2024-2025學(xué)年度北師版九上數(shù)學(xué)-總復(fù)習(xí)-期末復(fù)習(xí)課（四）（第四章　圖形的相似）【課件】

總復(fù)習(xí)期末復(fù)習(xí)課期末復(fù)習(xí)課（四）（第四章圖形的相似）數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版知識(shí)梳理典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01知識(shí)梳理

等于

ad＝

bc

ad＝

bc

2.平行線分線段成比例.基本圖形：（“日”型，“A”型，“X”型）圖1圖2圖3

3.相似三角形的判定及性質(zhì).（1）相似三角形的判定.①判定一：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似（最常用的判定）.②判定二：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.③判定三：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.④相似多邊形的判定：每個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，每條邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形相似.（2）相似三角形（多邊形）的性質(zhì).①相似三角形對(duì)應(yīng)

的比、對(duì)應(yīng)

?的比和對(duì)應(yīng)

的比都等于相似比.②相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)比等于

，面積比等于

?.高

角平分線

中線

相似比

相似比的平方

4.相似三角形的幾種常見模型.模型圖形“平行線”型

“斜交”型（∠1＝∠2）

“垂直”型

5.圖形的位似.（1）一般地，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)P，P'所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)O，且有OP'＝k·OP（k≠0），那么這樣的兩個(gè)多邊形做

?.（2）位似多邊形除具有相似多邊形的所有性質(zhì)外，還具有下列性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線經(jīng)過

；②對(duì)應(yīng)邊平行或在同一條直線上；③對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心的距離之比等于

?

?.位似多邊形

位似中心

相

似比

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練類型一

成比例問題

如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，且3AE

＝

AD，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F.

若AF＝12cm，則AB

＝

?cm.60

【解析】如圖，過點(diǎn)D作FC的平行線DG，與AB交于點(diǎn)G.∵AD是△ABC的中線，根據(jù)平行線等分線段定理（或中位線性質(zhì)），得

BG＝FG.

根據(jù)平行線分線段成比例定理，得AF∶AG

＝

AE∶AD.

∵AF＝12cm，3AE＝AD，∴

AG＝36cm.∴FG

＝36－12＝24（cm）.∴

BG＝FG＝24cm.∴

AB＝AG＋BG＝36＋24＝60（cm）.故答案為60.

【點(diǎn)撥】遇到線段比值問題時(shí)，首先考慮構(gòu)造平行線，構(gòu)造出“A”型、“X”型斜交型或“垂直”型，再根據(jù)平行線分線段成比例求出線段的長(zhǎng).同時(shí)，一些特殊位置點(diǎn)，例如中點(diǎn)，是中考填空題?？純?nèi)容.我們要學(xué)會(huì)聯(lián)想中點(diǎn)在解決幾何問題中的兩個(gè)重要內(nèi)容：分線段長(zhǎng)（中位線）和面積.

1.如圖，已知直線a，b被三條互相平行的直線l1，l2，l3所截，

AB＝3，BC＝2，則DE∶DF＝

?.（第1題圖）3∶5

2.如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P在BC邊上的高

AD上，且2AP＝PD，BP的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E.

若S△ABC＝10，則S△ABE＝

，S△DEC＝

?.（第2題圖）2

4

類型二

相似三角形的判定與性質(zhì)

如圖，在△ABC中，AC＝12，AB＝15，BC＝18，點(diǎn)D是

BC邊上一點(diǎn)，AC2＝BC·CD，連接AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，

AB上的點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，B重合），∠CFE＝∠B，CF與

AD相交于點(diǎn)G.

（1）求AD，BD的長(zhǎng)；（2）求證：△BEF∽△AFG.

（2）證明：由（1）可知，AD＝BD＝10.∴∠

B＝∠BAD.

∵∠

BEF＋∠B＝∠AFG＋∠CFE，∠

B＝∠CFE，∴∠

BEF＝∠AFG.

∴△BEF∽△AFG.

