數(shù)學（人教版必修3）練習3.習題課隨機事件的概率與古典概型

第三章習題課(時間：45分鐘滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1．把一枚骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b，向量m＝(a，b)，n＝(1，－2)，則向量m與向量n垂直的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,18)解析：∵m⊥n，∴m·n＝0，即a－2b＝0.∴a＝2b.擲骰子兩次，共有36個基本事件，其中第一次點數(shù)是第二次點數(shù)2倍的情況有(2,1)，(4,2)，(6,3)，∴概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)．答案：B2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，從集合A中選取兩個不相同的數(shù)，構(gòu)成平面直角坐標系上的點，觀察點的位置，則事件A＝{點落在x軸上}與事件B＝{點落在y軸上}的概率關(guān)系為()A．P(A)＞P(B) B．P(A)＜P(B)C．P(A)＝P(B) D．不確定解析：橫坐標為0與縱坐標為0的可能性是一樣的．答案：C3．袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個，每次任取一個，有放回地取3次，則概率為eq\f(8,9)的事件是()A．顏色全同 B．顏色不全同C．顏色全不同 D．無紅球解析：有放回地取球3次，共27種可能結(jié)果，其中顏色全相同的結(jié)果有3種，其概率為eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)；顏色不全相同的結(jié)果有24種，其概率為eq\f(24,27)＝eq\f(8,9)；顏色全不同的結(jié)果有6種，其概率為eq\f(6,27)＝eq\f(2,9)；無紅球的情況有8種，其概率為eq\f(8,27)，故選B．答案：B4．(2015·高考全國卷Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，那么稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)．從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,10) D．eq\f(1,20)解析：列舉出所有結(jié)果，并分析其中的勾股數(shù)，根據(jù)古典概型求解．從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).故選C．答案：C5．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()A．0.852 B．0.8192C．0.8 D．0.75解析：本題主要考查隨機模擬法，考查學生的邏輯思維能力．因為射擊4次至多擊中2次對應的隨機數(shù)組為7140,1417,0371,6011,7610，共5組，所以射擊4次至少擊中3次的概率為1－eq\f(5,20)＝eq\f(3,4)．答案：D6．甲、乙兩人有三個不同的學習小組A，B，C可以參加，若每人必須參加且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)解析：∵甲、乙兩人參加學習小組的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個，其中兩人參加同一個小組的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3個，∴兩人參加同一個小組的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)．答案：A二、填空題(每小題5分，共20分)7．在1,3,5,8路公共汽車都要?？康囊粋€站(假定這個站只能?？恳惠v公共汽車)，有一位乘客等候1路或3路公共汽車，假定當時各路公共汽車首先到站的可能性相等，則首先到站的正好是這位乘客所要乘的公共汽車的概率是________．解析：∵4種公共汽車先到站有4個結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，“首先到站的車正好是所乘車”的結(jié)果有2個，∴P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)8．從含有3件正品、1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取兩件，則取出的兩件中恰有一件次品的概率是________________．解析：從4件產(chǎn)品中不放回地任取兩件，共有6個基本事件，事件“取出的兩件中恰有一件次品”的基本事件有3個，故概率為eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)9．(2014·高考廣東卷)從字母a，b，c，d，e中任取兩個不同字母，則取到字母a的概率為________．解析：從a，b，c，d，e中任取兩個不同字母的所有基本事件為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10個，其中取到字母a的有4個，故所求概率為eq\f(4,10)＝0.4．答案：0.410．在集合{1,2,3}中有放回地先后隨機取兩個數(shù)，若把這兩個數(shù)按照取的先后順序組成一個兩位數(shù)，則“個位數(shù)與十位數(shù)不相同”的概率是________．解析：根據(jù)題意，在集合{1,2,3}中有放回地先后隨機取兩個數(shù)，基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9種情況；按照取的先后順序組成一個兩位數(shù)后，其中個位數(shù)與十位數(shù)相同的有3種，即(1,1)，(2,2)，(3,3)，則“個位數(shù)與十位數(shù)不相同”的有9－3＝6種，則其概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)．答案：eq\f(2,3)三、解答題11．(本小題滿分12分)(2014·高考天津卷)某校夏令營有3名男同學A，B，C和3名女同學X，Y，Z，其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學ABC女同學XYZ現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)．(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果．(2)設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，求事件M發(fā)生的概率．解：(1)從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種．(2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種．因此，事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)．12．(本小題滿分13分)班級聯(lián)歡時，主持人擬出了如下一些節(jié)目：跳雙人舞、獨唱、朗誦等，指定3個男生和2個女生來參與，把5個人分別編號為1,2,3,4,5，其中1,2,3號是男生，4,5號是女生，將每個人的號分別寫在5張相同的卡片上，并放入一個箱子中充分混合，每次從中隨機地取出一張卡片，取出誰的編號誰就參與表演節(jié)目．(1)為了選出2人來表演雙人舞，連續(xù)抽取2張卡片，求取出的2人不全是男生的概率．(2)為了選出2人分別表演獨唱和朗誦，抽取并觀察第一張卡片后，又放回箱子中，充分混合后再從中抽取第二張卡片，求獨唱和朗誦由同一個人表演的概率．解：(1)利用樹形圖我們可以列出連續(xù)抽取2張卡片的所有可能結(jié)果(如圖所示)．由上圖可以看出，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)為20，因為每次都隨機抽取，所以這20種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，試驗屬于古典概型．用A1表示事件“連續(xù)抽取2人是一男一女”，A2表示事件“連續(xù)抽取2人都是女生”，則A1與A2互斥，并且A1∪A2表示事件“連續(xù)抽取2張卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能結(jié)果可以看出，A1的結(jié)果有12種，A2的結(jié)果有2種，故由互斥事件的概率加法公式，可得P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(12,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(7,10)＝0.7，即連續(xù)抽取2張卡片，取出的2人不全是男生的概率為0.7．(2)有放回地連續(xù)抽取2張卡片，需注意同一張卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我們用一個有序?qū)崝?shù)對表示抽取的結(jié)果，例如“第一次取出2號，第二次取出4號”就用(2,4)來表示，所有的可能結(jié)果可以用下表列出.第二次抽取第一次抽取123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,