2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時(shí)精講第8章　§8.4　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（原卷版）

第第頁(yè)§8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)梳理1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(zhǎng)(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時(shí)，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個(gè)圓系方程①過(guò)直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩圓一定外離．()(2)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．()(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，則直線與圓相切．()(4)在圓中最長(zhǎng)的弦是直徑．()2．直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系是()A．相交B．相切C．相離D．相切或相交3．直線x－2y＋5＝0與圓x2＋y2＝8相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(5)D．2eq\r(5)4．圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置關(guān)系是()A．外切B．相交C．外離D．內(nèi)切題型一直線與圓的位置關(guān)系命題點(diǎn)1位置關(guān)系的判斷例1(1)M(x0，y0)為圓x2＋y2＝1內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x0x＋y0y＝1與該圓的位置關(guān)系為()A．相切B．相交C．相離D．相切或相交(2)直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離 B．相交或相切C．相交 D．相切命題點(diǎn)2弦長(zhǎng)問(wèn)題例2(1)已知過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線l與圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)|AB|＝2eq\r(3)時(shí)，直線l的方程為_(kāi)_______________．(2)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“△ABC面積為eq\f(8,5)”的m的一個(gè)值為_(kāi)_______．命題點(diǎn)3切線問(wèn)題例3已知點(diǎn)P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，點(diǎn)M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)．命題點(diǎn)4直線與圓位置關(guān)系中的最值問(wèn)題例4已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)_______．思維升華涉及與圓的切線有關(guān)的線段長(zhǎng)度范圍(最值)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長(zhǎng)表示為關(guān)于圓心與直線上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練1(1)若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1與圓x2＋y2＝1相交，則()A.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)<1B.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)>1C．a(chǎn)2＋b2<1D．a(chǎn)2＋b2>1(2)直線l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)與圓C：x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4題型二圓與圓的位置關(guān)系例5(1)已知圓M：x2＋y2－4y＝0與圓N：x2＋y2－2x－3＝0，則圓M與圓N的位置關(guān)系為()A．內(nèi)含B．相交C．外切D．外離(2)圓A：x2＋y2＝4與圓B：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線的方程為()A．x－y＋2＝0 B．x－y－2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝0跟蹤訓(xùn)練2(1)若圓x2＋y2＋4x－4y＝0和圓x2＋y2＋2x－8＝0相交于M，N兩點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度為()A．4B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\f(12\r(5),5)D.eq\f(6\r(5),5)(2)寫(xiě)出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________________．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．已知圓(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)與y軸相切，則r等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．32．在平面直角坐標(biāo)系中，圓O1：(x－1)2＋y2＝1和圓O2：x2＋(y－2)2＝4的位置關(guān)系是()A．外離B．相交C．外切D．內(nèi)切3．直線y＝x＋1被圓O：x2＋y2＝1截得的弦長(zhǎng)為()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)4．若一條光線從點(diǎn)A(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5)B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5)D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)5．圓C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0距離為eq\r(2)的點(diǎn)有()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．無(wú)數(shù)個(gè)二、多項(xiàng)選擇題6．已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圓C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圓C1與圓C2內(nèi)切，則實(shí)數(shù)a的值是()A．－2B．2C．－1D．1三、填空題7．寫(xiě)出一個(gè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，截y軸所得弦長(zhǎng)是截x軸所得弦長(zhǎng)2倍的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程__________．8．與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________________．四、解答題9．已知兩圓x2＋y2