或α，β相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若α∥β，m?α，則m∥β，故C正確；對(duì)于D，若m∥α，n∥β且α∥β，則m，n平行、相交或異面，故D錯(cuò)誤．故選AC．6．(多選題)如圖是正方體的平面綻開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，以下說(shuō)法正確的是()A．NF∥平面ADEB．CN∥平面BAFC．平面BDM∥平面AFND．平面BDE∥平面NCFBCD解析：以ABCD為下底還原正方體，如圖所示，則有NF與平面ADE相交，CN∥平面BAF，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；在正方體中，BD∥FN,FN?平面AFN，BD?平面AFN，所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN，BM∩BD＝B，BM，BD?平面BDM，所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF，選項(xiàng)C，D正確．7．(2024·臨沂月考)如圖，α∥β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________．52解析：因?yàn)棣痢桅拢訡D∥AB則PCPA＝CDAB，所以AB＝PA×CDPC8．如圖所示，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC＝________．4∶25解析：因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍭BC，所以A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2.又PA′∶AA′＝2∶3，所以PA′∶PA＝2∶5，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.B組新高考培優(yōu)練9．已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，M是BB1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體內(nèi)部或表面上，且MP∥平面ABD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成區(qū)域的面積是()A．22 B．C．1 D．2A解析：如圖所示，E，F(xiàn)，G，M分別是AA1，A1D1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，則EF∥AD1，EM∥AB，所以EF∥平面ABD1，EM∥平面ABD1，且EF∩EM＝E，所以平面ABD1∥平面EFGM，故點(diǎn)P的軌跡為矩形EFGM.MB1＝B1G＝12，所以MG＝22，所以SEFGM＝1×2210．(多選題)如圖，透亮塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，下列四個(gè)命題中正確的是()A．沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．棱A1D1始終與水面所在平面平行D．當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，BE·BF是定值A(chǔ)CD解析：由題圖，明顯A是正確的，B是錯(cuò)的；對(duì)于C，因?yàn)锳1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面