專題17 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（學(xué)生版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題17二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個(gè)末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集．知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來(lái)討論一元二次不等式或的解集.二次函數(shù)()的圖象有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；(3)解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集.知識(shí)點(diǎn)五：利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；(2)由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；(3)求解所列出的不等式(組)；(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案．知識(shí)點(diǎn)六：一元二次不等式恒成立問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立(2)分離參數(shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)七：簡(jiǎn)單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”【題型歸納目錄】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法題型四：一次分式不等式的解法題型五：實(shí)際問(wèn)題中的一元二次不等式問(wèn)題題型六：不等式的恒成立與有解問(wèn)題題型七：一元二次方程根的分布問(wèn)題【典例例題】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式例1．(2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試)解不等式：(1)；(2).例2．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))求解下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).例3．(2023·高一課時(shí)練習(xí))不等式的解集是___________________.變式1．(2023·高一課時(shí)練習(xí))的解集為_(kāi)__________________.變式2．(2023·高一課時(shí)練習(xí))不等式的解集為_(kāi)__________________.變式3．(2023·高一課時(shí)練習(xí))不等式2x2＋x－15<0的解集為_(kāi)_______．題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯例4．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知不等式的解集為，則不等式的解集為_(kāi)_____．例5．(2023·上海虹口·高一上外附中?？茧A段練習(xí))已知關(guān)于x的不等式的解集是，則關(guān)于x的不等式的解集為_(kāi)__．例6．(2023·青海海東·高一?？计谥?已知是關(guān)于的二次方程的兩根，則的大小關(guān)系是___________.變式4．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知不等式的解集是，，則不等式的解集是____________.變式5．(2023·高一單元測(cè)試)若方程有唯一的實(shí)數(shù)根3，則不等式的解集為_(kāi)_____．變式6．(2023·高一課時(shí)練習(xí))若一元二次不等式的解集是，則的值是_____.變式7．(2023·高一課時(shí)練習(xí))若不等式的解集為或，則的值為_(kāi)_______．變式8．(2023·安徽滁州·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知不等式的解集為，則不等式的解集為_(kāi)_____．題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法例7．(2023·高一單元測(cè)試)解關(guān)于x的不等式.例8．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知.(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式.例9．(2023·高一課時(shí)練習(xí))解關(guān)于x的不等式.變式9．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))解下列關(guān)于的不等式．變式10．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))解下列關(guān)于的不等式．變式11．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))解下列關(guān)于的不等式：．題型四：一次分式不等式的解法例10．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))不等式的解集為_(kāi)_______.例11．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))不等式的解集為_(kāi)________．例12．(2023·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí))不等式的解集是___________.變式12．(2023·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試)不等式的解集是________．變式13．(2023·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？茧A段練習(xí))不等式的解集是________．題型五：實(shí)際問(wèn)題中的一元二次不等式問(wèn)題例13．(2023·高一課時(shí)練習(xí))某商品在最近天內(nèi)的價(jià)格與時(shí)間(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是；銷(xiāo)售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是，則使這種商品日銷(xiāo)售金額不小于元的的范圍為(

)A． B．C． D．例14．(2023·高一課時(shí)練習(xí))某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷(xiāo)售量x(件)與單價(jià)P(元)之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C(元)，其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷(xiāo)量x的取值范圍是(

)A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45例15．(2023·浙江溫州·高一校考階段練習(xí))某種汽車(chē)在水泥路面上的剎車(chē)距離(單位：)和汽車(chē)剎車(chē)前的車(chē)速(單位：)之間有如下關(guān)系：，在一次交通事故中，測(cè)得這種車(chē)剎車(chē)距離大于40，則這輛汽車(chē)剎車(chē)前的車(chē)速至少為(

)(精確到1)A．76 B．77 C．78 D．80變式14．(2023·天津?yàn)I海新·高一?？计谥?某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷(xiāo)售，每天能賣(mài)出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷(xiāo)售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷(xiāo)售，為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷(xiāo)售收入．則這批臺(tái)燈的銷(xiāo)售單價(jià)x(單位：元)的取值范圍是(