【點(diǎn)撥】在幾何解答題中，若題目中出現(xiàn)乘積式，則應(yīng)該想到的是相似三角形的性質(zhì)；若又含有平方，則考慮存在共邊，即子母型相似，再?gòu)膱D形入手.

2.如圖，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個(gè)直角三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方形，正方形的一邊

FG在邊BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)E，H分別在邊AB，AC上.（1）求△ABC的BC邊上的高；

答圖（2）求正方形EFGH的邊長(zhǎng).

類型三

相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點(diǎn)D和點(diǎn)F處分別豎立高是2m的標(biāo)桿CD和EF，兩標(biāo)桿相隔8m，并且建筑物

AB、標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi).從標(biāo)桿CD后退2m到點(diǎn)

G處，在點(diǎn)G處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線上；從標(biāo)桿EF后退4m到點(diǎn)H處，在點(diǎn)H處測(cè)得建筑物頂端A

和標(biāo)桿頂端E在同一條直線上.求建筑物AB的高度.

【點(diǎn)撥】構(gòu)造相似三角形，利用其性質(zhì)解決問題.

如圖，一電線桿AB的影子分別落在了地上和墻上.同一時(shí)刻，小明豎起1m高的直桿MN，量得其影長(zhǎng)MF為0.5m.量得電線桿

AB落在地上的影子BD長(zhǎng)3m，落在墻上的影子CD的高為2m.你能利用小明測(cè)量的數(shù)據(jù)計(jì)算出電線桿AB的高嗎？解：如答圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，則GC＝BD＝3m，GB＝CD＝2m.∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，∴∠NFM＝∠ACG.

∴△NMF∽△AGC.

∴AG＝6m.∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8（m）.答圖故電線桿AB的高為8m.答圖類型四

圖形的位似

如圖，

在△ABC中，

已知A，B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)

C的坐標(biāo)是（1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△

ABC的位似圖形△A'B'C，使它與△ABC的相似比為2∶1.設(shè)點(diǎn)

B的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)是

?.－2a＋3

【解析】設(shè)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)B，C間的水平距離為a－1，

點(diǎn)

B'，C間的水平距離為－x＋1.∵△A'B'C與△ABC的相似比為2∶1，∴2（a－1）＝－x＋1.解得x＝－2a＋3.故答案為－2a＋3.【點(diǎn)撥】在位似變換與坐標(biāo)問題中，關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)

合法，會(huì)在數(shù)與圖之間轉(zhuǎn)換.如此題中，將相似比為2∶1轉(zhuǎn)化為

B'C＝2BC，又轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B'，C的水平距離為點(diǎn)B，C水平距離

的2倍，最后轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系（等式）.

如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，已知點(diǎn)O及△ABC的頂點(diǎn)均為網(wǎng)格線的交點(diǎn).（1）在給定網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大，得到△

A'B'C'，使A'C'＝3AC.

請(qǐng)畫出△A'B'C'；（1）

解：如圖，△A'B'C'即為所求.（2）B'C'的長(zhǎng)度為

，△A'B'C'的面積為

?.

9

類型五

相似三角形中的等積式

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC于點(diǎn)E，

AF⊥CD于點(diǎn)F.

求證：（1）△ABE∽△ADF；（2）CD·EF＝AC·AE.

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠

B＝∠D.

∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠

AEB＝∠AFD＝90°.∴△ABE∽△ADF.

【點(diǎn)撥】證明等積式時(shí)，先將等積式化為比例式，再根據(jù)比例式“橫看”或“豎看”找到要證明的兩個(gè)相似三角形.有時(shí)根據(jù)比例式不能直接找到相似三角形，可能需要等線段替換或等比替換，這需要多次嘗試.

如圖，在?ABCD中，已知對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是

DB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且EA＝EC，分別延長(zhǎng)AD，EC交于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

OA＝OC.

又∵EA＝EC，∴

EO⊥AC，即BD⊥AC.

∴?ABCD是菱形.（2）若∠AEC＝2∠BAC，求證：CE·CF＝AF·AD.

類型六

相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1，點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)

Q是線段BC上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)BQ的長(zhǎng)度為多少時(shí)，以點(diǎn)A，