數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型

一、問(wèn)題在人類生活中，一直受傳染病困繞，盡管諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球疾病已經(jīng)得到有效控制，不過(guò)一些新、不停變異著傳染病卻悄悄向人類襲來(lái)，如20世紀(jì)80年代開(kāi)始十分險(xiǎn)惡愛(ài)滋病；21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳輸SARS（俗稱非經(jīng)典肺炎）等等，給人們生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)極大危害。長(zhǎng)久以來(lái)，建立傳染病模型，描述傳染病傳輸過(guò)程，分析受感染人數(shù)改變規(guī)律，探索阻止傳染病蔓延伎倆等，一直是各國(guó)教授和官員關(guān)注課題。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第1頁(yè)研究傳染病模型，不可能經(jīng)過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)，而從醫(yī)療部門(mén)得到資料也是不完全和不充分，同時(shí)不一樣傳染病傳輸過(guò)程各有不一樣特點(diǎn)，所以，我們?cè)谶@里只能是按照機(jī)理分析方法，按普通傳輸機(jī)理建立幾個(gè)簡(jiǎn)單模型。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第2頁(yè)*機(jī)理分析法依據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特征認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反應(yīng)內(nèi)部機(jī)理規(guī)律.數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第3頁(yè)１、模型假設(shè)1、在疾病傳輸期內(nèi)，所考查地域總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康人（易感染者Susceptible）和病人（已感染者Infective）。設(shè)在t時(shí)刻它們所占總?cè)藬?shù)百分比分別為s（t）和i（t）2、每個(gè)病人在t時(shí)刻有效接觸人數(shù)為，在較短時(shí)間內(nèi)，能夠設(shè)為常數(shù)（成為日接觸率）。3、在開(kāi)始時(shí)刻病人數(shù)為數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第4頁(yè)模型1（SI模型）（控制前自然傳輸）每個(gè)病人天天可使個(gè)健康人變?yōu)椴∪?，所以有?/p>

（此模型為阻滯增加

logistic）模型）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第5頁(yè)解此微分方程組得

數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第6頁(yè)此式中當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明在不進(jìn)行控制情況下，最終全部些人全變?yōu)椴∪?。同時(shí)由（1）式知，當(dāng)時(shí)，到達(dá)最大，這個(gè)時(shí)刻為數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第7頁(yè)這時(shí)病人增加得最快，預(yù)示著傳染病高潮到來(lái)，是醫(yī)療部門(mén)關(guān)注時(shí)刻。與成反比。說(shuō)明值越大，該地域衛(wèi)生水平越高，傳染病高峰期到來(lái)越遲。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第8頁(yè)模型2（SIS模型）（控制后傳輸模型）有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等，病人治愈后又成為病人，所以應(yīng)考慮治療情況。設(shè)天天治愈病人數(shù)占病人總數(shù)百分比為（稱為日治愈率）。顯然，為這種傳染病平均傳染期。于是模型變?yōu)椋?/p>

數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第9頁(yè)（2）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第10頁(yè)此微分方程解為（3）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第11頁(yè)定義（整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)）。此時(shí)方程組（2）第一、二式能夠改寫(xiě)為（4）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第12頁(yè)此時(shí)（3）式變?yōu)椋簲?shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第13頁(yè)當(dāng)時(shí)，由（4）可以看出，時(shí)，到達(dá)最大，預(yù)示著傳染病高潮到來(lái)；同時(shí)當(dāng)時(shí)，病人比例越來(lái)小?？梢?jiàn)是一個(gè)閾值。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第14頁(yè)模型3（SIR模型）有一些傳染病如天花、肝炎等治愈后含有很強(qiáng)免疫能力，所以治愈人既非健康人又非病人，他們已經(jīng)退出了傳染系統(tǒng)，此時(shí)，人群分為三類，健康人、病人和治愈后移出者。設(shè)他們所占總?cè)藬?shù)百分比分別為s（t）、i（t）、r（t）。又設(shè)開(kāi)始時(shí)病人數(shù)，移出者數(shù)為，于是所建立模型為：數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第15頁(yè)方程（5）無(wú)法求出對(duì)應(yīng)解析解，我們利用相軌線討論解性質(zhì)。平面稱為相平面，相軌線在相平面上定義域?yàn)椋?）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第16頁(yè)

若微分方程組其右端函數(shù)不顯含自變量t，稱為一階n維駐定系統(tǒng)(自治系統(tǒng)、動(dòng)力系統(tǒng)).數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第17頁(yè)普通二維駐定系統(tǒng)形式為數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第18頁(yè)存在且唯一，則在三維空間(x,y,t)中有且僅有一條解曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x0,y0,t0).基本思想將空間曲線投影到平面上進(jìn)行分析.

數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第19頁(yè)定義：稱平面(x,y)為相平面，稱解曲線在相平面上投影為相軌線，相軌線族稱為相位圖.數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第20頁(yè)xytot0(x,y,t)解曲線投影曲線相軌線

軌線方程由原方程（2）消去t而得到,相點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向由原方程確定.

數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第21頁(yè)使P(x0,y0)=Q(x0,y0)=0(x0,y0)稱為方程(2)平衡點(diǎn).數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第22頁(yè)在（5）式中消去，并注意到定義，得：解得：1、能夠證實(shí)極限都存在，而且，即病人最終全部消失。（6）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第23頁(yè)2、最終未被感染健康人數(shù)百分比滿足（在（6）式中，令）：（7）該方程在內(nèi)有根，即取值在內(nèi)。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第24頁(yè)3、當(dāng)時(shí)，到達(dá)最大4、當(dāng)時(shí)，傳染病會(huì)蔓延時(shí)，傳染病不會(huì)蔓延，是一個(gè)閾值。于是提升閾值，降低接觸數(shù)，即日接觸率減小，日治愈率增大，也即提升衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有利于控制傳染病蔓延。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第25頁(yè)5、（群體免疫和預(yù)防）當(dāng)時(shí)，傳染病不會(huì)蔓延，所以除了提升衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平外，另一控制傳染病蔓延路徑是降低，從而提升，即經(jīng)過(guò)群體免疫，使開(kāi)始時(shí)移出者增大。

數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第26頁(yè)6、實(shí)際中，值極難預(yù)計(jì)，在（7）式中求得：能夠經(jīng)過(guò)此式來(lái)分析傳染病蔓延過(guò)程。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)傳染病模型第27頁(yè)7、（被傳染百分比預(yù)計(jì)）令，則由（6）式得：取對(duì)數(shù)函數(shù)泰勒