)A． B．C． D．變式15．(2023·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí))某地每年銷(xiāo)售木材約20萬(wàn)立方米，每立方米價(jià)格為2400元，為了減少木材消耗，決定按銷(xiāo)售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷(xiāo)售量減少萬(wàn)立方米.為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬(wàn)元，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．題型六：不等式的恒成立與有解問(wèn)題例16．(2023·全國(guó)·高一期末)已知不等式.(1)若不等式的解集是或，求的值；(2)若不等式的解集是，求的取值范圍.例17．(2023·浙江杭州·高一杭師大附中?？计谀?(1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例18．(2023·云南楚雄·高一校考階段練習(xí))設(shè).(1)若，求的解集；(2)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)解關(guān)于x的不等式.變式16．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))已知函數(shù)．(1)若，解關(guān)于x的不等式(結(jié)果用含m式子表示)；(2)若存在實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求負(fù)數(shù)n的最小值．變式17．(2023·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知不等式：①，②，③．(1)分別求出不等式①與②的解集；(2)若同時(shí)滿足①②的值也滿足③，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式18．(2023·四川·高一?？茧A段練習(xí))已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若對(duì)任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立.則t的取值范圍是______.變式19．(2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谥?設(shè)，若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為_(kāi)________．變式20．(2023·黑龍江大慶·高一大慶市東風(fēng)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知當(dāng)時(shí),不等式恒成立.求a的取值范圍_______(集合形式作答).題型七：一元二次方程根的分布問(wèn)題例19．(2023·高一課時(shí)練習(xí))關(guān)于的方程的兩根均大于，則實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)_________.例20．(2023·內(nèi)蒙古·高一包鋼一中?？茧A段練習(xí))關(guān)于的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是__________.例21．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)的圖像如圖所示，求不等式的解集．變式21．(2023·湖北武漢·高一?？计谥?已知一元二次方程．(1)寫(xiě)出“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件；(2)寫(xiě)出“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的一個(gè)必要而不充分條件，并給予證明．變式22．(2023·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？计谥?已知關(guān)于的一元二次方程，(1)若，求證：；(2)若時(shí)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．(2023·高一課時(shí)練習(xí))關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是(

)A． B． C．或 D．2．(2023·高一課時(shí)練習(xí))關(guān)于x的方程的解集不可能是(

)A． B． C． D．3．(2023·浙江·高一校聯(lián)考期中)已知，則是成立的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．(2023·高一課時(shí)練習(xí))若不等式的解集為，則函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為()A．和 B．C． D．和5．(2023·高一單元測(cè)試)若集合，，則(

)A．B．C．RD．或6．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知不等式和不等式的解集相同，則實(shí)數(shù)的值分別為(

)A． B．C． D．7．(2023·高一課時(shí)練習(xí))若，則等于(

)A． B．或 C． D．或8．(2023·湖南·高一校聯(lián)考期中)若“”是“”的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A．或 B．或C．或 D．或二、多選題9．(2023·高一課時(shí)練習(xí))有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水加滿，然后又倒出4升后再用水加滿，此時(shí)桶中所含的純農(nóng)藥藥液不超過(guò)桶的容積的，則桶的容積可能為(

)A．7 B．9 C．11 D．1310．(2023·江西·高一統(tǒng)考階段練習(xí))設(shè)，則函數(shù)的圖象可能是(

)A． B．C． D．11．(2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中學(xué)校考期中)已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說(shuō)法正確的是(

)A． B．的解集為C． D．的解集為12．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·高一?？茧A段練習(xí))下列命題不正確的是(

)A．集合，若集合A有且僅有2個(gè)子集，則a的值為B．若一元二次方程的解集為R，則k的取值范圍為C．設(shè)集合，，則“”是“”的充分不必要條件D．正實(shí)數(shù)滿足，則三、填空題13．(2023·高一課時(shí)練習(xí))當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式的解集是__________．14．(2023·陜西渭南·高一?？茧A段練習(xí))如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________．15．(2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí))若集合，，則______．16．(2023·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末)若關(guān)于的不等式的解集中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)_.四、解答題17．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知等式對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立，求所有滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)的集合.18．(2023·湖北宜昌·高一?？茧A段練習(xí))求解下列問(wèn)題：(1)已知都是正數(shù)．若，求的最小值．(2)已知不等式的解集為或．求實(shí)數(shù)的值．19．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知，不等式的解集為A，且滿足，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．(2023·高一課時(shí)練習(xí))某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為元/個(gè)，出廠價(jià)為元/個(gè)，日銷(xiāo)售量為個(gè)，為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高蛋糕檔次，適度增